弓網(wǎng)關(guān)系縮比模型設(shè)計方法研究

劉文正，伊金浩，張堅，李鑫，黃朝陽

(1.北京交通大學(xué) 電氣工程學(xué)院，北京 100044；2.中鐵工程設(shè)計咨詢集團有限公司，北京 100055；3.長江師范學(xué)院 機器人工程學(xué)院，重慶 408100；4.中車青島四方機車車輛股份有限公司 技術(shù)中心，山東 青島 266111)

目前，國內(nèi)外高速鐵路運行速度已達到300 km/h以上，在京滬線開通前進行的整車實驗速度達到486.1 km/h，法國實驗列車速度甚至高達574.8 km/h[1]。隨著列車運行速度的提高，在氣動激擾及輪軌振動的影響下，受電弓振動和接觸線波動加劇，弓網(wǎng)受流質(zhì)量變差，弓網(wǎng)離線電弧頻發(fā)[2-3]。而且，經(jīng)前期研究發(fā)現(xiàn)，弓網(wǎng)接觸力及離線特性的變化直接受接觸網(wǎng)線索張力、吊弦位置等參數(shù)的影響[4-5]。在實際線路中，受實際情況或場地因素的影響，難以改變接觸網(wǎng)線索張力及吊弦布置，分析接觸力與接觸網(wǎng)線索張力及吊弦布置等因素間的關(guān)系。為了分析各影響因素對弓網(wǎng)關(guān)系的影響，很多學(xué)者進行了諸多努力。一方面，MASSAT 等[6-7]采用仿真研究的方法，分析接觸力與弓網(wǎng)結(jié)構(gòu)參數(shù)、設(shè)計參數(shù)等眾多因素的關(guān)系。另一方面，陳程等[8-9]分析了離線電弧與運行速度、弓網(wǎng)參數(shù)間的關(guān)系。但是，離線電弧還受連續(xù)變化的交流工頻電壓、連續(xù)變化的弓網(wǎng)離線間距及其聯(lián)合作用的影響。由于目前難以基于實際線路獲得連續(xù)變化的離線間距，如何分析動態(tài)因素對離線電弧或者接觸力的影響成為亟待解決的問題之一?？s比實驗平臺具有造價偏低，占地面積小，比較適合弓網(wǎng)關(guān)系研究?？s比模型設(shè)計是搭建縮比實驗平臺的核心。因此，本文提出基于縮比平臺進行弓網(wǎng)受流質(zhì)量研究的方法。基于相似理論[10-12]，推導(dǎo)原模型與縮比模型之間的關(guān)系，對縮比模型結(jié)構(gòu)參數(shù)、載荷大小、邊界條件等參量進行計算，得到各關(guān)鍵物理量的縮比系數(shù)。關(guān)于縮比模型，MANABE 等[13-14]針對復(fù)鏈形懸掛接觸網(wǎng)/受電弓系統(tǒng)設(shè)計了關(guān)于速度縮比的縮比模型，分析運行速度與弓網(wǎng)受流質(zhì)量間的關(guān)系。但是，該模型只是對速度進行了縮比，只能研究實際線路上無法實現(xiàn)的超高速度對弓網(wǎng)受流質(zhì)量的影響，無法分析結(jié)構(gòu)參數(shù)對弓網(wǎng)關(guān)系的影響。為了進行弓網(wǎng)關(guān)系實驗研究，本文以幾何相似和幾何不相似理論為核心，以簡單鏈形懸掛接觸網(wǎng)為主要研究載體，提出了適用于高速鐵路弓網(wǎng)關(guān)系研究的縮比模型設(shè)計方法，用以構(gòu)建縮比實驗平臺。然后，在此分析的基礎(chǔ)上，基于仿真軟件，建立弓網(wǎng)縮比模型，驗證縮比模型的正確性。最后，從靜態(tài)和動態(tài)角度對縮比模型的合理性進行驗證。

1 弓網(wǎng)模型系統(tǒng)參數(shù)相似關(guān)系推導(dǎo)

1.1 仿真模型及相似理論

本文基于有限元仿真軟件MSC.Marc 建立了弓網(wǎng)模型，模擬弓網(wǎng)耦合運動系統(tǒng)[15-16]。采用EN50318對本文建模方法進行了驗證[17]。接觸網(wǎng)和受電弓參數(shù)如圖1(a)所示，仿真模型如圖1(b)所示。

圖1 接觸網(wǎng)與受電弓模型Fig.1 Model of catenary -pantograph

模型中，接觸線單元的振動方程為：

其中：m為接觸線單元質(zhì)量；E為接觸線彈性模量；I為接觸線截面慣性矩；T為接觸線張力；P為弓網(wǎng)接觸力；ks為吊弦的彈性常數(shù)；v為列車運行速度；yc為接觸線各質(zhì)點的垂向振動位移；x為受電弓以速度v，運行t時間后的沿z方向的位移。

受電弓的振動方程為：

其中：M為受電弓各部分的等效質(zhì)量矩陣；C為等效阻尼矩陣；K為等效剛度矩陣；F為受電弓所受外力，F(xiàn)=[P，P0]T，P0為施加的靜態(tài)抬升力，P為弓網(wǎng)間的接觸力；yp為受電弓的垂向振動位移。

1.2 幾何相似模型相似關(guān)系的推導(dǎo)

為了確保弓網(wǎng)關(guān)系研究的準(zhǔn)確性，基于相似理論，對全尺寸弓網(wǎng)模型的關(guān)鍵結(jié)構(gòu)參數(shù)進行縮比計算。為了實現(xiàn)實驗平臺的線路縮比，本文將模型尺寸分為水平尺寸和垂向尺寸，分別進行縮比[18]。其中，水平尺寸的縮比系數(shù)與垂向尺寸縮比系數(shù)相同時，為幾何相似的縮比模型。水平尺寸的縮比系數(shù)與垂向尺寸縮比系數(shù)不相同時，為幾何不相似的縮比模型；幾何不相似模型仿真結(jié)果的誤差雖然比完全相似模型略大，但有利于進一步實現(xiàn)速度縮比。為了進一步驗證縮比系數(shù)的準(zhǔn)確性，采用Pearson 法計算原模型與縮比模型的相關(guān)系數(shù)，相關(guān)系數(shù)越接近1，說明兩模型的一致性越好。

1) 縮比模型推導(dǎo)

縮比模型采用長度[L]、質(zhì)量[M]、時間[T]3個力學(xué)基本量綱為基本物理量，基于基本物理量可以導(dǎo)出其他物理量。根據(jù)1.1 節(jié)式(1)和式(2)可知，弓網(wǎng)關(guān)系實驗研究涉及到的物理量包括彈性模量E，單位長度重量q，線密度ρ，長度L，材料截面積S，截面慣性矩I，接觸線弛度f，材料軸向拉伸ΔL，質(zhì)量m，剛度k，阻尼c，時間t，頻率f，速度v，加速度g，垂向力F，張力T等物理量。

相應(yīng)的質(zhì)量縮比系數(shù)為Sm，幾何尺寸縮比系數(shù)為SL，密度縮比系數(shù)為Sρ，加速度縮比系數(shù)為Sg。采用公式法計算單位長度重量。

基于式(4)可知，單位長度重量縮比系數(shù)的計算方法與式(3)單位長度重量的計算方法一致，是質(zhì)量縮比系數(shù)與加速度縮比系數(shù)之積，除以幾何尺寸縮比系數(shù)。其他物理量的推導(dǎo)方法相同，結(jié)果如表1。

表1 幾何相似模型縮比系數(shù)表達式Table 1 Scaling factor expression of geometric similarity model

2) 縮比模型的驗證

弓網(wǎng)耦合系統(tǒng)無論是在縮比模型還是原模型中，均在同一重力場下，故重力加速度的縮比系數(shù)Sg=1。結(jié)合實驗場地的尺寸，確定其尺寸縮比系數(shù)為0.1；質(zhì)量的縮比系數(shù)為Sm=0.01；密度縮比系數(shù)Sρ=1。弓網(wǎng)系統(tǒng)各物理量的縮比系數(shù)的計算結(jié)果如表2所示。

表2 幾何相似縮比系數(shù)計算結(jié)果Table 2 Scaling factor calculation results of geometric similarity model

根據(jù)表2 中的縮比系數(shù)，在MSC.Marc 軟件中搭建原模型和縮比模型，得到的計算結(jié)果如圖2所示。其中圖2(a)表示接觸線高度，圖2(b)表示受電弓高度，圖2(c)表示弓網(wǎng)接觸力。

圖2 幾何相似縮比模型仿真計算結(jié)果Fig.2 Simulation results of geometric similarity scaled model

從圖2可知，原模型經(jīng)縮比后，得到的縮比模型的接觸線和受電弓的高度以及接觸力的分布特征與原模型一致，相關(guān)系數(shù)為1，從而說明幾何相似模型各物理量的縮比系數(shù)計算方法是合理的。

1.3 幾何不相似模型相似關(guān)系的推導(dǎo)

從1.2 節(jié)表2 可知，在幾何相似縮比模型中，接觸網(wǎng)幾何尺寸的縮比系數(shù)為0.1 時，速度縮比系數(shù)為0.316。即原模型運行速度是360 km/h 時，幾何相似變換后的運行速度是100 km/h，進行實驗研究仍具有較高難度。為了進一步降低實驗室的運行速度本文基于幾何不相似模型，進一步降低速度縮比系數(shù)，提出適合列車高速運行時實驗平臺的計算方法。

1) 縮比模型推導(dǎo)

保持幾何尺寸縮比系數(shù)不變，即基于1.2 節(jié)的推導(dǎo)結(jié)果，將結(jié)合尺寸分為水平尺寸和垂向尺寸，分別用Lh和Lv表示。運行速度分為水平速度vh和垂向速度vv。其中，水平尺寸與垂向尺寸的關(guān)系可以表示為：

從式(5)和式(6)可知，保持水平尺寸縮比系數(shù)不變，增大垂向尺寸縮比系數(shù)，可以減小速度縮比系數(shù)，各物理量的縮比系數(shù)如表3所示。

表3 幾何不相似模型縮比系數(shù)表達式Table 3 Scaling factor expression geometric dissimilarity model

2) 縮比模型的驗證

對于幾何不相似縮比模型，取質(zhì)量縮比系數(shù)Sm=0.01，密度縮比系數(shù)Sρ=1，水平尺寸縮比系數(shù)SLh=0.1，垂向尺寸縮比系數(shù)Svv=0.25，經(jīng)計算得到水平速度縮比系數(shù)Svh=0.2。得到弓網(wǎng)系統(tǒng)各物理量的縮比系數(shù)如表4所示。

表4 幾何不相似模型縮比系數(shù)計算結(jié)果Table 4 Scaling factor calculation results of geometric dissimilarity model

根據(jù)表4 所示的縮比系數(shù)，在MSC.Marc 軟件中搭建弓網(wǎng)原模型和縮比模型，得到計算結(jié)果如圖3 所示。其中，圖3(a)表示接觸線高度，圖3(b)表示受電弓高度，圖3(c)表示弓網(wǎng)接觸力。

圖3 幾何不相似縮比模型仿真計算結(jié)果Fig.3 Simulation results of geometric dissimilarity scaled model

從圖3可知，經(jīng)過幾何不相似變換后，雖然縮比模型的接觸線高度與原模型存在差異，但是一個跨距周期內(nèi)接觸線高度的變化趨勢一致，其Pearson 相關(guān)系數(shù)為0.919。從圖3(c)可知，縮比變換前后的接觸力的變化趨勢基本一致，其Pearson相關(guān)系數(shù)為0.937。在通過靜態(tài)和動態(tài)指標(biāo)對比說明幾何不相似變換計算縮比系數(shù)的方法是基本合理的。

2 弓網(wǎng)縮比模型的設(shè)計

2.1 縮比實驗平臺關(guān)鍵參數(shù)相似關(guān)系的選擇

1.2 節(jié)和1.3節(jié)縮比系數(shù)的理論計算結(jié)果是搭建實驗平臺的基礎(chǔ)。由于受實際的場地面積、材料類別等因素的限制，在進行實際材料選取時需要對關(guān)鍵物理量的參數(shù)選取進行綜合考量。因此，需要進一步分析各參數(shù)對弓網(wǎng)接觸力的影響程度，以便后續(xù)參數(shù)選取。

首先進一步改變吊弦的楊氏模量、線密度及接觸線的抗拉強度、抗彎剛度等參數(shù)，分析接觸力的變化規(guī)律，得出的接觸壓曲線如圖4所示。

圖4 接觸網(wǎng)參數(shù)對接觸力的影響Fig.4 Influence of catenary parameters on contact force

從圖4 可知，列車以300 km 時速運行時，吊弦的線密度、接觸線的抗彎強度對弓網(wǎng)接觸力的影響較大，而吊弦的楊氏模量和接觸線的抗拉強度對接觸力的影響相對較小。因此，接觸線的抗彎強度、吊弦的線密度需滿足相似關(guān)系。

由于受電弓的弓頭質(zhì)量、彈簧剛度等參數(shù)對弓網(wǎng)接觸力的影響程度較大[19]，因此，弓頭質(zhì)量、彈簧剛度等受電弓參量必須符合相似關(guān)系?；?.2 節(jié)和1.3 節(jié)提出的幾何相似和幾何不相似2 種模型縮比系數(shù)計算方法，針對表5中原模型的接觸網(wǎng)和受電弓參數(shù)、幾何實際場地的尺寸及實際材料屬性，幾何相似模型的尺寸縮比系數(shù)定為0.1，幾何不相似模型的水平尺寸縮比系數(shù)定為0.1，垂向尺寸縮比系數(shù)定為0.25。

表5 原模型材料屬性Table 5 Material properties of prototype

2.2 幾何相似縮比模型的設(shè)計

基于1.2 節(jié)計算得到的縮比系數(shù)，縮比后的接觸線和承力索的楊氏模量理論結(jié)果為12 GPa，密度為9 000 kg/m3，由于這種材料在實際生活中并不常見。綜合考量材料的抗拉強度、截面應(yīng)力及楊氏模量等參量，縮比模型選取銅作為接觸線和承力索的材料?？紤]到截面抗彎強度，接觸線和承力索的截面設(shè)置為矩形。吊弦也采用銅材料，定位裝置采用鋁合金材料。受電弓各個部分材料與表5中受電弓原模型材料一致。弓網(wǎng)系統(tǒng)關(guān)鍵參量的材料選取結(jié)果如表6所示。

表6 幾何相似縮比模型材料屬性Table 6 Material properties of geometric similarity scaled model

根據(jù)表6 中弓網(wǎng)系統(tǒng)的材料選取結(jié)果，在MSC.Marc 軟件中建立幾何相似模型。縮比前，受電弓的運行速度為300 km/h；縮比后，受電弓的運行速度為95 km/h。計算得到的結(jié)果如圖5所示。

圖5 幾何相似縮比模型接觸力Fig.5 Contact force of geometric similarity scaled model

從圖5可知，各部分材料通過實際選材后，縮比模型接觸力的變化趨勢及局部極值點的出現(xiàn)位置與原模型基本一致，其Pearson相關(guān)系數(shù)為0.72。說明幾何相似模型的設(shè)計過程是合理的?？梢哉J(rèn)為基于此縮比模型開展實驗研究是基本合理的。

2.3 幾何不相似縮比模型的設(shè)計

基于1.3 節(jié)幾何不相似模型的縮比系數(shù)可知，接觸線和承力索的SEI=0.000 04。為了保證SEI不變，通過減小楊氏模量E，增大截面慣性矩I來選擇材料。因此，在本文中接觸線、承力索、吊弦選用鉛材料，楊氏模量減小為17 GPa。幾何不相似模型的材料的選取結(jié)果如表7所示。其中，受電弓的參數(shù)與表6一致。

基于表7 的計算結(jié)果，在MSC.Marc 軟件中搭建縮比模型?？s比前原模型的運行速度為300 km/h；縮比后的運行速度為60 km/h，得到圖6 所示的弓網(wǎng)接觸力曲線。

圖6 幾何不相似縮比模型接觸力Fig.6 Contact force of geometric dissimilarity scaled model

在圖6中，幾何不相似模型的材料經(jīng)過實際選材后，接觸力變化趨勢及峰值點的出現(xiàn)位置與原模型基本一致，相關(guān)系數(shù)為0.76。說明經(jīng)過實際選材后的幾何不相似模型的設(shè)計過程及結(jié)果是基本合理的，且該模型基本可以用于實驗研究。

3 縮比模型靜態(tài)和動態(tài)特性仿真計算分析

基于2.2 節(jié)和2.3 節(jié)縮比模型的設(shè)計結(jié)果，分別在靜態(tài)和動態(tài)特性2個角度驗證縮比模型的合理性。且在本節(jié)的對比分析中，均是將縮比模型的計算結(jié)果轉(zhuǎn)換到相同尺度下與原模型進行對比分析的。

3.1 接觸網(wǎng)剛度分布

列車運行過程中，接觸網(wǎng)剛度分布是評價接觸網(wǎng)靜態(tài)特性的主要指標(biāo)之一。在本文中根據(jù)EN50119 標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定的剛度計算方法[20]，計算接觸網(wǎng)各位置點的剛度值。主要是通過在接觸網(wǎng)各點施加1.4 N 的靜態(tài)抬升力，得到各點的靜態(tài)抬升量，進而計算接觸網(wǎng)剛度，如圖7所示。

圖7 接觸網(wǎng)剛度分布對比Fig.7 Comparison of catenary stiffness distribution

從圖7中可知，經(jīng)過相似變換后，縮比模型的剛度分布特征與原模型基本一致，其相關(guān)系數(shù)分別為0.997與0.998?？s比模型和原模型均在各吊弦懸掛點出現(xiàn)接觸網(wǎng)剛度峰值。受接觸網(wǎng)結(jié)構(gòu)特征的影響，接觸網(wǎng)剛度以吊弦間距和跨距為周期進行變化。且在定位點附近的剛度較大，跨距中部的剛度值較小。在圖7中，縮比后的模型與原模型的剛度具有高度的一致性，但是在定位點兩側(cè)的首末吊弦點處也存在明顯的誤差。對于幾何相似模型，首末吊弦點處的剛度與原模型的剛度誤差值為1.3%；幾何不相似模型的誤差值是2.2%，均處于可接受的范圍。

3.2 接觸網(wǎng)及受電弓的固有頻率

弓網(wǎng)接觸力的變化與弓網(wǎng)間的耦合振動密切相關(guān)。且受電弓的弓頭質(zhì)量、彈簧阻尼等直接影響接觸力的變化。尤其是與接觸網(wǎng)耦合振動以后，受電弓處于受迫振動狀態(tài)。受電弓的固有頻率直接影響其受迫運行時與接觸線間的接觸狀態(tài)，影響接觸力的變化。因此，縮比模型受電弓和接觸網(wǎng)的固有頻率經(jīng)縮比變換后也要與原模型基本一致。

經(jīng)計算，受電弓縮比模型和原模型的前3階固有頻率如圖8所示。

圖8 受電弓固有頻率Fig.8 Natural frequency of pantograph

從圖8可知，幾何相似和幾何不相似模型的固有頻率在相同尺度下均與原模型一致。但是，幾何不相似模型的固有頻率誤差比幾何相似模型略大，且最大誤差為6.77%，仍處于可以接受的范圍。

接觸網(wǎng)原模型與縮比模型的前8階固有頻率如圖9所示。

圖9 接觸網(wǎng)固有頻率Fig.9 Natural frequency of catenary

對比圖9(a)和9(b)可知，幾何相似和不相似模型的前八階固有頻率轉(zhuǎn)換到相同尺度下基本與原模型一致，但是幾何相似模型的固有頻率比幾何不相似模型略小，且最大誤差為5.4%，處于可以接受的范圍。

3.3 接觸力特性

受接觸網(wǎng)結(jié)構(gòu)特征的影響，接觸網(wǎng)剛度在吊弦點及定位點出現(xiàn)剛度極大值點，在這些位置均會出現(xiàn)接觸力峰值。且速度越高，這一現(xiàn)象越明顯。但是，目前很少有關(guān)于吊弦點處接觸力峰值的研究。本文采用文獻[21]中的小波變換法，對接觸力進行變換，提取吊弦點的吊弦間距幅值分量和跨距幅值分量，如圖10 所示。其中，D1，D2，…，D6表示吊弦點。

圖10 弓網(wǎng)接觸力特性Fig.10 Contact force between pantograph and catenary characteristics

從圖10(b)和10(c)可以看出，縮比模型的跨距與吊弦間距分量與原模型存在一定偏差，吊弦間距分量偏差大于跨距分量，2 種縮比模型最大偏差分別為160%，76.2%。這是因為經(jīng)縮比變換以后，縮比模型各吊弦點的剛度略大于原模型。當(dāng)受電弓運行到吊弦點處時，在接觸網(wǎng)剛度的影響下，該處的接觸力峰值明顯增大，即吊弦間距幅值分量增大。隨著運行速度的提高，吊弦間距幅值分量均呈增大趨勢，跨距幅值分量呈先增大后減小的趨勢，縮比模型與原模型的變化趨勢基本一致，說明縮比模型可以用于高速鐵路弓網(wǎng)動態(tài)研究。

3.4 弓網(wǎng)離線特性

隨著列車運行速度的提高，受輪軌振動及氣動激擾的影響，弓網(wǎng)振動加劇，嚴(yán)重時甚至?xí)霈F(xiàn)弓網(wǎng)離線。本文采用離線位置和離線時長作為衡量離線特性的評價指標(biāo)[4]。改變原模型、幾何相似及幾何不相似模型的運行速度，分析離線特征參量的變化規(guī)律。其中，原模型的運行速度為400，425 及450 km/h。經(jīng)過幾何相似及不相似變換后的運行速度如圖11所示。

圖11 離線位置Fig.11 Offline location

從圖11 可知，隨著受電弓速度的增大，原模型與縮比模型離線位置點均向受電弓的運行方向偏移。這是因為受電弓的運行速度越大，其運行狀態(tài)越難改變，使離線點向受電弓的運行方向偏移。從圖中還可以看出，隨著運行速度的提高，離線點增多。這是因為運行速度提高，弓網(wǎng)間的振動加劇，原模型和縮比模型的離線點增多。從圖11 中可以看出，在同一速度下，原模型與幾何相似、幾何不相似模型隨跨距的變化，離線位置基本一致，說明縮比模型可以用于高速鐵路弓網(wǎng)離線位置研究。

圖12 是原模型和縮比模型不同位置離線點的離線間距。

圖12 離線時長Fig.12 Offline duration

從圖12 可以看出，在同一速度下，縮比前后的模型均是跨距中部離線點的持續(xù)時間大于定位點兩次的首末吊弦點處，且離線時長隨跨距周期的變化規(guī)律基本一致。隨著速度的變化，原模型和縮比模型的變化規(guī)律基本一致。也就是說，幾何相似和幾何不相似縮比模型可以用于高速鐵路弓網(wǎng)離線時長研究。

綜上所述，原模型和縮比模型的接觸網(wǎng)剛度分布、固有頻率、接觸力、離線特征的變化規(guī)律均基本一致。從靜態(tài)和動態(tài)2個角度說明縮比模型可以用于高速鐵路弓網(wǎng)關(guān)系研究。

4 結(jié)論

1) 根據(jù)相似理論提出了2種縮比模型，推導(dǎo)出了2種模型縮比系數(shù)的計算方法；然后結(jié)合實際材料屬性提出了模型的具體選材方法。

2) 從靜態(tài)角度驗證了2 種縮比模型的合理性。原模型和縮比模型的接觸網(wǎng)剛度分布、固有頻率的數(shù)值基本一致，誤差處于可接受范圍，從靜態(tài)角度說明2種縮比模型可以用于高速鐵路弓網(wǎng)關(guān)系研究。

3) 從動態(tài)角度驗證了2 種縮比模型的合理性。隨著運行速度提高，原模型和縮比模型的接觸力及離線特性的變化趨勢基本一致，從動態(tài)角度說明2種縮比模型可以用于高速鐵路弓網(wǎng)關(guān)系研究。

基于本文提出的縮比模型得出的接觸壓力、剛度分布、離線特征等與原模型得出的結(jié)果的變化規(guī)律雖然基本一致，但在進行縮比實驗平臺搭建時，實際場地及施工情況均可能會增大縮比平臺誤差。因此，在縮比實驗平臺搭建完成后，還需進一步進行誤差測算。研究團隊后續(xù)擬基于縮比實驗平臺進行原比例實驗平臺上難以進行的時速400 km及以上的弓網(wǎng)關(guān)系及離線電弧研究。