考慮靜動力學(xué)性能的鋼質(zhì)壁面作業(yè)機器人小臂結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化*

梁康養(yǎng)，嚴 謹，龐翠娟

（1.廣東海洋大學(xué)海洋工程與能源學(xué)院，廣東湛江 524088；2.廣東海洋大學(xué)船舶與海運學(xué)院，廣東湛江 524005）

0 引言

鋼質(zhì)壁面作業(yè)機器人主要在垂直或傾斜的高空環(huán)境下進行作業(yè)，具有較高的輕量化和穩(wěn)定性需求，在設(shè)計制造過程中應(yīng)盡可能對機體部件進行減重和提升結(jié)構(gòu)特性。從本文作者研究的鋼質(zhì)壁面作業(yè)機器人的前期成果得知，機器人機械手小臂是連接大臂和執(zhí)行末端的部件，具有外形尺寸大、板材厚度小和質(zhì)量占比高的特點，其在清潔、探傷、焊接、除銹等工況下整體受力大且長期處于振動狀態(tài)，對臂體結(jié)構(gòu)的強度、剛度和振動等結(jié)構(gòu)特性有較高要求。可見，對機械手小臂的綜合性能進行優(yōu)化顯得尤為重要。

拓撲優(yōu)化是結(jié)構(gòu)優(yōu)化的一種常用方法，主要用于產(chǎn)品初期設(shè)計，以提高結(jié)構(gòu)性能或降低結(jié)構(gòu)質(zhì)量為目標的優(yōu)化設(shè)計技術(shù)。目前，拓撲優(yōu)化技術(shù)在結(jié)構(gòu)優(yōu)化領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，如賴欣等[1]引入變密度拓撲優(yōu)化法對爬壁機器人負載底板、頂層支撐板和側(cè)面支撐板等主要結(jié)構(gòu)部件在ANSYS Workbench 軟件中進行結(jié)構(gòu)優(yōu)化，使得爬壁機器人底板在強度一致的基礎(chǔ)上達到輕量化的目的；史寶強[2]采用變密度法使用ANSYS Workbench 優(yōu)化軟件對爬壁機器人機身主體關(guān)鍵部件進行拓撲優(yōu)化及靜力學(xué)分析，達到機器人機身主體輕量化設(shè)計的目標；張國鋒等[3]以RB-10-001 型工業(yè)機器人機械臂作為研究對象，利用有限元法，以最小體積權(quán)值為優(yōu)化目標，以位移為約束條件進行拓撲優(yōu)化，在保證結(jié)構(gòu)剛度不降低的條件下，達到機械臂輕量化設(shè)計的目的。

本文利用ANSYS Workbench 軟件，基于變密度法的優(yōu)化算法，并考慮靜動態(tài)特性雙目標，對鋼質(zhì)壁面作業(yè)機器人機械手的小臂結(jié)構(gòu)進行拓撲優(yōu)化，進行輕量化設(shè)計和結(jié)構(gòu)性能優(yōu)化。

1 拓撲優(yōu)化問題的基本數(shù)學(xué)模型

拓撲優(yōu)化是以材料分布為優(yōu)化對象，將區(qū)域離散成若干個有限單元，在給定的目標和約束條件下，對均勻分布材料的設(shè)計空間，反復(fù)進行材料分布的計算，并根據(jù)刪除策略找到材料的最佳分布方案[4]，目的在于尋求結(jié)構(gòu)材料在設(shè)計域空間最佳的分布形式，或在設(shè)計域空間尋求結(jié)構(gòu)最佳的傳力路徑，以優(yōu)化結(jié)構(gòu)的某些性能或減輕結(jié)構(gòu)的質(zhì)量[5]。

本文使用基于變密度法的拓撲優(yōu)化方法，其材料插值模型如下：

式中：E（ρi）為插值后的彈性模量；E0為實體材料的彈性模量；p為材料的懲罰因子；ρi為第i個單元的相對密度。

變密度法假定每個單元的剛度矩陣依賴于懲罰因子p相對密度的改變，建立材料相對密度與材料彈性模量間顯示非線性的函數(shù)關(guān)系[6]，如圖1 所示。通過引入懲罰因子p對材料的中間密度值ρi進行調(diào)整，結(jié)構(gòu)剛度逐漸受到懲罰，使得中間密度向0～1兩端聚集，以改變單元的彈性模量E，進而改變材料的剛度矩陣K，最后實現(xiàn)材料的分配和傳力路徑的規(guī)劃。

根據(jù)機械振動理論，鋼質(zhì)壁面作業(yè)機器人機械手小臂可看成一個振動系統(tǒng)，其動力學(xué)基本方程為：

式中：M為質(zhì)量矩陣；C為阻尼矩陣；K為剛度矩陣；x"為加速度矢量；x′為速度矢量；x為位移矢量；F（t）為外力矢量。

圖1 SIMP密度插值函數(shù)模型

傳統(tǒng)拓撲優(yōu)化以盡可能減小優(yōu)化體的柔度為最終目標，約束條件通常選取材料的體積，尋求優(yōu)化件的最大剛度，同時達到輕量化目的。本文基于常用的拓撲優(yōu)化方法，以機械手小臂的材料單元相對密度為設(shè)計變量，結(jié)構(gòu)最小柔度為目標函數(shù)，體積為約束條件,建立拓撲優(yōu)化問題的基本數(shù)學(xué)模型，如式（3）所示。

式中：ρ為設(shè)計變量；N為材料單元的數(shù)；i為材料單元的序號；C為結(jié)構(gòu)柔度函數(shù)；U為結(jié)構(gòu)的位移向量；K為結(jié)構(gòu)的總剛度矩陣；F為結(jié)構(gòu)載荷矢量；uh為單元位移量；k0為初始單元剛度矩陣；V（ρ）為優(yōu)化后的體積；V0為結(jié)構(gòu)參與設(shè)計部分的總體積；fv為體積約束設(shè)定的比例值；ρmin為設(shè)計變量的下限；p為密度懲罰系數(shù)。

2 小臂結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化

構(gòu)建鋼質(zhì)壁面作業(yè)機器人機械手小臂的三維模型，利用有限元法對模型進行靜力學(xué)分析及模態(tài)分析并獲取結(jié)構(gòu)特性；確定優(yōu)化對象，建立優(yōu)化數(shù)學(xué)模型；設(shè)定拓撲優(yōu)化條件，選取設(shè)計區(qū)域，選用ANSYS Workbench 軟件中的Topology Optimization 模塊進行有限元分析；提取拓撲優(yōu)化模型，對其模型重構(gòu)，并對重構(gòu)模型進行特性分析。拓撲優(yōu)化分析流程如圖2所示。

圖2 拓撲優(yōu)化分析流程

2.1 有限元特性分析

根據(jù)鋼質(zhì)壁面作業(yè)機器人機械手小臂結(jié)構(gòu)的設(shè)計要求，選用厚度為4 mm 的鋁合金板材。機械手小臂為焊接及螺栓組合件，本文在三維建模時將其簡化成一體式的實體模型，以便于后續(xù)的分析和優(yōu)化。運用SolidWorks 軟件建立機械手小臂三維實體模型，如圖3所示。

利用ANSYS Workbench 有限元軟件對模型進行靜力學(xué)分析及模態(tài)分析，得到主要結(jié)構(gòu)特性指標，如表1所示。

位移總變形、等效應(yīng)力分別如圖4和圖5所示。最大變形量為0.239 59 mm，可知最大變形很小，滿足剛度要求。最大應(yīng)力值為43.515 MPa，遠小于所選材料的許用應(yīng)力，在最大許可范圍以內(nèi)。

圖3 小臂結(jié)構(gòu)實體模型

表1 靜動態(tài)特性主要指標

圖4 總體變形云圖

圖5 等效應(yīng)力云圖

2.2 優(yōu)化問題描述

由圖4 可知，機械手小臂所產(chǎn)生的最大變形很小，不會對傳遞負載帶來明顯的精度問題，可安全使用，由圖5可知，機械手小臂高應(yīng)力主要在連接大臂部位區(qū)域，是結(jié)構(gòu)的薄弱部分，為重要區(qū)域；而低應(yīng)力區(qū)域?qū)Τ袚?dān)載荷的傳遞貢獻較小，為非重要區(qū)域。非重要區(qū)域的材料沒有得到充分利用，相當(dāng)于材料冗余，假如去掉該區(qū)域材料，其對整個結(jié)構(gòu)的應(yīng)力影響較小。因此，如何合理減少冗余材料，既使得結(jié)構(gòu)實現(xiàn)輕量化，又能夠滿足結(jié)構(gòu)特性要求，是優(yōu)化設(shè)計考慮的問題。

2.3 有限元拓撲優(yōu)化分析

本研究通過算例分析，旨在尋求精準的減重區(qū)域，以合理減少冗余材料。

算例1：基于靜力學(xué)特性的拓撲優(yōu)化

由式（2）可知，該數(shù)學(xué)模型反映了結(jié)構(gòu)輕量化與結(jié)構(gòu)剛度性能的關(guān)系，搭建“Topology Optimization”拓撲優(yōu)化分析模塊與有限元特性分析的靜力學(xué)分析項目耦合關(guān)系，進行基于靜力學(xué)特性的拓撲優(yōu)化。

邊界條件及優(yōu)化參數(shù)設(shè)置：小臂結(jié)構(gòu)除安裝孔、定位孔和邊界條件位置等區(qū)域外，其余設(shè)置為參與優(yōu)化區(qū)域；目標函數(shù)C（ρ）定義為最小化，體積約束比fv設(shè)計為75%；利用變密度的優(yōu)化算法，密度懲罰系數(shù)p取值為3；密度閾值ρ設(shè)計為0.01。

拓撲優(yōu)化結(jié)果如圖6 所示，其中，數(shù)值大表示材料必須保留的區(qū)域，數(shù)值小表示多余材料可以被去除的區(qū)域。由圖6（a）得知，減重區(qū)域集中兩端部位，中間部位可去除部位不明顯。小臂結(jié)構(gòu)兩端部位主要是連接大臂及執(zhí)行末端，從裝配和受力角度考慮，此處材料不適宜過多去除。從圖6（b）可看到拓撲過程出現(xiàn)材料斷刃?？梢姶朔桨竷?yōu)化效果不夠理想。

圖6 拓撲優(yōu)化結(jié)果（算例1）

算例2：考慮動力學(xué)的雙目標拓撲優(yōu)化

機械手小臂振動系統(tǒng)的剛度K、質(zhì)量M、特征向量Xi及特征值ωi2之間的關(guān)系可表示為：

由式（4）可知，固有頻率與剛度正相關(guān)，與質(zhì)量負相關(guān)?？紤]到小臂結(jié)構(gòu)剛度K包含材料屬性、模型尺寸和約束條件等因素，得知當(dāng)質(zhì)量發(fā)生變化時，不僅存在體積變化，還存在剛度變化，會引起振動特性變化。而在一般情況下，隨著結(jié)構(gòu)材料的減少，結(jié)構(gòu)在受力情況下的應(yīng)力值會明顯變大[7]。為能夠減少小臂結(jié)構(gòu)的質(zhì)量，又不降低其強度、剛度和振動特性，本算例以考慮輕量化和提升振動特性為目的展開研究。

建立以固有頻率最大化的目標函數(shù)的數(shù)學(xué)模型，如式（5）所示。

式中：G為特征值函數(shù)；F為外部載荷；ωi2為第i階特征值；Xi為與第i階特征值對應(yīng)的特征向量；fi為第i階固有頻率。

聯(lián)合式（3）和式（5）的數(shù)學(xué)模型，建立結(jié)構(gòu)最小柔度C（ρ）和頻率最大化G（-ωi2）為優(yōu)化目標的雙目標數(shù)學(xué)模型，如式（6）所示。該數(shù)學(xué)模型揭示了結(jié)構(gòu)輕量化與結(jié)構(gòu)剛度性能、振動特性之間的關(guān)系。

基于式（6）基本數(shù)學(xué)模型，“Topology Optimization”拓撲優(yōu)化分析模塊與有限元特性分析的靜力學(xué)、模態(tài)分析項目耦合，定義雙目標函數(shù)參數(shù)，柔度函數(shù)C（ρ）為最小化，頻率函數(shù)G（-ωi2）為最大化，約束條件為體積約束比fv為75%。

運算求解后得到拓撲優(yōu)化結(jié)果，如圖7 所示。從圖7（a）中能夠準確判斷出材料冗余分布，由圖7（b）得到材料可去除的部位，結(jié)構(gòu)連續(xù)不斷刃，可知本方案優(yōu)化效果理想。

圖7 拓撲優(yōu)化結(jié)果（算例2）

拓撲迭代歷程如圖8 所示。由圖8（a）可判斷出體積約束響應(yīng)在第5 次迭代時已到達響應(yīng)收斂標準，由圖8（b）可知在第32次迭代時，優(yōu)化區(qū)域計算完成，組合目標在收斂標準附近且趨于穩(wěn)定。從拓撲迭代歷程穩(wěn)定性和收斂程度可知，拓撲優(yōu)化計算結(jié)果是相對穩(wěn)定可靠的。

圖8 拓撲迭代歷程

2.4 基于優(yōu)化結(jié)果重構(gòu)模型

針對拓撲優(yōu)化后模型重構(gòu)的去“材料”方法，彭上乾[8]提出了在相關(guān)部位局部挖空的方法，史寶強[2]采用了孔洞處理方式?；谛”劢Y(jié)構(gòu)的薄壁特征，本文利用“孔洞”的切除方法，去除小臂冗余體積。多孔結(jié)構(gòu)的作用不僅能實現(xiàn)減重，還能提高機械小臂的散熱、減振性能。根據(jù)圖7所示的減重區(qū)域，綜合考慮機械加工工藝和裝配空間布置實際需要，重構(gòu)后小臂結(jié)構(gòu)模型如圖9所示。

2.5 優(yōu)化前后性能分析與評估

由于材料削減，結(jié)構(gòu)的剛度、強度和固有頻率發(fā)生改變，需要對優(yōu)化前后的模型的結(jié)構(gòu)特性進行驗證。對小臂結(jié)構(gòu)的重構(gòu)模型進行靜力學(xué)和模態(tài)分析，主要靜動態(tài)特性結(jié)果如表2所示。

圖9 小臂結(jié)構(gòu)重構(gòu)模型

表2 優(yōu)化前后的靜動態(tài)特性主要指標

優(yōu)化后的總質(zhì)量為0.345 59 kg，降幅6.84%，達到了較好的輕量化效果；等效應(yīng)力為25.805 MPa，降低了40.70%，總變形縮小14.43%，強度和剛度明顯增加，說明結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能得到了提升；1 階固有頻率增幅1.73%，表明結(jié)構(gòu)抑制外界激勵的能力增強。

基于上述分析，考慮動力學(xué)的雙目標拓撲優(yōu)化方案，能夠較好地對小臂結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化，實現(xiàn)輕量化的降重效果，同時使得結(jié)構(gòu)特性得以明顯改善。與算例1 方案相比，算例2 方案的計算求解時間較長，也對計算機性能配置要求較高，這是與算例1方案相比存在的不足之處。

3 結(jié)束語

本文根據(jù)鋼質(zhì)壁面作業(yè)機器人機械手小臂結(jié)構(gòu)的設(shè)計要求，運用SolidWorks軟件建立機械手小臂三維實體模型，利用ANSYS Workbench 有限元軟件對小臂結(jié)構(gòu)進行特性分析。在小臂結(jié)構(gòu)減重和改善結(jié)構(gòu)特性的需求基礎(chǔ)上，采用基于變密度法的拓撲優(yōu)化技術(shù)，并聯(lián)合多目標優(yōu)化理論，對小臂結(jié)構(gòu)完成輕量化設(shè)計。小臂結(jié)構(gòu)在優(yōu)化設(shè)計后的質(zhì)量下降6.84%，等效應(yīng)力降低40.70%，總變形縮小14.43%，1階固定頻率增幅1.73%，輕量化降重效果明顯，結(jié)構(gòu)特性大幅度改善，有效避免了結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計的盲目性。本研究方法為機器人其他零部件及整體結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計，如機械手大臂、機器人底盤架的輕量化，提供了思路。本研究結(jié)合算例方案分析給出的一種薄殼體結(jié)構(gòu)輕量化處理方法，可為類似結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計提供參考。