線段圖在小學(xué)數(shù)學(xué)“解決問題”教學(xué)中的應(yīng)用

黃玉鳳

（福建省尤溪縣城關(guān)小學(xué)，福建 尤溪 365100）

小學(xué)生的心智尚未發(fā)育成熟，對(duì)于知識(shí)的理解比較抽象，解題思路也難以得到有效地開發(fā)，解決問題時(shí)經(jīng)常因?yàn)檫z漏關(guān)鍵條件或錯(cuò)用條件，致使解題過程錯(cuò)誤百出。因此，在“解決問題”教學(xué)中，教師應(yīng)創(chuàng)新教學(xué)形式并通過科學(xué)的引導(dǎo)，來提高學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，從而鞏固自身的能力。線段圖能將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的圖像，利用線條組合具象化的標(biāo)出習(xí)題中的數(shù)量關(guān)系，幫助學(xué)生梳理思維，更快找到解題思路。

一、線段圖在小學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的價(jià)值

顧名思義，線段圖就是由一條或多條線段組成的數(shù)學(xué)解題模式，將數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為長短比例不同的線段，實(shí)現(xiàn)抽象問題具象化，從而降低學(xué)生的理解和掌握難度。線段圖具有簡單明了的特點(diǎn)，符合小學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，適合應(yīng)用在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中，且有著較高的應(yīng)用價(jià)值，主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

第一，線段圖具有明顯的直觀性，符合學(xué)生的基本心理特點(diǎn)。對(duì)于小學(xué)生來說，對(duì)很多事情的認(rèn)知都較為片面，加之思維能力受限，導(dǎo)致無法準(zhǔn)確理解抽象問題的內(nèi)涵。而線段圖的運(yùn)用能化繁為簡，將復(fù)雜的問題簡單化，直觀展示數(shù)據(jù)比例關(guān)系，降低學(xué)生的理解難度。

第二，線段圖結(jié)構(gòu)簡單，能將復(fù)雜問題簡單化。一些復(fù)雜的問題中，數(shù)量關(guān)系也較為混亂，甚至還存在無用的干擾條件，學(xué)生單純通過閱讀解讀題意，無法直觀認(rèn)識(shí)到問題的實(shí)質(zhì)，而線段圖的運(yùn)用能將整個(gè)問題中的數(shù)字關(guān)系清晰展示出來，便于學(xué)生解題思路的生成。換言之，線段圖的應(yīng)用簡化了基本數(shù)學(xué)問題。

第三，線段圖能鍛煉學(xué)生的思維方式。線段圖可以將復(fù)雜問題簡單化，讓學(xué)生有序梳理數(shù)學(xué)中的每個(gè)過程，從復(fù)雜數(shù)學(xué)關(guān)系中找到一條清晰可見的解題線索，并沿著線索深入思考，從而有效提高自身的思維能力。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)“解決問題”教學(xué)中應(yīng)用線段圖的策略

（一）利用線段建立模型，深入理解概念

數(shù)學(xué)問題由多個(gè)數(shù)量關(guān)系組成，而“解決問題”的關(guān)鍵就在于運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題中的基本數(shù)量關(guān)系，在“解決問題”教學(xué)中，教師在遇到抽象問題時(shí)應(yīng)展開分析，從數(shù)學(xué)概念出發(fā)提出判斷數(shù)據(jù)。原因是部分小學(xué)生的理解能力和認(rèn)知有限，對(duì)于數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系理解不夠清晰，一時(shí)難以形成解題思路。故而，教學(xué)過程中，教師要應(yīng)以線段圖為輔助工具，注重提煉題目中的每一個(gè)數(shù)據(jù)，讓學(xué)生在基本關(guān)系中找到問題所需關(guān)鍵信息，進(jìn)而在理解題意的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生將抽象信息加以轉(zhuǎn)換，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，以便在解決問題的同時(shí)深化對(duì)概念知識(shí)的理解。

以部編版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)上冊《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)》教學(xué)為例，為了讓學(xué)生深入理解概念知識(shí)，教師應(yīng)借助直觀、形象的線段圖來講解概念。首先，教師先利用多媒體課件演示“分月餅”，而學(xué)生觀察中發(fā)現(xiàn)月餅被從中間一分為二，教師則引導(dǎo)學(xué)生展開討論：月餅分開后，兩個(gè)部分怎么樣？說明是怎么分的？每份是整個(gè)月餅的多少？學(xué)生結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)回答問題，過程中明確“平均分”概念。教師要順勢引出分?jǐn)?shù)的概念，以課件內(nèi)容為線索，讓學(xué)生對(duì)形成初步感性的認(rèn)識(shí)，也為后續(xù)深入學(xué)習(xí)奠定了良好的基礎(chǔ)。隨后，教師在指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)“單位1”時(shí)，應(yīng)積極設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，如學(xué)校啦啦隊(duì)共有42 人，其中女生占全隊(duì)人數(shù)的，問女生共有多少人？為了讓學(xué)生分析題目中已知條件和問題之間的數(shù)量關(guān)系，教師應(yīng)利用課件展示線段圖，并要求學(xué)生觀察線段圖后思考從中獲得了哪些信息。這一過程中，學(xué)生通過直觀觀察認(rèn)識(shí)到線段圖中將42 人看成了“單位1”，女生占全隊(duì)人數(shù)的，就是將線段圖平均分成7 份，每份代表6 人，取其中的4 份，即24 人。由此，學(xué)生分析后可以根據(jù)其中的數(shù)量關(guān)系列式為：42×=24 人?；诖?，學(xué)生在學(xué)習(xí)相關(guān)概念知識(shí)后，通過類似題目訓(xùn)練，能提高對(duì)線段圖的熟悉度，并結(jié)合線段圖內(nèi)容分析數(shù)量間的大小關(guān)系、關(guān)系倍數(shù)，從而提高自身的分析能力、解題能力。

（二）注重畫圖過程指導(dǎo)，提高畫圖能力

解決問題中合理運(yùn)用線段圖，能讓數(shù)量關(guān)系更有條理的呈現(xiàn)出來，使抽象的問題更加具體和直觀，方便學(xué)生從復(fù)雜的文字信息中提煉出解題關(guān)鍵信息，進(jìn)而找到更簡便的解題方法。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)先引導(dǎo)學(xué)生對(duì)題目信息進(jìn)行分析，整合其中的條件后，指導(dǎo)學(xué)生掌握線段圖的規(guī)范畫法，能夠清楚、準(zhǔn)確地認(rèn)識(shí)到每個(gè)數(shù)量信息所代表的含義，從而直觀反映出信息與信息之間的關(guān)系。由此，當(dāng)學(xué)生掌握繪制線段圖的方法和技巧后，自然會(huì)在解題中靈活運(yùn)用，進(jìn)而養(yǎng)成利用線段圖解題的良好習(xí)慣。

以部編版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)上冊《倍的認(rèn)識(shí)》教學(xué)為例，教師應(yīng)圍繞“倍數(shù)關(guān)系”設(shè)計(jì)習(xí)題：學(xué)校新建立了一個(gè)象棋興趣社，共有34 名同學(xué)參加，其中男生再多2名就是女生的3 倍，問參加象棋社的男生和女生各有多少名？這類題目是學(xué)生必須要掌握的題型之一，其中的數(shù)量關(guān)系較為繁瑣，適合利用線段圖來解題。首先，在畫圖前，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到“象棋社中，男生多，女生少”“男生人數(shù)再多2 名就是女生人數(shù)的3 倍”“男生人數(shù)+2= 女生人數(shù)×3”。而后，教師要注重啟發(fā)學(xué)生思維，鼓勵(lì)學(xué)生用拇指和食指來比劃線段長短，讓學(xué)生對(duì)線段圖的繪制產(chǎn)生感性認(rèn)知。隨后，教師設(shè)問引導(dǎo)學(xué)生思考：男生的人數(shù)如何表示？女生的人數(shù)如何表示？如何利用線段圖表示男、女生人數(shù)之間的關(guān)系？鼓勵(lì)學(xué)生先自行探究，根據(jù)自己對(duì)數(shù)量關(guān)系的理解畫出線段圖，教師則要關(guān)注學(xué)生的繪圖情況，針對(duì)繪圖中出現(xiàn)的問題進(jìn)行恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)。最后，教師指導(dǎo)學(xué)生結(jié)合線段圖繪制情況展開討論，討論中學(xué)生認(rèn)識(shí)到“男生人數(shù)再多2 名就是女生人數(shù)的3倍”是準(zhǔn)確畫出線段圖的關(guān)鍵信息。同時(shí)，教師還可以追問學(xué)生的繪圖過程：若用1厘米長的線段來表示女生的人數(shù)，那么男生人數(shù)應(yīng)該用怎樣的線段來表示？鼓勵(lì)學(xué)生闡述線段圖中每個(gè)部分代表的含義。由此，學(xué)生可以在教師的指導(dǎo)下畫出美觀、簡潔的線段圖?；诖?，學(xué)生能在教師的指導(dǎo)下，利用線段圖直觀反映出信息之間的聯(lián)系，通過整合和重組數(shù)量關(guān)系建立數(shù)學(xué)模型，提高解題的正確率。

（三）巧妙運(yùn)用線段圖，探尋解題思路

線段圖之所以可以輔助學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題，原因在于以圖形的方式直觀展現(xiàn)了數(shù)量間的關(guān)系，甚至將隱含的條件顯性化，使學(xué)生抓住問題中的主要線索，順藤摸瓜找出解題方法。傳統(tǒng)數(shù)學(xué)“解決問題”教學(xué)中，教師更多是在帶領(lǐng)學(xué)生分析問題后，直接列式解決問題，忽視了對(duì)學(xué)生思維的引導(dǎo)過程，導(dǎo)致部分學(xué)生解題中只會(huì)刻板套用公式，不利于解題能力的提高。因此，在解決問題教學(xué)中，教師在畫出線段圖后應(yīng)有意指導(dǎo)學(xué)生突出其中的表征，抓住根本信息展開討論，探究線段圖中每一部分所對(duì)應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，指導(dǎo)學(xué)生思維由抽象轉(zhuǎn)化為具體，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的結(jié)合，明確解決問題的思路。

以部編版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊《除數(shù)是一位數(shù)的除法》教學(xué)為例，為了提高學(xué)生對(duì)除法運(yùn)算算理的掌握，教師應(yīng)設(shè)計(jì)如下問題，并巧妙運(yùn)用線段圖指導(dǎo)學(xué)生探尋解題思路。

【問題】為了保障學(xué)生的正常飲食，學(xué)校食堂中存放著足夠的大米和面粉，其中面粉的重量是225 千克，是大米重量的3倍，大米和面粉共多少千克？

面對(duì)這一問題，教師首先要讓學(xué)生根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系畫出線段圖，并圍繞線段圖與其他小組展開討論：若要知道大米和面粉的總重量，需要知道哪些條件？大米的數(shù)量是多少？與面粉的重量有哪些關(guān)系？怎樣列式？有幾種解答方法？學(xué)生可能找到以下幾種方法：1.用一段線段來代表大米重量，再利用三段長度相等的線段來代表面粉的重量，求出一共有1+3=4 份線段，將問題轉(zhuǎn)換為求4 份大米的重量，即225÷3×4=300 千克；2.先求出一份大米的重量，再將其與面粉重量相加，即225÷3+225=300 千克。這種教學(xué)形式下，學(xué)生可以多角度探究問題，形成多種解題思路，促進(jìn)學(xué)生求異思維和發(fā)散思維的提升，從而提高學(xué)生的綜合思維品質(zhì)?；诖?，學(xué)生可以在利用線段圖解題時(shí)發(fā)現(xiàn)，很多數(shù)學(xué)問題存在多種解題方式，在比較中，學(xué)生可以選擇自己喜歡的方式進(jìn)行解題。

（四）恰當(dāng)運(yùn)用線段圖，培養(yǎng)應(yīng)用能力

線段圖不僅是一種教學(xué)方法，更是一種解題思維，為了讓學(xué)生在實(shí)際解題中能夠靈活運(yùn)用線段圖分析變量關(guān)系，教師應(yīng)做好引導(dǎo)工作，加大變量關(guān)系尋找的訓(xùn)練。具體來說，教師應(yīng)結(jié)合教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)不同的題型，通過增加或改變題目中數(shù)量的個(gè)數(shù)，訓(xùn)練學(xué)生根據(jù)題目中的信息畫出線段圖，鍛煉自身繪圖能力。同時(shí)，在畫完線段圖后，還要將線段圖與題目中包含數(shù)量信息的句子逐一對(duì)照一遍，讓學(xué)生在強(qiáng)化練習(xí)中提高對(duì)線段圖的應(yīng)用能力。

以部編版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊《小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)》教學(xué)為例，教師在講解小數(shù)相關(guān)知識(shí)時(shí)，為了拓展學(xué)生對(duì)數(shù)的認(rèn)知，并靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解決問題，可以在隨堂練習(xí)中設(shè)計(jì)應(yīng)用題，讓學(xué)生在解題中提高對(duì)知識(shí)的應(yīng)用能力。具體內(nèi)容如下：

【問題】兩根鋼管長度相同，第一根用掉了2 米，第二根用掉了3.8 米，第一根鋼管剩下的長度是第二根剩下的3 倍，求鋼管原長多少米？

這類題目通常有兩種解題思路，第一種思路就是運(yùn)用方程來解題，將鋼管原本長度設(shè)為x 米，列方程解答。但對(duì)于三年級(jí)的小學(xué)生而言，他們尚未接觸方程，因此，還是利用線段圖解題更恰當(dāng)。學(xué)生可以根據(jù)題意畫出線段圖，解題中將“第二根鋼管的長度”視為1 份，根據(jù)題目中的倍數(shù)關(guān)系，第一根剩下的長度就可以視為3 份，得出第一根鋼管剩下長度比第二根鋼管剩下長度多出2 份的結(jié)論，再分析線段圖內(nèi)涵，發(fā)現(xiàn)多出的2 份長度為3.8- 2=1.8 米，進(jìn)而得出1 份長為0.9 米，因此，每根鋼管的長度是3.8+0.9=4.7 米。值得注意的是，部分學(xué)生在畫出線段圖后，將原鋼管長度看做1 份，引入了分?jǐn)?shù)概念，增加了解題的難度，教師面對(duì)這種情況，應(yīng)加強(qiáng)對(duì)學(xué)生思維的引導(dǎo)?；诖耍瑢W(xué)生在解題中合理運(yùn)用線段圖，讓原本復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系變得簡單而明了，再運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解決問題，讓解題過程更加輕松。

（五）線段圖變式教學(xué)，完善解題思維

部分學(xué)生的理解能力不足，無法在閱讀題目信息后快速找出解題思路，因此，解題教學(xué)中教師應(yīng)注重指導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)對(duì)解題思路的理解。在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)結(jié)合教學(xué)主題巧設(shè)問題，結(jié)合情境激發(fā)學(xué)生運(yùn)用線段圖解題的動(dòng)機(jī)，并在學(xué)生解決問題后增設(shè)變式練習(xí)，利用豐富且富有新意的題型，讓學(xué)生在干擾條件中辨析出正確的解題思路，從而提高學(xué)生解決實(shí)際數(shù)學(xué)問題的能力。

以部編版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)上冊《三位數(shù)乘兩位數(shù)》教學(xué)為例，為了讓學(xué)生理解基礎(chǔ)算理的同時(shí)，掌握“速度×?xí)r間= 路程”這一數(shù)量關(guān)系，教師應(yīng)采取變式教學(xué)手段啟發(fā)學(xué)生思維。首先，教師應(yīng)先提出簡單的“路程問題”：小雨每分鐘走60 米，15 分鐘走了多少米？聲音傳播速度是340m/s，傳播1700m需要多長時(shí)間？要求學(xué)生討論題目中已知條件是什么，要求的是什么，讓學(xué)生在練習(xí)中明確題目中的數(shù)量關(guān)系。隨后，教師借助教材中的習(xí)題創(chuàng)設(shè)情境：王叔叔今日要去王村送化肥，去的時(shí)候速度是40km/h，路上用時(shí)3h，原路返回則用了2h，問返回時(shí)平均每小時(shí)行多少千米？要求學(xué)生梳理題目中的已知條件后，繪制線段圖分析其中的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)“路程相等”這一關(guān)鍵線索找到解題思路，列式為：40×3÷2=60km/h。最后，教師可以設(shè)計(jì)變式練習(xí)：貨車和客車同時(shí)同地出發(fā)，朝著相反的方向開出，貨車每小時(shí)行駛40 千米，客車比貨車行駛速度每小時(shí)快5.5 千米，4 小時(shí)后，兩車相距多少千米？很多學(xué)生在解決這類問題時(shí)遇到了思維瓶頸，教師應(yīng)逐步引導(dǎo)學(xué)生思維，要求其先畫出一條線段代表貨車行駛的總路程，在這條線段的右側(cè)再畫出一條線段代表客車行駛的總路程，構(gòu)建完整的線段圖，并在線段圖中標(biāo)明貨車行駛總路程為：40×4=160 千米，而客車行駛總路程為：（40+5.5）×4=182 千米，結(jié)合線段圖直觀分析其中的數(shù)量關(guān)系，得出兩車之間相距：40×4+（40+5.5）×4=342 千米，求出最終結(jié)果。基于此，學(xué)生在由易到難的練習(xí)中，逐步拓展解題思維，熟練應(yīng)用線段圖的同時(shí)提高解題水平。

（六）線段圖解讀信息，培養(yǎng)理解能力

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，線段圖既是可以輔助教學(xué)工作開展，又能培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)解題思路。教師要正視線段圖的重要性，并在課堂中利用線段圖來幫助學(xué)生梳理數(shù)量關(guān)系，從而提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題的閱讀理解能力和分析能力。具體來說，教師在隨堂練習(xí)或講評(píng)習(xí)題時(shí)，可以利用線段來表示各種數(shù)量關(guān)系，讓學(xué)生通過觀察線段圖來快速獲取有價(jià)值的數(shù)學(xué)信息。這樣一來，學(xué)生不僅可以快速理清問題中的數(shù)量關(guān)系，還能養(yǎng)成利用線段圖解決問題的良好習(xí)慣。

以部編版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)上冊《萬以內(nèi)的加法和減法（一）》教學(xué)為例，教師在講解理論知識(shí)點(diǎn)后，為提高學(xué)生的解題能力設(shè)計(jì)習(xí)題，并在講評(píng)環(huán)節(jié)利用線段圖引導(dǎo)學(xué)生分析。首先，教師先提出問題“某小學(xué)三年級(jí)共有96 人，周三下午的社團(tuán)活動(dòng)日中，每個(gè)人都參加了自己感興趣的社團(tuán)活動(dòng)。其中，參加科技類社團(tuán)活動(dòng)的共有33 人，參加文藝類社團(tuán)活動(dòng)的共有27人，請問參加其他社團(tuán)活動(dòng)的共有多少人？”借助問題吸引學(xué)生的注意力，同時(shí)給予學(xué)生充足的時(shí)間分析問題、解決問題。當(dāng)教師詢問學(xué)生解題結(jié)果時(shí)，答案出現(xiàn)了分歧，有的學(xué)生答案是36 人，而有的學(xué)生答案則是90 人。從結(jié)果上分析，很明顯部分學(xué)生沒有理解問題中的數(shù)量關(guān)系，只是單純利用題目中給出的條件列式解答，難免會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。隨后，教師應(yīng)利用線段圖講評(píng)這道題目，先畫出一條長線段，代表“三年級(jí)人數(shù)”，劃去線段的一部分，用來代表“參加科技類社團(tuán)活動(dòng)的人數(shù)”，再劃去線段的一部分，用來代表“參加文藝類社團(tuán)活動(dòng)的人數(shù)”，并在剩余線段部分的上方寫下一個(gè)問號(hào)。由此，通過線段圖，學(xué)生可以準(zhǔn)確把握其中的數(shù)量關(guān)系，明白應(yīng)該用減法法則列式求出結(jié)果，即96- 33-27=36 人。基于此，學(xué)生一邊聽教師講解題目，一邊觀察線段圖，明確線段中每一部分所代表的含義，并在教師的引導(dǎo)下理解所列式子的含義，提高對(duì)題目的分析能力和理解能力。

三、結(jié)語

總的來說，利用線段圖解題是一種科學(xué)的解題思路，為了幫助學(xué)生形成正確解題意識(shí)，教師在日常教學(xué)中要常用線段圖，起到宣傳和推廣的作用，幫助學(xué)生養(yǎng)成利用線段圖分析題意的習(xí)慣。在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生對(duì)線段圖形成客觀的認(rèn)識(shí)，明確哪些題型適合運(yùn)用線段圖解題，并在解決問題時(shí)有針對(duì)性激發(fā)其解題思路，鍛煉學(xué)生的自主思考能力。