水聲微弱信號處理及其研究進展

葛鳳翔 張迎輝

（1.北京師范大學(xué)人工智能學(xué)院，北京 100875；2.北京師范大學(xué)自然科學(xué)高等研究院復(fù)雜系統(tǒng)國際科學(xué)中心，廣東珠海 519087；3.北京師范大學(xué)未來教育學(xué)院，廣東珠海 519087）

1 引言

各種形式的干擾和噪聲無處不在，在實際應(yīng)用中將直接影響到信號與信息處理的性能，尤其是微弱信號處理。所謂微弱信號，并不一定是指待處理信號中感興趣目標(biāo)信號的幅度很??；很多情況下，還指被噪聲、干擾或水聲混響/雷達雜波污染的感興趣目標(biāo)信號，其幅度相對較小。另外在很多應(yīng)用場景下，干擾和感興趣目標(biāo)信號往往在變換域（頻域或空域等）間隔低于瑞利限而需要采用超分辨率信號處理方法。

微弱信號處理的應(yīng)用非常廣泛［1-2］，具體包括：信息科學(xué)、物理、化工、生物、醫(yī)學(xué)、農(nóng)牧漁、材料、機械、國防軍事等等當(dāng)今社會幾乎所有領(lǐng)域，往往是這些學(xué)科領(lǐng)域多層次方法的綜合應(yīng)用。微弱信號與信息處理本身是一項系統(tǒng)工程，從系統(tǒng)的總體設(shè)計和制造，前端的收發(fā)硬件設(shè)備到后端的軟硬件信號處理，以及信息處理與融合等，每一個環(huán)節(jié)都非常重要。具體而言，系統(tǒng)設(shè)備的減噪技術(shù)、信號設(shè)計、噪聲特性、信道傳播、新型傳感器［3］乃至多傳感器陣列技術(shù)、信號處理、信息融合和關(guān)聯(lián)技術(shù)等等，都是這個系統(tǒng)需要關(guān)注和綜合考慮的。

目前，微弱信號處理的理論和方法仍是信號處理領(lǐng)域的難點，并且一直在不斷發(fā)展。本文將結(jié)合我們近年在微弱信號處理方面的一些工作，探討和總結(jié)一下水聲微弱信號處理的現(xiàn)狀和研究進展。

2 常規(guī)微弱信號處理方法

2.1 準(zhǔn)備知識

信噪比（SNR：Signal-to-Noise Ratio）、信干比（SIR：Signal-to-Interference Ratio）和信混比/信雜比（SRR/SCR：Signal-to-Reverberation/Clutter Ratio）本身是相對數(shù)值量綱，其定義一般為：

其中PS、PN、PI、PR和PC分別表示感興趣目標(biāo)信號、噪聲、干擾、混響和雜波的功率。所謂微弱信號，一般有：PS＜PN，PS＜PI，PS＜PR，PS＜PC，甚至PS?PN，PS?PI，PS?PR，PS?PC。

圖1所示為國防軍事領(lǐng)域的潛艇降噪水平和聲吶檢測能力的對照圖。20世紀(jì)60年代以來，潛艇的輻射噪聲每年大約以1 dB 的速度在不斷遞減［4］，而潛艇的反射本領(lǐng)也由于消聲瓦的使用進一步大約降低了10 dB（在一定頻段內(nèi)），從而使得聲吶作用距離不斷減小，直至前些年發(fā)展到英法兩艘安靜型核潛艇近距離互不發(fā)現(xiàn)以至在大西洋相撞的地步［5］。另外在特定區(qū)域的微弱信號目標(biāo)探測，比如：國家重大活動期間安保，也非常重要但卻極具挑戰(zhàn)性。

圖1 潛艇輻射噪聲和聲吶檢測能力Fig.1 Submarine radiated noise and sonar detection capability

2.2 系統(tǒng)前端處理

聲吶系統(tǒng)一般都是通過前端水聽器來獲取觀測數(shù)據(jù)并據(jù)此進行信號與信息處理。因此從系統(tǒng)的角度，前端數(shù)據(jù)獲取和預(yù)處理本身是整個微弱信號處理系統(tǒng)很重要的基礎(chǔ)環(huán)節(jié)。目前，系統(tǒng)前端的常用處理方法［1］有：防止離散化時頻譜混疊的前端模擬濾波、鎖定放大、取樣積分累積、用以改善數(shù)據(jù)質(zhì)量的模擬或者數(shù)字濾波等。

2.3 相關(guān)處理

基于信號的相似性，將待處理信號和參考信號進行互相關(guān)處理（Cross-Correlation），在信號檢測和參數(shù)估計領(lǐng)域中是一種非常重要的方法。從廣義的角度，目前常用的信號處理方法甚至最終都可以歸屬于“互相關(guān)”處理范疇，比如：基于輸出功率信噪比最大準(zhǔn)則下的匹配濾波器［6］，基于三角函數(shù)基的傅里葉變換，基于陣列流形的波束形成，基于小波基的小波變換，基于特征分解的子空間類方法，基于冗余字典的稀疏表示，自適應(yīng)濾波，等等。上述這些常用的信號處理方法與最基本的“互相關(guān)”處理相比，差別主要在于如何借助物理和數(shù)學(xué)方法獲取參考信號以對待處理信號進行有效的信號檢測和參數(shù)估計。這些參考信號可以有待處理信號物理產(chǎn)生機制所決定的不同數(shù)學(xué)表現(xiàn)形式，甚至可以是在不同的域（Domain）或者變換空間（Space）。“相干（Coherent）處理”從這個角度可以看作待處理信號在變換域與參考信號互相關(guān)處理的延伸。信號處理的基礎(chǔ)是對信號進行有效的表示，以線性信號處理方法為例，t時刻的待處理信號/向量r(t)可以表示為：

其中φi(t)為各種信號處理方法中對應(yīng)的參考基函數(shù)/向量，比如可以分別對應(yīng)傅里葉變換的三角函數(shù)基、波束形成的陣列流形、小波變換的小波基、子空間類方法的特征向量、稀疏表示的原子，以及更廣義的一些專業(yè)術(shù)語，比如：本征函數(shù)（Eigen-Function）、模態(tài)（Mode）、流形（Manifold）、模式（Pattern）、范式（Normal Form）等；αi為對應(yīng)φi(t)的特征參數(shù)（Parameter），可以通過如下“互相關(guān)”處理得到：

2.4 自適應(yīng)噪聲或干擾抑制

自適應(yīng)噪聲或干擾抑制是自適應(yīng)濾波理論中最常見的應(yīng)用，是維納濾波的一種有效實現(xiàn)［6-7］。利用感興趣目標(biāo)信號與噪聲/干擾的不相關(guān)特性，基于最小均方誤差準(zhǔn)則［6］或者擴展的最小二乘準(zhǔn)則，自適應(yīng)調(diào)整濾波器系數(shù)，實現(xiàn)對噪聲/干擾的抑制，最終有效改善輸出信號的質(zhì)量。

常規(guī)頻域濾波方法是通過剔除感興趣目標(biāo)信號頻帶外分量來實現(xiàn)噪聲/干擾抑制。自適應(yīng)濾波方法則是基于感興趣目標(biāo)信號與噪聲/干擾之間的不相關(guān)特性，因此即使感興趣目標(biāo)信號與噪聲/干擾的頻帶交疊，仍可對感興趣目標(biāo)信號頻帶內(nèi)的噪聲和干擾進行抑制［7］。圖2 為自適應(yīng)噪聲抑制的仿真結(jié)果，可以看到，待處理信號經(jīng)自適應(yīng)噪聲抑制后的輸出信號，無論是在感興趣目標(biāo)信號（線性調(diào)頻信號）頻帶外（歸一化頻率約為0～0.1 和0.4～0.5），還是在頻帶內(nèi)一定范圍（歸一化頻率約為0.3～0.4），都取得了不錯的噪聲抑制效果。

圖2 自適應(yīng)噪聲抑制Fig.2 Adaptive noise suppression

但是在很多實際應(yīng)用場合，如何獲取參考信號將是自適應(yīng)濾波方法必須面對的一個挑戰(zhàn)性問題。比如在陣列信號處理中，自適應(yīng)干擾抑制［8］一般都需要假定干擾方位已知。自適應(yīng)線譜增強［7］則簡單通過延時待處理信號以獲取參考信號，其中的“線譜”僅僅是為了保證待處理信號與延時信號之間的相關(guān)性而提出的極端苛求。另外，經(jīng)多途傳播后得到的待處理信號會減弱這種相關(guān)性，自適應(yīng)線譜增強效果也因此會有不同程度的減弱。

2.5 小波變換

20世紀(jì)80年代開始，源自應(yīng)用數(shù)學(xué)分支的小波變換（Wavelet Transform）受到了廣泛關(guān)注［9-11］，尤其是在著名的小波變換快速算法，即MALLAT 算法［12］提出之后，更是成功從理論研究走向了非常廣闊的工程應(yīng)用。小波變換作為一種多分辨率分析方法，優(yōu)勢主要體現(xiàn)在兩方面。一方面是通過滑動平移和伸縮因子實現(xiàn)時間/頻率域的多尺度局部化分析，即：小波變換對小波基函數(shù)φ(t)時移τ后，再在不同尺度scale上與待處理信號r(t)進行內(nèi)積運算：

其中τ和scale 分別為滑動平移和伸縮因子，伸縮因子scale 通過調(diào)整大小來改變滑動窗長度，對應(yīng)“測不準(zhǔn)原理”使得小波變換具有多尺度局部化分析能力；這點區(qū)別于分析過程中分辨率固定的其他時/頻分析方法，如短時傅里葉變換，Gabor 變換和WVD變換，小波變換因此又被稱之為“數(shù)學(xué)顯微鏡”。另一方面則是函數(shù)形式靈活選擇的小波基，這點同樣區(qū)別于上述三角函數(shù)基的傅里葉類變換方法。

基于上述兩方面的優(yōu)勢，將小波變換［10］應(yīng)用于微弱信號處理中的噪聲/干擾抑制，主要有兩種思路。一種思路是利用多尺度局部化分析形成的帶通線性濾波器能夠更好地平衡時/頻域特性的分析能力，在有些應(yīng)用場合可以更適合實際工作的需要。圖3 所示的仿真結(jié)果中采用了兩種信號形式，圖3（a）為隨機方波脈沖信號加白噪聲，隨機方波脈沖信號由于在高、低頻域都有信息（主要分布在低頻部分），相對于常規(guī)的頻域低通濾波，此時小波變換的濾波效果更好；圖3（b）為正弦信號加白噪聲，頻譜信息簡單，此時小波變換基本沒能體現(xiàn)出多尺度帶通濾波的性能優(yōu)勢。小波變換上述去噪思路仍然屬于常規(guī)頻域濾波范疇，與前述的自適應(yīng)噪聲抑制方法有本質(zhì)區(qū)別。

圖3 低通濾波與小波變換應(yīng)用于噪聲抑制Fig.3 Low-pass filtering，wavelet transform，and their applications in noise suppression

另一種思路則是基于某些小波基能夠表征信號突變/瞬態(tài)（Singularity）的特性［13］，如：Marr小波，B樣條小波一、二階導(dǎo)數(shù)等，通過表征突變特性以達到檢測瞬態(tài)微弱信號的目的。本質(zhì)上講，小波變換的瞬態(tài)微弱信號檢測應(yīng)用也是基于相關(guān)處理，必然需要一定的信噪比和突變持續(xù)時間來保證檢測效果，否則相關(guān)處理結(jié)果會被噪聲和干擾信號所“污染”嚴(yán)重而導(dǎo)致不能有效凸顯這些瞬態(tài)特性。圖4中待處理信號為正弦信號加白噪聲，但信號中段有突變。仿真結(jié)果可看出，圖4（a）中通過小波變換可以清晰檢測出在信號中段出現(xiàn)的突變特性。但隨著信噪比的下降，圖4（b）中的突變特性被淹沒而沒能被有效檢測。如果將其中的突變看作是感興趣目標(biāo)信號，而正弦信號是干擾，可以看到小波變換有能力在強干擾背景下提取感興趣微弱目標(biāo)信號，但噪聲抑制能力則將取決于感興趣目標(biāo)信號的先驗函數(shù)信息，以及有效時長和帶寬等，高通公司的gpsOne 技術(shù)正是通過有效控制互相關(guān)處理中的信號碼片長度得以最大限度地提升了處理增益，使得其GPS定位能力明顯高于傳統(tǒng)GPS系統(tǒng)［14］。

圖4 小波變換應(yīng)用于奇異性檢測Fig.4 Wavelet transform and its application in singularity detection

2.6 特征分析

K-L 變換（Karhunen-Loeve Transform）是最小均方誤差優(yōu)化準(zhǔn)則下的一種正交變換，特征分析（Eigen-analysis）作為K-L變換的產(chǎn)物，有很好的幾何空間解釋性，計算方便且線性重構(gòu)誤差小，尤其是在MUSIC算法［15］提出后，得到了廣泛的研究和應(yīng)用。

我們一般假定待處理信號中的加性噪聲為白噪聲，白噪聲各向同性使得其在幾何空間的各個維度都是均衡的，因此各種線性信號處理方法的噪聲抑制能力主要取決于感興趣目標(biāo)信號在幾何空間的相對維度，所占維度越小，信噪比處理增益則越高。特征分析通過對待處理信號的協(xié)方差矩陣特征分解并移除噪聲子空間特征向量，僅利用信號子空間特征向量即可重構(gòu)得到信噪比質(zhì)量更好的協(xié)方差矩陣，并據(jù)此用于后續(xù)感興趣目標(biāo)信號的特征提取等。不過在實際工程應(yīng)用中，由于時域數(shù)據(jù)截取或空域陣列孔徑有限而引起的維度擴展使得無法達到上述性能的理論上限。

基于特征分析的自適應(yīng)干擾抑制技術(shù)由于其高分辨率而引起了科研人員的重視。以空域陣列信號處理為例，強干擾背景下的感興趣目標(biāo)方位估計，尤其是當(dāng)干擾與目標(biāo)在空域間隔近到CBF 和自適應(yīng)干擾抑制，甚至MVDR 和MUSIC 等經(jīng)典特征分析方法都無法分辨時，在聲吶和雷達等對抗領(lǐng)域帶來了很大的發(fā)展空間［16-17］。主模式抑制（DMR）［18-19］在經(jīng)典特征分析方法基礎(chǔ)上更進一步，假定強干擾背景下較大特征值所對應(yīng)的特征向量都屬于干擾子空間，利用先驗信息對主特征向量進行不同加權(quán)以實現(xiàn)干擾抑制。ZURK 等人［20］在假定干擾位置已知的情況下，在DMR［19］基礎(chǔ)上提出了一種混合判別方法以實現(xiàn)更準(zhǔn)確的干擾抑制。MUSIC 算法等通過分割信號與噪聲子空間實現(xiàn)方位估計，但信號子空間內(nèi)每個特征向量與相應(yīng)信源之間的對應(yīng)關(guān)系并不明確，因此限制了更為有效的干擾抑制能力。HARRISON［21］為此提出了一種特征聯(lián)合（ECA）自適應(yīng)干擾抑制技術(shù)，在假定目標(biāo)方向已知的情況下，通過構(gòu)造目標(biāo)方向與干擾方向功率比作為判決因子，自適應(yīng)判別各特征向量是否屬于干擾子空間。另外，上述判決因子的門限動態(tài)依賴于信干比和信噪比，因此進一步削弱了實際應(yīng)用能力。

針對上述問題，文獻［16-17］提出了基于特征分析的改進自適應(yīng)干擾抑制方法（EAAIS），通過改進的如下判決因子進行搜索：

其中BVm(θ)為第m個特征向量的CBF 空間功率譜估計，ΘT是在[0°，180°]范圍內(nèi)確定的目標(biāo)可能所在空間域，比如通過CBF 容易確知的強干擾主瓣陰影或者次旁瓣區(qū)域，ΘT的大小決定了空間分辨能力，可根據(jù)實際應(yīng)用自主確定。進而采用如下判決規(guī)則即可實現(xiàn)干擾和感興趣目標(biāo)信號分別對應(yīng)特征向量的分離。

如果在判決之前已經(jīng)將噪聲子空間分離，則上述規(guī)則判決可直接判定特征向量對應(yīng)干擾或者感興趣目標(biāo)信號。

圖5 的結(jié)果可以看出［17］，盡管微弱目標(biāo)信號緊鄰干擾且受其主瓣陰影嚴(yán)重污染，但我們提出的方法仍能夠?qū)崿F(xiàn)有效檢測，其中感興趣目標(biāo)方位為105°，緊鄰的干擾方位為103°，信干比約為-20 dB。

圖5 CBF，ECA和EAAIS干擾抑制結(jié)果Fig.5 Interference suppression by CBF，ECA，and EAAIS

圖6 為上述方法的實驗數(shù)據(jù)處理結(jié)果［17］，可以看到ECA 方法在起始時間段由于對目標(biāo)方位變化的寬容性較差，沒能給出連續(xù)可靠的目標(biāo)方位估計結(jié)果；而且當(dāng)出現(xiàn)較強干擾時，ECA 方法的干擾抑制效果不穩(wěn)健且旁瓣較高。EAAIS 方法則很好地適應(yīng)了目標(biāo)方位變化，能夠更好地跟蹤方位變化的目標(biāo)信號并有效抑制干擾。

圖6 實驗數(shù)據(jù)經(jīng)ECA和EAAIS處理后的CBF輸出結(jié)果Fig.6 Experimental results of ECA-CBF and EAAIS-CBF

2.7 稀疏表示

稀疏表示（Sparse Representation）和多尺度幾何分析［22］可以說都是小波變換發(fā)展的延伸。信號處理的核心問題是對信號進行有效表示，稀疏表示在1993 年由MALLAT 等人［23］首次提出后，隨著21 世紀(jì)初壓縮感知（Compressed Sensing）理論熱潮［24］再度引起了高度關(guān)注，更加完美地實現(xiàn)了從傅里葉到小波變換和多尺度幾何分析這些信號表示方法的目標(biāo)，旨在用一組更能夠逼近目標(biāo)信號物理本質(zhì)的數(shù)學(xué)函數(shù)來實現(xiàn)式（2）形式的“稀疏”表示，使得各目標(biāo)信號分量的能量更為集中。相應(yīng)特征參數(shù)向量α的估計可以通過如下目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化計算得到：

其中‖·‖0為l0范數(shù)操作，在數(shù)學(xué)上對應(yīng)“稀疏”表示，ε表示在二階矩維度的表示誤差，Φ是式（2）中φi(t)構(gòu)成的矩陣，即Φ=[φ1(t)，…，φi(t)，…]。因為l0范數(shù)是非凸函數(shù)，優(yōu)化計算無法保證其全局最優(yōu)解，因此嚴(yán)重影響了稀疏表示思想的實際推廣應(yīng)用。21世紀(jì)初以CANDèS，TAO，DONOHO 等為代表的天才應(yīng)用數(shù)學(xué)家們發(fā)表了一系列關(guān)于壓縮感知的文章［25-27］，證明了只要感興趣目標(biāo)信號在某正交空間具有稀疏性，就能在一定條件下將l0范數(shù)松弛到用有凸優(yōu)化特性的l1范數(shù)來近似實現(xiàn)稀疏表示，即：

由此稀疏表示的研究、實現(xiàn)［28-29］與應(yīng)用得到了爆發(fā)式的發(fā)展。各向同性白噪聲雖然在幾何空間的各個維度都是均衡的，不具備稀疏性，稀疏表示也因此并不具備比特征分析更強的噪聲抑制能力，但由于稀疏表示能夠使得各目標(biāo)信號分量的能量更為集中，因此仍然可以獲得更高的信噪比處理增益。

下面主要介紹一下稀疏表示在強干擾背景下的感興趣目標(biāo)方位估計能力，尤其是當(dāng)目標(biāo)緊鄰干擾。2.6 節(jié)介紹的特征分析方法，雖然在干擾抑制應(yīng)用中取得了很不錯的效果，但當(dāng)感興趣目標(biāo)信號與干擾的能量相當(dāng)或者兩者方位間隔低于一定數(shù)值時，會出現(xiàn)目標(biāo)功率損失的情況。如圖7（a）可以看到，當(dāng)SIR大約為0 dB時，經(jīng)特征分析方法EAAIS干擾抑制處理后的CBF 輸出，出現(xiàn)了較大的功率損失。而且在圖7（b）所示的SIR=0 dB 的極端情況下，即使干擾與感興趣目標(biāo)信號的空間方位間隔較大，也不能消除這種功率損失。究其原因，是因為特征分析對待處理信號的協(xié)方差是在最大方差維度投影以獲取該維度的特征值，因此當(dāng)干擾和感興趣目標(biāo)信號強度相當(dāng)時，特征分析會出現(xiàn)信源之間對應(yīng)關(guān)系及其相應(yīng)功率的混淆?？紤]到干擾抑制不僅僅是為了后續(xù)的感興趣目標(biāo)方位估計，很多場合還需繼續(xù)利用干擾抑制和空域濾波得到的感興趣目標(biāo)信號，因此有必要繼續(xù)改進。

圖7 EAAIS和SRAIS的功率損失比較Fig.7 Comparison of power loss between EAAIS and SRAIS

信源在空間方位估計中顯然是稀疏的，但在上述兩種情形下，特征分析方法不能“稀疏”表示信號。因此利用式（8）所示的稀疏表示方法來實現(xiàn)更好的干擾抑制［30］，對應(yīng)2.6 節(jié)介紹的特征分析方法及其結(jié)果，如圖7所示的仿真結(jié)果可看到，經(jīng)基于稀疏表示干擾抑制方法（SRAIS）處理后的CBF 輸出，感興趣目標(biāo)信號的功率損失在上述兩種情形下得到了明顯的改善。

圖6 所示實驗數(shù)據(jù)的SRAIS 處理結(jié)果如圖8 所示，可以看到，稀疏表示的干擾抑制能力相對EAAIS 更強。這是由稀疏表示相對更高的分辨能力以及對信號更好逼近的表示能力所帶來的［25］。

圖8 實驗數(shù)據(jù)經(jīng)SRAIS處理后的CBF輸出結(jié)果Fig.8 Experimental results of SRAIS-CBF

稀疏表示從式（7）的l0范數(shù)松弛近似到式（8）的l1范數(shù)，初衷是為便于凸優(yōu)化實現(xiàn)而從，但我們在實際應(yīng)用中注意到，盡管這種數(shù)學(xué)松弛后的l1范數(shù)對信號空間方位估計較好，但仍然存在一定程度的信號功率損失，從而減弱稀疏表示的干擾抑制與微弱目標(biāo)探測能力。究其原因，稀疏表示在數(shù)學(xué)上直接對應(yīng)的l0范數(shù)，優(yōu)化目標(biāo)是信號分量的數(shù)目最少，其中各信號分量的幅度并不受影響；但是由l0范數(shù)松弛而來的l1范數(shù)的優(yōu)化目標(biāo)則是信號分量的幅度和最小。l1范數(shù)優(yōu)化時的這種幅度依賴性，將會使得稀疏表示對幅度較大的信號分量可能會施加更大懲罰以獲得l1范數(shù)最小的目標(biāo)，而不能完全以稀疏度最小為目標(biāo)來獲得最優(yōu)解［31］。因此，文獻［24］的稀疏表示應(yīng)用更多關(guān)注局部最大信號分量位置，比如：多徑信道時延和目標(biāo)空間方位估計等。雖然由此對應(yīng)得到的參數(shù)估計效果較好，但優(yōu)化求解得到各信號分量的幅度會有不確定性誤差，目前這方面研究工作［32］正在繼續(xù)推進中。

3 非常規(guī)微弱信號處理方法

上述我們介紹的這些常規(guī)處理方法還無法滿足各個領(lǐng)域不斷發(fā)展的應(yīng)用需求。微弱信號處理作為一個開放性難題，需要不斷借助于物理和數(shù)學(xué)等各個基礎(chǔ)領(lǐng)域的一些突破性進展，同時結(jié)合信號統(tǒng)計或結(jié)構(gòu)等方面特性，利用最新的理論發(fā)展，比如“非高斯”和“非線性”處理方法等，以期為噪聲、干擾和混響背景下的微弱信號處理研究提供新思路。

3.1 高階統(tǒng)計量

高階統(tǒng)計量方法通常是利用高斯和非高斯分布信號的高階統(tǒng)計特性差別，以實現(xiàn)對高斯分布噪聲/干擾抑制從而實現(xiàn)對非高斯分布信號的有效檢測［33-36］。

但是，一方面高階統(tǒng)計量方法會涉及運算量巨大的高維運算，為此往往采用“降維”處理。以雙譜估計為例，將雙譜投影到一維頻率空間，相當(dāng)于在二維頻率空間“切片”。其中最常用的“切片”是維譜，即對應(yīng)雙譜圖在f1=f2上的投影。另一方面雙譜估計與基于二階統(tǒng)計量的周期圖譜估計類似，由于高階統(tǒng)計量在譜估計應(yīng)用中的性能同樣受待處理信號樣本長度的影響較大，為此需要發(fā)展基于AR，MA和ARMA模型的高階統(tǒng)計量方法，而這些方法對待處理信號又有較高的信噪比要求。因此，高階統(tǒng)計量方法在實際應(yīng)用中的上述劣勢在很大程度上限制了其推廣應(yīng)用。圖9比較了高階統(tǒng)計量雙譜估計與周期圖在諧波檢測中的應(yīng)用，圖9（a）和（b）分別仿真分析了滑動窗長減小和信噪比較低時的結(jié)果。可以看到，高階統(tǒng)計量方法相對常規(guī)周期圖，并沒有明顯的優(yōu)勢。尤其是高階統(tǒng)計量方法的性能好壞在很大程度上還取決于其中非高斯分布信號偏離高斯分布的程度［33］。

圖9 周期圖和雙譜的譜估計結(jié)果Fig.9 Spectral estimates of periodogram and bispectrum

3.2 混沌理論

混沌是非線性動力系統(tǒng)的一種復(fù)雜運動形式，可以用確定性理論來描述，但其行為卻表現(xiàn)為隨機不確定性，即呈現(xiàn)出一種無序與有序、隨機與確定相統(tǒng)一的不穩(wěn)定非周期振蕩，不可重復(fù)和預(yù)測。目前，基于混沌理論的信號檢測方法主要有兩大類。一類是基于信號本身的混沌特性，以實現(xiàn)混沌信號的檢測和分離［37-38］，但這類方法因為對信號本身的混沌特性要求而局限了其應(yīng)用場合。另一類則是借助混沌系統(tǒng)本身特性實現(xiàn)加性噪聲背景下的微弱信號檢測，比如理論研究和應(yīng)用較為成功的Duffing振子檢測法［39-42］。

Duffing 方程是目前研究最為充分的混沌系統(tǒng)模型，以周期信號檢測為例，可表示為：

其中γscos(ω0t)是系統(tǒng)周期策動力，待處理信號r(t)=λcos(ωt)+n(t)為混沌系統(tǒng)輸入，x(t)為系統(tǒng)輸出，k為阻尼比。系統(tǒng)周期策動力信號頻率ω0與待檢測信號頻率ω的差值為?ω，實驗證明［39-40］，為保證能有效實現(xiàn)從混沌到有序的狀態(tài)轉(zhuǎn)換，歸一化頻率差應(yīng)滿足。

由式（9）發(fā)展而來的Duffing 振子信號檢測方法的理論基礎(chǔ)是Duffing 振子的非平衡相變對于系統(tǒng)周期策動力頻率頻差較小的微弱周期信號的敏感性及對“白噪聲”的強免疫力。當(dāng)設(shè)定系統(tǒng)周期策動力幅度γs為閾值，該幅度的系統(tǒng)周期策動力是使混沌系統(tǒng)處于混沌到有序周期狀態(tài)轉(zhuǎn)換的臨界點。在此基礎(chǔ)上，與系統(tǒng)周期策動力幾乎同頻的微弱周期信號能夠?qū)е孪到y(tǒng)狀態(tài)從混沌到有序的轉(zhuǎn)換，從而實現(xiàn)微弱信號檢測。該閾值可通過相應(yīng)公式預(yù)先計算得出［39-40］，與ω0，k和輸入信號采樣率有關(guān)。通過調(diào)整系統(tǒng)周期策動力信號頻率ω0可實現(xiàn)對不同頻率周期信號的檢測。而噪聲及其與系統(tǒng)周期策動力頻率相差較大的干擾信號則無法實現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)從混沌到有序的轉(zhuǎn)換。圖10 所示仿真結(jié)果可以看到，即使待處理信號的輸入信噪比達到-15 dB，對應(yīng)的相平面圖（Phase Plane）仍表現(xiàn)出有序的周期狀態(tài)，從而有效實現(xiàn)了對其中與周期策動力頻率一致的微弱信號檢測。但當(dāng)系統(tǒng)周期策動力頻率與待檢測周期信號不相匹配時，如圖11所示的Duffing 振子系統(tǒng)輸出信號及其相平面圖都表現(xiàn)為混沌狀態(tài)，因此無法確定其中可能的微弱周期信號頻率。

圖10 Duffing振子系統(tǒng)輸入和匹配輸出，以及系統(tǒng)相平面圖Fig.10 Input and matched output of Duffing oscillator，and phase plan diagram

圖11 Duffing振子系統(tǒng)輸入和不相匹配時輸出，以及系統(tǒng)相平面圖Fig.11 Input and mismatched output of Duffing oscillator，and phase plan diagram

考慮到上述系統(tǒng)周期策動力參數(shù)調(diào)整的微妙性和敏感性，文獻［43］提出了新的思路。即：

其中Γ為放大倍數(shù)。不再人為設(shè)定系統(tǒng)周期策動力，而是直接放大待處理信號以作為混沌系統(tǒng)輸入，希望放大后的信號幅度能夠達到混沌系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)換所要求的閾值。該思路有望實現(xiàn)被動檢測微弱周期信號。但在低信噪比條件下，系統(tǒng)處理能力會因為系統(tǒng)周期策動力缺失而減低。

上述基于Duffing 振子的微弱信號檢測，其中待檢測的必須是周期信號，因此應(yīng)用范圍嚴(yán)重受限。目前在此基礎(chǔ)上的推廣主要是針對線性調(diào)頻信號，根據(jù)線性調(diào)頻信號的特征，采用分段平滑相關(guān)的方法，將不具周期性的線性調(diào)頻信號最終變換為周期信號，然后輸入Duffing 振子系統(tǒng)，可以實現(xiàn)低信噪比下對線性調(diào)頻信號的檢測［44］。將混沌理論實際應(yīng)用于微弱信號檢測，20 世紀(jì)90 年代國外就已有學(xué)者明確提出。但非線性系統(tǒng)由于不夠穩(wěn)健且應(yīng)用場合嚴(yán)重受限，因此今后非線性系統(tǒng)研究并切實應(yīng)用于微弱信號處理的重點將是在穩(wěn)健前提下的有效性。而混沌理論能否應(yīng)用于微弱隨機信號的檢測，則鮮有這方面的文章和報道，目前仍然需要繼續(xù)通過理論分析和實驗進行深入研究。

3.3 隨機共振

噪聲在線性系統(tǒng)中總是起消極作用，而非線性隨機共振系統(tǒng)則與此不同，當(dāng)系統(tǒng)輸入端噪聲增加時，噪聲在一定條件下反而能夠提高系統(tǒng)輸出信噪比，這就是所謂的“隨機共振”（Stochastic Resonance）現(xiàn)象。20 世紀(jì)80-90 年代起，隨機共振吸引了廣泛的關(guān)注［45-52］，為人們在強噪聲背景下的微弱信號檢測開創(chuàng)了新的思路。經(jīng)典隨機共振系統(tǒng)是非線性的雙穩(wěn)系統(tǒng)，受微弱的周期信號和噪聲的共同作用，當(dāng)該周期信號幅值在一定范圍，噪聲增強時系統(tǒng)輸出信噪比會提高；而當(dāng)噪聲增強到某一強度時，信噪比增益會達到一個最大值，即所謂的“隨機共振”；而后隨著噪聲的繼續(xù)增強，信噪比增益將會下降。這種與力學(xué)中“共振”類似的效應(yīng)必需三個組成部分：雙穩(wěn)/多穩(wěn)態(tài)非線性系統(tǒng)（能量觸發(fā)勢壘）、微弱周期信號和噪聲源。

以雙穩(wěn)系統(tǒng)為例［45-47］，有：

其中x(t)為系統(tǒng)輸出信號，A0系統(tǒng)待檢測信號幅度，Ω為信號頻率，n(t)為加性白噪聲，V(x)=為非線性雙穩(wěn)系統(tǒng)的勢函數(shù)。無輸入信號時，上述雙穩(wěn)系統(tǒng)呈現(xiàn)如圖12所示的雙穩(wěn)態(tài)勢（對應(yīng)兩個勢阱），其中分別為兩個勢阱的深度和位置。如果只有周期信號作用于雙穩(wěn)系統(tǒng)，則勢阱內(nèi)的質(zhì)點會在該周期信號的作用下，按照頻率Ω發(fā)生周期性的傾斜變化，但只有信號幅度小于某個臨界值A(chǔ)t，其中At=，才能讓質(zhì)點在兩個勢阱間翻轉(zhuǎn)，詳細(xì)推導(dǎo)請參見附錄A。如果只有噪聲作用于雙穩(wěn)系統(tǒng)，質(zhì)點可能會在兩個勢阱間翻轉(zhuǎn)。給定噪聲統(tǒng)計特性，噪聲在勢阱間翻轉(zhuǎn)率可由Kramers 公式計算得到［45-47］，但此時這種翻轉(zhuǎn)是隨機的。當(dāng)周期信號和噪聲共同作用于上述雙穩(wěn)系統(tǒng)，且周期信號幅度在相應(yīng)翻轉(zhuǎn)要求的臨界值條件下，在噪聲的輔助下，可以使勢阱內(nèi)的質(zhì)點發(fā)生翻轉(zhuǎn)，從而使輸出的周期信號幅度得到一定的提升，由此可以用來改善微弱信號的質(zhì)量。另外，為保證隨機共振系統(tǒng)在噪聲的輔助下能有效實現(xiàn)周期翻轉(zhuǎn)，需要保證噪聲樣本之間的獨立性。

圖13 仿真給出了“隨機共振”在微弱信號處理中的應(yīng)用，其中系統(tǒng)輸入為周期信號加噪聲，信號幅度固定且小于系統(tǒng)臨界值A(chǔ)t，通過調(diào)整噪聲強度對應(yīng)不同的輸入信噪比。仿真結(jié)果表明，噪聲強度較小時（SNR=-4 dB），系統(tǒng)輸出信號并沒有能夠?qū)崿F(xiàn)與微弱周期信號同步共振（圖13（a））；而當(dāng)噪聲強度較大時SNR=-20 dB，系統(tǒng)輸出信號中微弱周期信號又被噪聲嚴(yán)重污染（圖13（c））；因此只有當(dāng)噪聲強度保持在一定程度范圍并發(fā)生隨機共振時，微弱周期信號和噪聲共同作用才使得系統(tǒng)輸出信號的信噪比質(zhì)量得到了有效提升（圖13（b））。

圖13 隨機共振系統(tǒng)的仿真結(jié)果比較Fig.13 Simulation results of stochastic resonance at different SNR

隨機共振系統(tǒng)能夠通過對系統(tǒng)參數(shù)調(diào)整達到所謂的“隨機共振”［50］，往往取決于輸入信號和噪聲強度，以及噪聲統(tǒng)計特性等多種因素。這也說明了系統(tǒng)對信號參數(shù)和特性的敏感性，意味著系統(tǒng)的穩(wěn)健可靠性將是對實際應(yīng)用的巨大挑戰(zhàn)。而且已有研究表明，隨機共振系統(tǒng)的高處理增益也并不是普遍情況［45］。

值得一提的是，雙穩(wěn)系統(tǒng)方程是一種非線性隨機微分方程或者常微分方程（ODE：Ordinary Differential Equation），一般此類方程沒有解析解，因此常常利用數(shù)值計算方法求解，如Runge-Kutta法。為保證在噪聲輔助下發(fā)生隨機共振，一般需要對系統(tǒng)輸入信號進行高采樣率采樣（比如50倍以上采樣率）。這就意味著在實際應(yīng)用中周期信號的頻率不能太高。同時高采樣率也使得數(shù)值計算中精細(xì)的積分步長能夠保證更為精確的計算結(jié)果。目前解決高頻信號應(yīng)用隨機共振的方法主要有時序步進采樣和重采樣等，可實現(xiàn)周期信號由高頻到低頻的轉(zhuǎn)換。

隨機共振的很多研究都局限于利用雙穩(wěn)系統(tǒng)處理周期信號。美國學(xué)者COLLINS 在研究可激發(fā)神經(jīng)模型時，提出了非周期隨機共振 （Aperiodic Stochastic Resonance）的概念［51］，目前有關(guān)非周期信號的研究主要還是集中在脈沖信號和調(diào)頻信號這類規(guī)則信號，對隨機信號則同樣鮮有研究。隨機共振作為一種能夠利用噪聲來提升感興趣目標(biāo)信號信噪比的方法，這些年相關(guān)研究還包括：非周期隨機共振、單穩(wěn)態(tài)隨機共振和多穩(wěn)態(tài)隨機共振、乘性隨機共振、靜態(tài)隨機共振、超閥值隨機共振和耦合隨機共振等。目前這些系統(tǒng)的核心的問題都是如何設(shè)計一個簡單、高效且穩(wěn)健的隨機共振系統(tǒng)［45，52］。

3.4 低秩稀疏分解

上面我們主要介紹了噪聲和干擾的抑制，作為系統(tǒng)主動工作方式下特有的水聲混響或雷達雜波，上述這些方法往往無效，這是由水聲混響和雷達雜波的物理產(chǎn)生機理決定的。比如：水聲混響是水下大量無規(guī)則散射體對發(fā)射信號散射合成的，因此不僅與發(fā)射信號有不同程度的相關(guān)性，而且頻帶也會有重疊，甚至由于多普勒效應(yīng)而導(dǎo)致頻帶覆蓋。

相對于發(fā)射信號，混響的物理產(chǎn)生機理會使得其在時-頻域能量分布較為分散，因此利用混響在二維變換域能量彌散特性，可實現(xiàn)混響背景下的目標(biāo)檢測和參數(shù)估計［53-57］，尤其是線性調(diào)頻信號，由于具有良好的時-頻匯聚特性，在水聲/雷達工程中較為常用。同時發(fā)射信號的波形設(shè)計及其多普勒特性也在混響抑制時得到了關(guān)注［58-60］?；祉憦姸扰c散射體密切相關(guān)，大孔徑水聲陣列形成的收/發(fā)窄波束能起到很好的空域濾波效果［61-63］，從而實現(xiàn)混響抑制。但研究［64-65］發(fā)現(xiàn)，窄波束和寬頻帶發(fā)射信號以及散射體尺度不均勻等因素，使得混響信號不再服從高斯分布，因此目前很多據(jù)此統(tǒng)計分布假設(shè)構(gòu)建的目標(biāo)信號檢測器性能不再理想。對非高斯混響建立概率模型，然后估計模型參數(shù)并利用似然比準(zhǔn)則進行目標(biāo)回波檢測是常用思路［57，66-67］。然而，很多非高斯混響的統(tǒng)計分布非常復(fù)雜，在參數(shù)化建模與實際統(tǒng)計分布失配時，檢測器性能會有明顯的衰落。

2011 年，低秩與稀疏分解理論和技術(shù)［68-69］的提出及其在圖像與視頻分析等領(lǐng)域的成功應(yīng)用［70-71］，給混響背景下微弱信號處理提供了新思路。低秩稀疏分解如圖14所示，其中Z表示低秩稀疏分解的輸入，L為其中的低秩分量，而S為其中的稀疏分量。相應(yīng)的低秩稀疏分解優(yōu)化函數(shù)如下：

圖14 低秩稀疏分解示意圖Fig.14 Schematic diagram of low-rank and sparse decomposition

其中‖·‖F(xiàn)表示Frobenius 范數(shù)，‖·‖*表示核范數(shù)，在式（12）中對應(yīng)L的所有奇異值之和，η和ξ為超參數(shù)。

圖15 是主動聲吶探測水下微弱目標(biāo)的實驗數(shù)據(jù)處理結(jié)果［72］。將水聲陣列接收信號經(jīng)波束形成得到波束域方位-距離分布圖（圖15（a））向量化（圖16），經(jīng)過式（12）所示的低秩稀疏分解［72-73］優(yōu)化處理，可以得到如圖15（b）和（c）所示的混響和微弱目標(biāo)（白色橢圓圈示），將多個脈沖探測結(jié)果串聯(lián)，可以得到如圖15（d）所示的目標(biāo)運動軌跡。圖16（b）所示為分解得到的混響向量化后的結(jié)果，可以看到其低秩特性明顯。

圖15 低秩稀疏分解處理結(jié)果Fig.15 Experimental results of low-rank and sparse decomposition

需要強調(diào)的是，對混響和感興趣目標(biāo)信號進行低秩與稀疏聯(lián)合建模以實現(xiàn)混響背景下的微弱目標(biāo)檢測方法，是基于混響和微弱運動目標(biāo)不同物理特性而表現(xiàn)出的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)差別，區(qū)別于統(tǒng)計分布模型［57，66-67］和二維變換域能量門限檢測方法［53-57］，能夠在更低信混比和非高斯分布條件下有效實現(xiàn)移動目標(biāo)探測，圖15（a）所示多個脈沖的波束域方位-距離分布圖，其中信混比在-3 dB～-6 dB。劉冰［74］和朱云超［75］等人在此基礎(chǔ)上進一步進行了算法優(yōu)化實現(xiàn)研究并應(yīng)用于不同場景的混響背景下弱目標(biāo)探測。

3.5 深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法經(jīng)過2018 年三位圖靈獎得主為杰出代表科研工作者在架構(gòu)和算法等方面多年的不懈努力［76-77］和GPU 等硬件計算能力的大力支持下，近年來基于深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的大數(shù)據(jù)處理在圖像和視頻、語音和文字識別、自然語言理解等領(lǐng)域的應(yīng)用中取得了巨大的成功。大數(shù)據(jù)處理基于深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，利用深度學(xué)習(xí)算法處理大量的數(shù)據(jù)樣本以獲取更多的目標(biāo)信號特征，能夠以復(fù)雜的函數(shù)形式和非線性結(jié)構(gòu)對待處理數(shù)據(jù)實現(xiàn)更好的表示效果［78-79］。但基于深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的大數(shù)據(jù)處理本質(zhì)仍然是通過對信號的表征進而實現(xiàn)目標(biāo)識別或者信號重構(gòu)，因此仍然對待處理數(shù)據(jù)的信噪比和信干比要求比較高，比如廣為流傳的一個案例就是將人們?nèi)庋劭珊苋菀鬃R別的熊貓在輕微的噪聲污染下被識別為長臂猿［80］，因此，低信噪比環(huán)境下微弱信號深度表征學(xué)習(xí)同樣也是深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)面臨的重要挑戰(zhàn)之一。近年來，在深度卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Deep Convolutional Neural Networks）［81］、生成對抗網(wǎng)絡(luò)（Generative Adversarial Nets，GAN）［82］和擴散模型（Diffusion Model）［83］等的加持下，深度學(xué)習(xí)方法在微弱信號檢測應(yīng)用方面有了一定的發(fā)展。

針對一維微弱信號處理的一些場合，深度學(xué)習(xí)方法往往會通過時-頻分析等各種變換方法將一維信號表示為二維信號［84-88］，之后再類比為圖像的二維矩陣輸入深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行特征提取以實現(xiàn)微弱信號檢測和識別。一方面借此變換獲得的處理增益可以改善深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入信號的信噪比，同時還可更直接有效地處理輸入信號的時-空或時-頻聯(lián)合信息；另一方面也希望能夠借助在圖像等二維信號處理領(lǐng)域已經(jīng)獲得廣泛成功應(yīng)用的二維卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等眾多方法。近年來，也有方法［89-90］將上述思路方法合二為一，直接通過深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以完成變換和特征提取以實現(xiàn)一維微弱信號的檢測和識別。

另外在醫(yī)學(xué)圖像處理［91］、自動駕駛［92］、人臉識別［93］、目標(biāo)檢測［94］等面向圖像或視頻的二維信號處理場合，往往由于光照等采集場景和光學(xué)感應(yīng)設(shè)備等物理條件的限制而導(dǎo)致不同程度的圖像質(zhì)量退化，限制了深度學(xué)習(xí)算法在這些場景下的實際應(yīng)用［95］，如圖17退化的圖像所示。

光學(xué)圖像與一維時域信號通過各種變換得到的二維信號有所區(qū)別，相應(yīng)的圖像增強核心問題主要在于改善對比度和消除噪聲。通過考慮圖像局部和全局信息以調(diào)整圖像的對比度，ZHANG 等人［96］提出了一種快速、輕量圖像增強網(wǎng)絡(luò)FLWNet，該網(wǎng)絡(luò)由全局特征提取模塊和局部增強模塊組成。其中全局特征提取模塊將低信噪比圖像的V通道和所需的平均亮度作為輸入，并通過高階曲線調(diào)整方法以實現(xiàn)全局亮度調(diào)整方案：

其中{ζ0，1，…，t}表示高階曲線系數(shù)，G(·)表示由多層感知機構(gòu)成的全局特征提取模塊，Iv表示低信噪比圖像I在HSV 顏色空間的V 通道，H(Iv)為獲取Iv直方圖，μ表示所需的平均亮度值。

為了進一步改善低信噪比圖像的對比度和消除噪聲，捕獲參考圖像的高頻信號成為近年來圖像增強的一種有效方法。CHEN等人［97］發(fā)現(xiàn)生成對抗網(wǎng)絡(luò)的判別器的降采樣層存在高頻缺失的問題，這導(dǎo)致生成的圖像和真實圖像之間存在明顯的光譜差異。為了解決這一問題，最直接的方法就是在頻域而非空域判別高頻信號丟失。最近的工作［98-99］表明，傅里葉功率譜的一維表示法可以有效地突出真實圖像和深度網(wǎng)絡(luò)生成圖像的光譜特征之間的差異：

其中χ(range)表示信號平均功率密度與鏡像距離range之間的關(guān)系，F(xiàn)(range，θ)為極坐標(biāo)下圖像傅里葉表示。隨著KIM［100］、KHAYATKHOEI［101］、LIU［102］等人在生成對抗網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)上引入了譜判別器用于區(qū)分高頻段去噪和干凈圖像之間的差異，從而將頻率知識轉(zhuǎn)移到生成器上，使得生成器能夠產(chǎn)生視覺上更可信的去噪圖像。ZHANG 等人［103］提出了一種結(jié)構(gòu)頻率感知的生成對抗網(wǎng)絡(luò)（Structure-frequencyaware generative adversarial network，SFA-GAN），進一步通過利用對比結(jié)構(gòu)損失來約束無監(jiān)督學(xué)習(xí)場景下生成圖像結(jié)構(gòu)損傷。真實水下圖像的實驗結(jié)果表明，在圖像的峰值信噪比（Peak Signal-to-Noise Ratio，PSNR）增強和結(jié)構(gòu)相似性指標(biāo)測量（Structural Similarity Index Measure，SSIM）等方面，在不同強度的噪聲水平（σ=15，25，50)下，SFA-GAN均有較好的視覺增強效果，如圖18所示。

4 結(jié)論和展望

微弱目標(biāo)信號檢測與參數(shù)估計在水聲和雷達等廣泛領(lǐng)域的應(yīng)用需求不斷發(fā)展，相應(yīng)地，信號物理機制和數(shù)學(xué)理論的研究也在不斷推進，過去這些年的自適應(yīng)信號處理、小波變換、稀疏表示、低秩稀疏分解、高階統(tǒng)計量、隨機共振、混沌理論、以及深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等都給微弱信號處理帶來了新的思路和方法，我們相信這種積極的發(fā)展態(tài)勢必將繼續(xù)，當(dāng)然這需要各個領(lǐng)域科研工作者的共同努力。

微弱信號處理作為一個開放任務(wù)，將來的研究可考慮從如下兩個方向繼續(xù)推進。一方面應(yīng)繼續(xù)深入研究和挖掘感興趣微弱目標(biāo)信號的物理特性，使得能夠更加顯性地表征目標(biāo)。另一方面則需要借鑒應(yīng)用數(shù)學(xué)等其他學(xué)科的最新研究進展以加強信號處理的理論和方法研究，增強目標(biāo)檢測及其參數(shù)估計能力。上述兩方面的研究工作應(yīng)相互促進，螺旋式向前不斷發(fā)展。當(dāng)然從實際應(yīng)用的角度，我們還應(yīng)該從系統(tǒng)的角度，優(yōu)化整個結(jié)構(gòu)和各個單元環(huán)節(jié)，努力減少微弱信號處理需求。另外還應(yīng)該認(rèn)真評估各個領(lǐng)域的需求，務(wù)實加強針對性的應(yīng)用研究。

附錄A：隨機共振信號幅度閾值

由式(11)可以得到：

或者

其中函數(shù)f(x)=bx3-ax分別在有局部極小值fLMin和極大值fLMax，分別為：

這樣才能保證隨機共振系統(tǒng)的雙穩(wěn)態(tài)特性，因此有：