基于群稀疏整體最小二乘的多節(jié)點(diǎn)探測陣高精度被動(dòng)定位方法

張?jiān)茷t 楊成竹 徐立軍

（北京理工大學(xué)信息與電子學(xué)院，北京 100081）

1 引言

水下目標(biāo)被動(dòng)探測是水下聲學(xué)領(lǐng)域研究的一個(gè)熱點(diǎn)問題。在傳統(tǒng)的單節(jié)點(diǎn)探測中，有三種廣泛使用的被動(dòng)定位方法：三子陣法，匹配場處理（Matched Field Processing，MFP），以及目標(biāo)運(yùn)動(dòng)分析（Target Motion Analysis，TMA）。三子陣法將單節(jié)點(diǎn)線陣劃分為三個(gè)子陣，利用各子陣對(duì)于目標(biāo)的方位估計(jì)，從各子陣參考點(diǎn)出發(fā)，繪出三條定位線，最終判斷目標(biāo)位于三條定位線的交匯處。這種方法操作簡單，但定位精度受陣列尺寸、時(shí)延估計(jì)精度、目標(biāo)距離、信號(hào)強(qiáng)度等因素影響，目前主要應(yīng)用于近距離定位。匹配場處理［1］結(jié)合了水下聲傳播理論和信號(hào)處理技術(shù)，根據(jù)真實(shí)的海洋環(huán)境建模得到拷貝場向量，并運(yùn)用線性或自適應(yīng)處理器對(duì)實(shí)測聲場進(jìn)行匹配運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的距離和深度估計(jì)。但真實(shí)的環(huán)境模型與建?？偸谴嬖谄?，當(dāng)環(huán)境失配時(shí)，匹配場處理方法的性能會(huì)急劇下降。目標(biāo)運(yùn)動(dòng)分析［2］是一種通過收集一段時(shí)間內(nèi)的觀測數(shù)據(jù)，例如方位和頻率，來確定目標(biāo)位置的方法。在傳統(tǒng)的單節(jié)點(diǎn)觀測中，與其他信息相比，測量的方位信息更加準(zhǔn)確。但在單組陣列下，純方位TMA 要求觀測平臺(tái)機(jī)動(dòng)，這限制了其實(shí)際應(yīng)用。頻率-方位TMA雖然不要求觀測平臺(tái)機(jī)動(dòng)，但對(duì)于信噪比有較高要求，難以適應(yīng)復(fù)雜的海洋環(huán)境［3］。此外，由于人類社會(huì)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)加劇，海洋環(huán)境噪聲逐年增強(qiáng)，再加上艦船防震減噪技術(shù)的發(fā)展，過去幾十年重要目標(biāo)的輻射噪聲平均每年降低約1 dB，單節(jié)點(diǎn)探測陣的輸入信噪比極低，其作用距離和精度都越來越無法滿足實(shí)際需求。

針對(duì)單節(jié)點(diǎn)探測在低信噪比環(huán)境下性能下降嚴(yán)重的問題，多節(jié)點(diǎn)探測提供了新的解決方案［4］。根據(jù)定位步驟，可將多節(jié)點(diǎn)定位技術(shù)分為兩類，即傳統(tǒng)兩步法和直接定位法。傳統(tǒng)兩步法在第一步中求解定位參數(shù)，例如信號(hào)到達(dá)時(shí)間差（Time Difference Of Arrival，TDOA）［5］、信號(hào)到達(dá)角方向（Direction of Arrival，DoA）［6］、接收信號(hào)強(qiáng)度（Received Signal Strength，RSS）［7］等。依據(jù)定位參數(shù)，繪制定位線，在第二步中利用定位參數(shù)與輻射源位置之間的關(guān)系建立方程求解。目前常用的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法有最小距離法，最大似然法及拉格朗日松弛法等［8］。但在多源條件下，辨別交點(diǎn)的有效性，進(jìn)行正確的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)較為困難，這極大限制了兩步法的實(shí)際應(yīng)用。

與傳統(tǒng)兩步法不同，直接定位法通過對(duì)探測區(qū)域劃分網(wǎng)格，構(gòu)建信號(hào)源位置的代價(jià)函數(shù)，采用窮盡搜索等方式實(shí)現(xiàn)一步定位。以色列學(xué)者Weiss 提出直接定位法（Direct Position Determination，DPD），其利用多個(gè)固定節(jié)點(diǎn)，綜合考慮到達(dá)角（Angel Of Arrival，AOA）及TDOA 構(gòu)建最小二乘模型，實(shí)現(xiàn)了對(duì)單個(gè)窄帶信號(hào)源的定位［9］。隨后，基于多重信號(hào)分類（MUltiple SIgnal Classification，MUSIC）的DPD算法被提出，用以解決多源定位問題［10］。此外，基于最小方差無失真響應(yīng)（Minimum Variance Distortionless Response，MVDR）的DPD 算法［11］也可用于解決多源定位問題，并且克服了DPD-MUSIC算法需要預(yù)知信號(hào)源數(shù)量的缺點(diǎn)。相較于DPD-MUSIC，DPD-MVDR 的定位精度并沒有顯著提升，當(dāng)存在多個(gè)輻射源時(shí)，算法要解決的問題是漸進(jìn)有偏的，其定位精度難以達(dá)到理論的克拉美羅下限（Cramer-Rao Lower Bound，CRLB）［12］。

基于目標(biāo)信號(hào)在時(shí)空頻等展開域所表現(xiàn)出的特性，進(jìn)行目標(biāo)位置建模，是設(shè)計(jì)優(yōu)化定位算法的關(guān)鍵所在。其中，稀疏重構(gòu)類方法僅需要較少的快拍數(shù)就能實(shí)現(xiàn)多目標(biāo)DoA 估計(jì)，因此受到學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注。如D.Malioutov 等人的L1-SVD（Singular Value Decomposition）方法，基于目標(biāo)在空域所展現(xiàn)出的天然稀疏性，進(jìn)行目標(biāo)位置（方位）的L1稀疏優(yōu)化建模，隨后利用成熟的凸優(yōu)化技術(shù)來實(shí)現(xiàn)目標(biāo)位置信息的獲?。?3］。稀疏貝葉斯（Sparse Bayesian Learning，SBL）從最大化后驗(yàn)概率的角度出發(fā)，關(guān)注稀疏信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性，且能確保算法的解為全局收斂解的近似［14］。更進(jìn)一步，Yang等人利用泰勒展開的方式減小所構(gòu)建的字典與真實(shí)字典的差距，給出了稀疏貝葉斯算法的離格形式［15］。然而，稀疏重構(gòu)類方法雖然在單節(jié)點(diǎn)定位任務(wù)中已經(jīng)取得了巨大成功，但較少應(yīng)用在多節(jié)點(diǎn)直接定位任務(wù)中。如何在多節(jié)點(diǎn)有效作用范圍內(nèi)，有效利用目標(biāo)所展示出的稀疏特性，是本文所要解決的關(guān)鍵問題。

綜上所述，針對(duì)當(dāng)前水下多節(jié)點(diǎn)定位算法多目標(biāo)分辨困難，定位精度不足的問題，本文基于目標(biāo)在空間中的稀疏特性，通過將目標(biāo)所處區(qū)域網(wǎng)格化，構(gòu)建基于群稀疏的多節(jié)點(diǎn)目標(biāo)被動(dòng)定位模型，并采用群稀疏優(yōu)化技術(shù)實(shí)現(xiàn)直接定位。為解決網(wǎng)格失配引起的定位精度缺失問題，本文對(duì)聯(lián)合陣列流形矩陣一階泰勒展開，構(gòu)建離格定位模型，采用群稀疏整體最小二乘算法，實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)位置的高精度估計(jì)。仿真實(shí)驗(yàn)表明，對(duì)于長寬均為1 km 的探測區(qū)域，在4組節(jié)點(diǎn)情況下，所提模型和算法均是正確有效的，能對(duì)多目標(biāo)位置進(jìn)行正確解算。大網(wǎng)格間距下，相較于稀疏模型，離格模型能夠進(jìn)一步降低10 m 左右的定位誤差。不同網(wǎng)格間距下的對(duì)比試驗(yàn)表明，本文所提出的離格定位模型對(duì)于網(wǎng)格間距有較強(qiáng)的魯棒性。相較于傳統(tǒng)兩步法及經(jīng)典的直接定位法，單源及多源情況下，信噪比不低于-5 dB時(shí)，本文所提出的基于群稀疏整體最小二乘的離格直接定位算法具有更高的定位精度。

2 多節(jié)點(diǎn)探測陣接收信號(hào)模型

本文擬采用四組均勻線陣實(shí)現(xiàn)對(duì)探測區(qū)域內(nèi)的多目標(biāo)進(jìn)行精確定位，相關(guān)的建模方法也適用于其他數(shù)量節(jié)點(diǎn)。下面將展開介紹提出的多節(jié)點(diǎn)探測陣接收信號(hào)模型。

考慮K個(gè)窄帶信號(hào)源sk(t)，k=1，…，K，陣列接收待測源信號(hào)的方位角記作θi，k，多節(jié)點(diǎn)的陣列觀測模型如下：

其中yi(t)=[yi，1(t)，…，yi，M(t)]T表示陣列接收信號(hào)，ei(t)=[ei，1(t)，…，ei，M(t)]T表示觀測噪聲，m=1，…，M分別代表第i組陣列的第m個(gè)陣元在t時(shí)刻的觀測信號(hào)及噪聲。a(θi，k)=[a1(θi，k)，…，aM(θi，k)]T，am(θi，k)表達(dá)式如下：

式中，d代表陣元間距，c代表聲速。

多陣列協(xié)同探測示意圖如圖1所示。黑色實(shí)線所圍成網(wǎng)格區(qū)域即為探測區(qū)域；四個(gè)藍(lán)點(diǎn)代表四組均勻線陣，其連線圍成了一個(gè)相較于探測區(qū)域更小的綠色實(shí)線網(wǎng)格區(qū)域，稱其為聚焦區(qū)域；紅點(diǎn)代表信源k，信源k與各陣列所成的角度均已在圖1 中標(biāo)明。當(dāng)陣列處在網(wǎng)格線上時(shí)，陣列所在行或列所對(duì)應(yīng)的陣列流形完全相同，此時(shí)所形成的陣列流形矩陣相關(guān)性極高，不利于高精度定位，所以我們在陣列流形矩陣中刪除各陣列起始點(diǎn)所在的行和列，這導(dǎo)致探測的盲區(qū)域出現(xiàn)，即圖1 中的灰色區(qū)域。將第i組陣列的起始陣元坐標(biāo)(xi，yi)作為該節(jié)點(diǎn)遠(yuǎn)距離定位時(shí)的參考坐標(biāo)，第k個(gè)信源的坐標(biāo)為(xk，yk)，可以得出方位角的表達(dá)式如下：

將公式（3）代入公式（2），用位置變量(xk，yk)代替角度變量θi，k，即得到關(guān)于目標(biāo)位置變量的接收信號(hào)模型如下：

3 基于稀疏重構(gòu)的直接定位算法

本節(jié)將在建立的接收信號(hào)模型的基礎(chǔ)上，綜合利用各節(jié)點(diǎn)的觀測信息，從目標(biāo)稀疏性的角度出發(fā)，構(gòu)建代價(jià)函數(shù)，給出基于稀疏重構(gòu)的直接定位算法。在3.1節(jié)中，假設(shè)目標(biāo)均在劃分的網(wǎng)格點(diǎn)上，給出基于L1-SVD 的直接定位算法。在3.2節(jié)中，探討如何縮小離格誤差，通過對(duì)聯(lián)合陣列流形矩陣一階泰勒展開，實(shí)現(xiàn)對(duì)失配網(wǎng)格的修正，給出基于群稀疏整體最小二乘的離格直接定位算法。

3.1 基于L1-SVD的直接定位算法

記Yi=[yi(1)，…，yi(T)]，S=[s(1)，…，s(T)]，Ei=[ei(1)，…，ei(T)]。觀測模型被重寫如下：

其中陣列流形矩陣Ai的大小為M*N，M為陣元數(shù)，N=P*Q為網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)，P為總列數(shù)，Q為總行數(shù)。信號(hào)矩陣S的大小為N*T。假設(shè)在聚焦區(qū)域內(nèi)存在K個(gè)信號(hào)源，K?N，顯然信號(hào)矩陣S是稀疏的［16］。建立如下的優(yōu)化問題：

記Y=[Y1，Y2，Y3，Y4]T，A=[A1，A2，A3，A4]T，式（6）可進(jìn)一步寫作如下形式：

該問題為一個(gè)典型的LASSO（Least Absolute Shrinkage and Selection Operator）問題，可以采用迭代軟閾值算法（Iterative Soft Thresholding Algorithm，ISTA）求解，求解過程如下：

1）初始化梯度下降步長α，正則化參數(shù)λ。

2）對(duì)于式（7）中的可導(dǎo)部分||Y-AS||F，對(duì)S作梯度下降，實(shí)現(xiàn)對(duì)S的半步更新。半步更新公式如下：

3）軟閾值收縮，完成余下的半步更新。

4）如果本次更新結(jié)果滿足

則終止迭代。否則，返回第2）步，繼續(xù)迭代。

Matlab 中cvx 工具箱也可用于求解此類優(yōu)化問題。為使用cvx 求解，需對(duì)公式（7）作如下等價(jià)轉(zhuǎn)換：

其中，ε為超參數(shù)，可通過多次測試選取。

此外，為了降低算法的計(jì)算量和對(duì)噪聲的敏感性，采用SVD 對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行降維。單獨(dú)的對(duì)每個(gè)觀測矩陣Yi進(jìn)行降維將會(huì)造成信息量的損失。因此，對(duì)聯(lián)合觀測矩陣Y=[Y1，Y2，Y3，Y4]T作SVD 分解，來確保沒有損失四組觀測數(shù)據(jù)之間的關(guān)聯(lián)信息。令Y=USVH，V=[V1V2]，其中V1為V的前K列，V2為V的余下T-K列，并據(jù)此將觀測數(shù)據(jù)分為信號(hào)子空間和噪聲子空間。從而，有YSV=YV1∈CM×K，足以代表所有的觀測信息［17］。

記YiSV=YiV1，SSV=SV1，EiSV=EiV1。各個(gè)節(jié)點(diǎn)觀測數(shù)據(jù)的SVD分解格式如下：

采用公式（13）的SVD 分解格式能夠提升程序的運(yùn)行速度且不會(huì)使算法的精確度下降，仿真驗(yàn)證將在4.2節(jié)中給出。算法的整體流程如圖2所示。

圖2 基于L1-SVD的直接定位算法Fig.2 Direct position determination based on L1-SVD

3.2 基于群稀疏整體最小二乘的離格直接定位算法

在上一節(jié)中，我們給出了基于L1-SVD 的直接定位算法，但on-grid 類方法的缺點(diǎn)在于必須用網(wǎng)格對(duì)探測區(qū)域進(jìn)行劃分，網(wǎng)格劃分的細(xì)致與否將直接影響定位的結(jié)果。理想情況下，信號(hào)源全部位于劃定的網(wǎng)格點(diǎn)上，此時(shí)定位誤差最小。但實(shí)際上，信號(hào)源的位置與網(wǎng)格點(diǎn)總是有所偏差。因此，當(dāng)網(wǎng)格劃得過粗時(shí)，模型存在較大的誤差。但網(wǎng)格劃分過細(xì)，又會(huì)導(dǎo)致聯(lián)合陣列流形矩陣列相關(guān)性增大，增加定位的難度。此外，更細(xì)的網(wǎng)格將導(dǎo)致計(jì)算量的顯著提升，最終使得模型難以應(yīng)用于實(shí)際［18］。針對(duì)這一問題，我們提出了基于群稀疏整體最小二乘的離格直接定位算法，下面將詳細(xì)敘述。

圖3 位置偏移量Fig.3 The position offset

采用一階泰勒展開構(gòu)建新的導(dǎo)向向量形式：

因此，觀測模型可以被寫為：

基于公式（16）的離格模型，建立如下的優(yōu)化問題：

其中，β=[βx，βy]，Y=[Y1，Y2，Y3，Y4]T，Φ=[Φ1，Φ2，Φ3，Φ4]T。這種基于整體最小二乘思想的稀疏重構(gòu)方法被稱為稀疏整體最小二乘（Sparse Total Leastsquares，STLS）［19］，在求解時(shí)，我們運(yùn)用了群稀疏的思想，所以稱本節(jié)的方法為G-STLS。公式（17）可等價(jià)轉(zhuǎn)化為如下問題：

公式（18）所給出的優(yōu)化問題是非凸的，一種簡便的求解方法是將這個(gè)非凸問題拆分為兩個(gè)凸優(yōu)化問題求解：

通過拆分，將計(jì)算分為了兩個(gè)模塊，這兩個(gè)模塊均可以直接采用cvx 工具箱進(jìn)行處理，交替迭代這兩個(gè)模塊，公式（17）的稀疏整體最小二乘問題得到解決。

此外，偏移量βx和βy的維度取決于總網(wǎng)格數(shù)，其維度均為N×1。事實(shí)上，采用如此完備的βN×1是沒有必要的，經(jīng)過L1-SVD 已經(jīng)得到了信源最接近的網(wǎng)格點(diǎn)位置，僅對(duì)這些位置對(duì)應(yīng)的βK×1進(jìn)行更新，能夠極大地減小計(jì)算聯(lián)合陣列流形矩陣時(shí)的計(jì)算量。詳細(xì)的論證過程如下：

式（17）、式（18）的計(jì)算量分別為(2N+1)MN，(2K+1)MK。節(jié)點(diǎn)數(shù)為4，K＜＜N，單步中所減少的計(jì)算量為4M(2N+2K+1)(N-K) ≈8MN2。顯然，格點(diǎn)數(shù)N越大，減少的計(jì)算量越多。算法的整體流程如圖4所示。

圖4 基于G-STLS的離格直接定位算法Fig.4 Off-grid direct position determination based on G-STLS

4 基于稀疏重構(gòu)的直接定位算法仿真實(shí)驗(yàn)

在本節(jié)中，我們將給出基于L1-SVD 的直接定位算法和基于G-STLS 的離格直接定位算法在不同網(wǎng)格間距、不同信噪比下的性能表現(xiàn)，重點(diǎn)在于展示引入離格模型后算法的性能提升情況。在仿真實(shí)驗(yàn)中，考慮一塊海深固定的大小為1 km*1 km的二維平面探測區(qū)域，假定四組接收陣列的起始陣元坐標(biāo)分別為（250 m，250 m），（750 m，250 m），（250 m，750 m）以及（750 m，750 m）。陣列所圍成的區(qū)域大小為500 m*500 m。每組均勻線陣具有8個(gè)陣元，陣元間距設(shè)置為半波長，當(dāng)有多個(gè)信源時(shí)，取波長均值的一半。對(duì)信源的位置作如下要求：1.為了滿足遠(yuǎn)場條件，設(shè)定信源不會(huì)出現(xiàn)在以陣列起始點(diǎn)為圓心、50 m 為半徑的范圍內(nèi)。2.信源不會(huì)出現(xiàn)在圖1 所示的盲區(qū)域內(nèi)。各節(jié)點(diǎn)噪聲相互獨(dú)立，且均為高斯白噪聲?？紤]兩個(gè)頻率為800 Hz 及900 Hz 的單音信號(hào)，采樣頻率10 kHz，快拍數(shù)20。為了避免G-STLS算法的運(yùn)行時(shí)間過長，設(shè)定其交替迭代次數(shù)為15次。采用平均絕對(duì)誤差（MAE）來衡量算法的定位精度，其被定義如下：

其中R代表蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)數(shù)目，K代表單次測試中的信源數(shù)目。分別代表單次實(shí)驗(yàn)中信源的真實(shí)位置和算法預(yù)測位置。

4.1 L1-SVD及G-STLS的定位結(jié)果

本次實(shí)驗(yàn)設(shè)定SNR=0 dB，網(wǎng)格間距dx=dy=50 m。設(shè)置兩信源坐標(biāo)分別為（482 m，490 m）和（618 m，610 m）。算法的定位結(jié)果如圖5所示。

圖5 L1-SVD及G-STLS定位結(jié)果Fig.5 The localization result of L1-SVD and G-STLS

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，L1-SVD 及G-STLS 算法均能估計(jì)出兩信源的位置。此外，因?yàn)镚-STLS具有離格估計(jì)的能力，所以G-STLS 的定位性能必然優(yōu)于L1-SVD，這在圖5中表現(xiàn)為更小的定位模糊區(qū)域。

4.2 算法運(yùn)行時(shí)間優(yōu)化

與DoA 估計(jì)問題相比，多節(jié)點(diǎn)聯(lián)合定位問題更為復(fù)雜，需要處理更多的節(jié)點(diǎn)數(shù)以及更多的網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)，這將導(dǎo)致計(jì)算量的顯著提升。在第3 節(jié)關(guān)于算法原理的討論中，我們提出了聯(lián)合SVD、偏移量維度縮減的方法用于優(yōu)化算法，減小算法的計(jì)算量和運(yùn)行時(shí)間。在本節(jié)中，我們將展示采用這兩種優(yōu)化方式前后，算法的定位精度及運(yùn)行時(shí)間的對(duì)比實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

4.2.1 聯(lián)合SVD

本節(jié)將通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證SVD 對(duì)直接定位算法的影響。以基于L1-SVD 的直接定位算法為例。設(shè)定SNR=0 dB，網(wǎng)格間距dx=dy=25 m。設(shè)置兩信源坐標(biāo)分別為（482 m，490 m）和（618 m，610 m）。算法的定位結(jié)果如圖6及表1所示。

表1 L1和L1-SVD的平均絕對(duì)誤差及運(yùn)行時(shí)間Tab.1 MAEs and Runtime of L1 and L1-SVD

圖6 L1及L1-SVD定位結(jié)果Fig.6 The localization result of L1 and L1-SVD

由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，SVD 在加快算法運(yùn)行速度的同時(shí)，提煉了信號(hào)的主要特征，使得稀疏類算法能夠恢復(fù)出更加稀疏準(zhǔn)確的解。

4.2.2 偏移量維度縮減

算法的收斂速度是評(píng)價(jià)迭代算法的重要指標(biāo)［20］。本節(jié)將給出單次實(shí)驗(yàn)下，使用βN×1和βK×1時(shí)G-STLS算法的收斂情況。設(shè)定SNR=10 dB，兩個(gè)信源的位置分別為（482 m，490 m）和（618 m，610 m）。網(wǎng)格間距dx=dy=50 m。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖7 和表2所示。

表2 βN×1和βK×1的平均絕對(duì)誤差及運(yùn)行時(shí)間Tab.2 MAEs and Runtime of βN×1 and βK×1

圖7 采用βN×1和βK×1時(shí)G-STLS收斂情況Fig.7 The G-STLS convergence of βN×1 and βK×1

由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，當(dāng)采用βK×1時(shí)，G-STLS 在30 次迭代后就已經(jīng)完全收斂。而采用βN×1時(shí)，GSTLS在80次迭代時(shí)仍未能完全收斂。由表2可知，采用βK×1能夠節(jié)省大量的運(yùn)行時(shí)間，為算法應(yīng)用于實(shí)際提供了可能。

4.3 G-STLS與L1-SVD的對(duì)比實(shí)驗(yàn)

本次仿真實(shí)驗(yàn)設(shè)定SNR=10 dB，0 dB，-5 dB，網(wǎng)格間距dx=dy=50 m，40 m，25 m，20 m。聚焦區(qū)域內(nèi)存在兩個(gè)信源，兩信源的x軸間距及y軸間距均為100 m。每個(gè)信噪比及網(wǎng)格間距下進(jìn)行400 次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖8所示。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，G-STLS 在不同網(wǎng)格間距、不同信噪比下均擁有更低的預(yù)測誤差。當(dāng)采用50 m 的網(wǎng)格間距時(shí)，相較于L1-SVD，G-STLS 能夠降低10 m左右的定位誤差。值得注意的是，在中高信噪比下，采用大網(wǎng)格間距并不會(huì)帶來顯著的誤差提升，這意味著本文提出的G-STLS 算法對(duì)離格位置的逼近效果良好，在網(wǎng)格間距的選取上，具有較強(qiáng)的魯棒性。

5 與現(xiàn)有算法的對(duì)比實(shí)驗(yàn)

在本節(jié)中，我們選取多種經(jīng)典直接定位算法作為主要對(duì)比試驗(yàn)算法。在5.1 節(jié)單源對(duì)比試驗(yàn)中，給出了DPD、DPD-MUSIC、DPD-MVDR、AOA-SBL，與L1-SVD、G-STLS 算法在不同信噪比下的定位性能比較。在5.2 節(jié)多源對(duì)比試驗(yàn)中，給出了DPDMUSIC、DPD-MVDR，與L1-SVD、G-STLS 在不同信噪比下的定位性能比較。

5.1 單源情況下的對(duì)比實(shí)驗(yàn)

對(duì)于傳統(tǒng)兩步法，我們采用SBL 計(jì)算信號(hào)源到達(dá)各節(jié)點(diǎn)的方位角，繪制定位線，構(gòu)建超定方程組，并采用最小二乘法解算定位線交點(diǎn)，求得源位置。為方便表示，將該方法記作AOA-SBL?，F(xiàn)有的經(jīng)典直接定位算法DPD、DPD-MUSIC、DPD-MVDR 均可實(shí)現(xiàn)對(duì)單信號(hào)源的定位。在本節(jié)中，我們將基于稀疏重構(gòu)的直接定位算法L1-SVD 及G-STLS 與上述直接定位算法在不同信噪比下進(jìn)行對(duì)比。本次仿真實(shí)驗(yàn)固定網(wǎng)格間距dx=dy=25 m，設(shè)定SNR=-10 dB，-5 dB，0 dB，5 dB，10 dB?？紤]頻率為800 Hz的單音信號(hào)，采樣頻率10 kHz，快拍數(shù)20。每個(gè)信噪比下進(jìn)行100 次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖9所示。

圖9 單源對(duì)比實(shí)驗(yàn)Fig.9 Single-source comparison experiments

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，當(dāng)信噪比不低于-5 dB 時(shí)，4 種on-grid 算法DPD、DPD-MUSIC、DPD-MVDR、L1-SVD以及傳統(tǒng)兩步法AOA-SBL的定位精度基本相當(dāng)，本文提出的離格算法G-STLS具有最高的定位精度，在SNR=-5 dB 的情況下定位誤差在5 m 左右。當(dāng)信噪比進(jìn)一步降低至-10 dB，此時(shí)3 種經(jīng)典的直接定位算法DPD、DPD-MUSIC、DPD-MVDR 仍具有較高的穩(wěn)定性，定位誤差小幅度提高，傳統(tǒng)兩步法AOASBL 徹底失真，L1-SVD 定位誤差大幅攀升，導(dǎo)致GSTLS定位誤差也隨之攀升。

5.2 多源情況下的對(duì)比實(shí)驗(yàn)

經(jīng)典直接定位算法中的DPD-MUSIC、DPDMVDR 可實(shí)現(xiàn)對(duì)多源信號(hào)的定位。在本節(jié)中，我們展開對(duì)比實(shí)驗(yàn)，對(duì)比基于稀疏重構(gòu)的直接定位算法L1-SVD、G-STLS與DPD-MUSIC、DPD-MVDR 算法在不同信噪比下的定位性能。本次實(shí)驗(yàn)固定網(wǎng)格間距dx=dy=25 m，設(shè)定SNR=0 dB，3 dB，5 dB，7 dB，10 dB。考慮兩頻率為800 Hz、900 Hz 的單音信號(hào)，采樣頻率設(shè)置為10 kHz，快拍數(shù)設(shè)置為20。每個(gè)信噪比下進(jìn)行100 次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖10所示。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，現(xiàn)有的直接定位算法DPDMUSIC、DPD-MVDR 雖然能解決多源定位問題，但其定位精度存在很大的提升空間。針對(duì)網(wǎng)格失配問題，本文在G-STLS算法中給出的離格定位模型能夠減小因信號(hào)源不在網(wǎng)格點(diǎn)上而導(dǎo)致的離格誤差，使定位精度大幅提升。

6 結(jié)論

針對(duì)當(dāng)前水下多節(jié)點(diǎn)定位算法存在的多目標(biāo)分辨困難，定位精度不足等問題，本文利用目標(biāo)信號(hào)在空間中的稀疏特性，提出了一種基于群稀疏的多節(jié)點(diǎn)目標(biāo)被動(dòng)定位模型，并采用群稀疏優(yōu)化技術(shù)求解模型參數(shù)以實(shí)現(xiàn)多目標(biāo)的精確直接定位。為解決網(wǎng)格失配引起的定位精度缺失問題，本文使用一階泰勒展開對(duì)聯(lián)合陣列流形矩陣進(jìn)行近似，構(gòu)建離格定位模型，采用群稀疏整體最小二乘算法，實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)位置的高精度估計(jì)。仿真實(shí)驗(yàn)表明，所提模型和算法均是正確有效的，能對(duì)多目標(biāo)位置進(jìn)行精確解算。不同網(wǎng)格間距下的對(duì)比試驗(yàn)表明，本文所提出的離格定位模型對(duì)于網(wǎng)格間距有較強(qiáng)的魯棒性。相較于傳統(tǒng)兩步法及經(jīng)典的直接定位法，本文所提出的基于群稀疏整體最小二乘的離格直接定位算法針對(duì)單源及多源定位問題，在信噪比不低于-5 dB的情況下具有更高的定位精度。