PC-FFT：一種時頻協(xié)同的差分水聲OFDM 信號ICI抑制方法

李渝舟 黃運龍 桂正泰 周 闖

（華中科技大學(xué)電子信息與通信學(xué)院，湖北武漢 430074）

1 引言

差分正交頻分復(fù)用（Orthogonal Frequency Division Multiplexing，OFDM）由于其在對抗頻率選擇性衰落和降低導(dǎo)頻開銷方面展現(xiàn)出的強大能力，成為實現(xiàn)高速水聲通信的一種極具潛力的技術(shù)方案［1］。具體而言，一方面，OFDM 技術(shù)通過串并轉(zhuǎn)換和添加保護(hù)間隔，可有效對抗水聲信道大時延擴(kuò)展引起的頻率選擇性衰落［2］，差分OFDM 技術(shù)繼承了這一優(yōu)勢。另一方面，差分OFDM 技術(shù)通過引入差分編碼，可以通過依靠相鄰載波間（頻域）或相鄰符號間（時域）的相干性，在無須估計信道狀態(tài)信息的情況下，以差分相干檢測的方式恢復(fù)出原始數(shù)據(jù)符號，從而可大幅降低用于信道估計的導(dǎo)頻開銷［3-4］。

考慮在頻域上差分編碼的OFDM 系統(tǒng)，確保差分相干檢測能準(zhǔn)確恢復(fù)出原始數(shù)據(jù)符號的一個重要前提是相鄰載波上的信道頻率響應(yīng)要盡可能接近，即載波之間具有較強的相干性。對于帶寬B一定的OFDM 系統(tǒng)，可以通過增大載波數(shù)K來縮小載波間隔，從而增強載波間的相干性。另一方面，增大載波數(shù)也能提升系統(tǒng)的帶寬效率，其中，Q和Tg分別是調(diào)制階數(shù)和相鄰OFDM 符號間的保護(hù)間隔長度。然而，縮小載波間隔Δf也會使得系統(tǒng)對頻偏更加敏感，即在水聲信道固有的強多普勒頻偏的情況下，進(jìn)一步加劇了系統(tǒng)的載波間干擾（Inter-Carrier Interference，ICI），使得接收信號難以被精準(zhǔn)檢測。因此，在差分OFDM 系統(tǒng)中，需要使用盡可能多的載波來確保相鄰載波之間的強相干性和提升高帶寬效率，同時也需要將ICI抑制到較低的水平。

針對OFDM 系統(tǒng)的ICI 抑制問題，國內(nèi)外學(xué)術(shù)界已從不同的角度展開了大量的研究?；诙嘀乜焖俑道锶~變換（Multiple Fast Fourier Transform，Multi-FFT）的一系列方法是其中的一類典型方法。根據(jù)作用域的不同，這類方法可分為時域類、頻域類和時頻域類這三個子類，分別以分段快速傅里葉變換（Partial Fast Fourier Transform，P-FFT）、分?jǐn)?shù)快速傅里葉變換（Fractional Fast Fourier Transform，F(xiàn)FFT）和分段頻移快速傅里葉變換（Partially-Shifted Fast Fourier Transform，PS-FFT）為代表。其中，PFFT最早應(yīng)該是在文獻(xiàn)［5］中提出，其將一個完整的OFDM符號持續(xù)時間均勻地劃分為幾個不重疊的短區(qū)間，以減小信號時變性；然后，對每個短區(qū)間內(nèi)的接收信號分別執(zhí)行傅里葉變換，在每個載波上產(chǎn)生多個解調(diào)輸出；最后，再將這些輸出線性加權(quán)為一路輸出用于符號檢測。文獻(xiàn)［6］則最早將P-FFT 應(yīng)用于差分OFDM 系統(tǒng)，并設(shè)計了一種基于梯度下降的算法來求解權(quán)重向量。此外，文獻(xiàn)［7］將文獻(xiàn)［6］中僅具有單個接收單元的差分系統(tǒng)擴(kuò)展到配備有多個接收單元的系統(tǒng)。文獻(xiàn)［8］中則設(shè)計了一種基于特征分解的權(quán)重求解算法，以避免梯度下降法對初始點和步長設(shè)置敏感的問題。F-FFT 最早在文獻(xiàn)［9］中提出，其對接收信號按載波間隔Δf的多個分?jǐn)?shù)倍頻率進(jìn)行頻移，即多點頻率補償，然后分別執(zhí)行傅里葉變換，最后將多個輸出按和文獻(xiàn)［6-7］中相同的方式加權(quán)合并為一路輸出。文獻(xiàn)［10］引入了梯度縮放和閾值控制機(jī)制來改進(jìn)文獻(xiàn)［6-7，9］中的梯度下降法。此外，文獻(xiàn)［11］則設(shè)計了一種稱之為判決分?jǐn)?shù)快速傅里葉變換（Decision Fractional Fast Fourier Transform，DF-FFT）的方法，其通過符號重建的方式來提升F-FFT的性能。

相比上述從單一域抑制ICI 的P-FFT［5-8，10］和FFFT［9-10］等時域和頻域方法，文獻(xiàn)［12］中設(shè)計了一種稱之為PS-FFT 的時頻協(xié)同ICI 抑制方法。具體而言，首先，PS-FFT 在時域上將OFDM 符號持續(xù)時間劃分成多個短區(qū)間，化快變信號為準(zhǔn)靜態(tài)信號；其次，在頻域上對每一劃分后的短信號按多個預(yù)先設(shè)定的頻率進(jìn)行頻移，即多點頻率補償，其中補償頻率沒有像F-FFT 那樣限制成載波間隔Δf的分?jǐn)?shù)倍，而是可以設(shè)置成任意基準(zhǔn)偏移頻率fe的分?jǐn)?shù)倍；最后，將各補償后的信號分別執(zhí)行傅里葉變換，并利用基于梯度下降的算法［10］求解得到權(quán)重將多路輸出合并為一路?；谏鲜鲎龇?，PS-FFT 同時兼具了時域方法和頻域方法的優(yōu)勢，達(dá)到時頻協(xié)同抑制干擾的效果，并通過大量測試結(jié)果驗證了其抑制性能相比單域方法P-FFT［5-8，10］和F-FFT［9-10］的優(yōu)越性。然而，由于PS-FFT 中也具有類似F-FFT 的將同一段信號按多個預(yù)設(shè)偏移頻率進(jìn)行補償?shù)淖龇?，其可能會面臨當(dāng)多普勒頻偏較大時，因權(quán)重求解不準(zhǔn)導(dǎo)致的頻率補償過飽和的問題。具體而言，如果其中一個預(yù)設(shè)的補償頻率恰好等于或者十分接近多普勒頻偏，則該路輸出的信號中的頻偏將被抑制得足夠小。而其他路上的預(yù)設(shè)補償頻率由于與多普勒頻偏之間存在差距，輸出的信號中仍有較為明顯的頻偏。當(dāng)權(quán)重求解不夠準(zhǔn)確時，即將幾乎不含頻偏的信號和有明顯頻偏的信號按不合理的權(quán)重做加權(quán)，那么加權(quán)后的信號中將仍含有不可忽略的頻偏，甚至?xí)觿☆l偏。

針對上述問題，為進(jìn)一步提升系統(tǒng)在大多普勒頻偏下的檢測性能，本文設(shè)計了一種稱之為分段-單頻率校正快速傅里葉變換（Partially-Single-Frequency-Corrected Fast Fourier Transform，PC-FFT）的時頻協(xié)同ICI抑制方法。具體而言，PC-FFT 和PSFFT 類似，也是先在時域分割、再在頻域補償、最后線性加權(quán)。但所不同的是，PC-FFT在每個分段后的短區(qū)間內(nèi)只做單頻點補償，且不預(yù)先設(shè)定補償頻率，而是動態(tài)優(yōu)化得到。為了求解權(quán)重和補償頻率，建立了以二者為變量，以最小化信號檢測均方誤差（Mean Square Error，MSE）為目標(biāo)的優(yōu)化問題。鑒于在該問題中兩個變量之間高度耦合導(dǎo)致的目標(biāo)函數(shù)嚴(yán)重非凸，為降低計算開銷，提出了基于坐標(biāo)輪換下降的求解算法。仿真和實測水聲信道的測試結(jié)果均表明，PC-FFT在大多普勒頻偏場景下的檢測性能要顯著優(yōu)于P-FFT、F-FFT和PS-FFT。

本文其余部分組織如下。在第二章中，本文介紹了差分水聲OFDM通信的系統(tǒng)模型。第三章描述了本文設(shè)計的PC-FFT 方法的詳細(xì)過程。仿真測試結(jié)果在第四章中給出，以驗證所提出方法的性能。

2 差分水聲OFDM系統(tǒng)模型

考慮一個具有如下參數(shù)配置的差分OFDM 系統(tǒng)：載波數(shù)為K、帶寬為B、最低載波頻率為f0和保護(hù)間隔為Tg，則系統(tǒng)的載波間隔為，OFDM 符號持續(xù)時間為，各路載波頻率fk為

記搭載到第k路載波上的傳輸符號為dk，其由原始數(shù)據(jù)符號bk執(zhí)行差分編碼得到，如下所示

其中，符號bk通過對原始比特信息做Q階能量歸一化的相移鍵控（Phase-Shift Keying，PSK）調(diào)制得到，即bk屬于星座集合A={a0，a1，a2，…，aQ-1}，aq=，q=0，1，2，…，Q-1。

對搭載到各路載波上的差分符號dk執(zhí)行逆傅里葉變換，可得到基帶時域信號s(t)，表示為

再對s(t)按最低載波頻率f0進(jìn)行上變頻，可得到帶通時域信號，如下所示

其中，Re{·}表示取復(fù)數(shù)的實部。

其中，hp(t)和τp(t)分別為各路徑上的增益和時延，為噪聲，為第k路載波上的信道系數(shù)。

首先考慮信道時不變的情況，即hp(t)和τp(t)不隨時間t變化的理想情況。此時，Hk(t)退化成與時間t無關(guān)的量，從而式（7）中的積分項只包含，由于其具有如下正交關(guān)系

因此，在信道時不變情況下，式（7）可展開為

對相鄰兩路載波上的解調(diào)輸出xk和xk-1執(zhí)行差分相干檢測，得到

當(dāng)相鄰兩路載波上的信道響應(yīng)Hk和Hk-1可以認(rèn)為近似相等，以及噪聲可以忽略時，式（10）展開為

即通過差分相干檢測，利用載波之間的相干性，成功恢復(fù)出了發(fā)送符號bk。

然而在實際水下環(huán)境中，由于聲波的緩慢傳播特性，水聲信道通常具有強烈的多普勒效應(yīng)，導(dǎo)致信道快速時變。此時，Hk(t)無法退化成Hk，式（7）中的積分項也不再是，而是。由于積分項不滿足式（8）所示的正交關(guān)系，從而推導(dǎo)不出式（9）所示的輸入輸出關(guān)系。事實上，當(dāng)存在多普勒效應(yīng)時，式（9）應(yīng)重寫成如下所示的形式

即按式（7）執(zhí)行FFT 解調(diào)得到的xk中含有ICI。當(dāng)ICI 達(dá)到不可忽略的程度時，按式（10）執(zhí)行差分相干檢測，將難以成功恢復(fù)出發(fā)送符號bk。

3 基于PC-FFT的時頻協(xié)同ICI抑制方法

在本章中，首先描述了基于PC-FFT 的時頻協(xié)同ICI 抑制方法的結(jié)構(gòu)設(shè)計，然后建模了一個以權(quán)重和補償頻率為變量，以最小化信號檢測均方誤差為目標(biāo)的優(yōu)化問題，并結(jié)合仿真實例說明了其具有高度非凸的特點。最后針對該優(yōu)化問題，為降低其計算開銷，設(shè)計了一種基于坐標(biāo)輪換下降的求解算法。

3.1 基于PC-FFT的ICI抑制結(jié)構(gòu)

PC-FFT 方法的核心思想是先將一整個OFDM符號持續(xù)時間[0，T]內(nèi)的接收信號劃分為多段，由于劃分后的短信號持續(xù)時間相比劃分前的信號要短，因此更接近或者小于信道相干時間，即化快變信號為準(zhǔn)靜態(tài)信號，減小信號的時變性，從而在時域的角度緩解ICI。然后對每一分段之后的短信號分別按單個頻率進(jìn)行頻移，補償多普勒頻偏，從而在頻域的角度緩解ICI。其中，各分段上的補償頻率不是預(yù)先設(shè)定的，而是動態(tài)優(yōu)化得到的。最后再對各補償后的信號分別做FFT，并通過線性加權(quán)的方式將多路FFT 輸出合并成一路。圖1 展示了PC-FFT 方法的整體結(jié)構(gòu)，下面具體介紹其步驟和細(xì)節(jié)。

圖1 PC-FFT方法結(jié)構(gòu)框圖Fig.1 Block diagram of the PC-FFT approach

如圖1所示，首先，PC-FFT將基帶接收信號r(t)均勻地劃分成了A段互不重疊的短信號ra(t)，該過程可以通過將r(t)乘以一系列的非重疊矩形窗口函數(shù)來實現(xiàn)

其中，rect(t)為單位矩形窗口函數(shù)，僅當(dāng)|t|≤0.5時函數(shù)值為1，其他情況下函數(shù)值為0。

接下來，PC-FFT對各路上的分段信號ra(t)分別按一個經(jīng)優(yōu)化得到的頻率fe，a進(jìn)行頻移，表示為

然后，對上述得到的A個頻移后的分段信號ra，fe(t)分別執(zhí)行傅里葉變換，在每個載波處得到A個解調(diào)輸出zk，a，其為

最后，將同一載波處的A個解調(diào)輸出zk，a排列成列向量的形式，表示為

再用一個與解調(diào)向量zk相同維度的權(quán)重向量wk的共軛轉(zhuǎn)置乘以zk，即對zk進(jìn)行加權(quán)合并，得到各路載波上的最終解調(diào)結(jié)果xk，如下所示

對符號xk執(zhí)行式（10）所示的差分相干檢測得到符號檢測結(jié)果。

3.2 優(yōu)化問題建模

由式（9）可知，對于時不變信道，相鄰兩路載波上的接收符號xk和xk-1與發(fā)送符號dk和dk-1之間滿足

當(dāng)相鄰兩路載波上的信道響應(yīng)Hk和Hk-1近似相等時，式（18）可以寫為

其中，vk=nk-bknk-1為差分噪聲，其方差是原始噪聲nk方差的兩倍。

由式（19）可知，發(fā)送符號bk的最大似然估計可表示為

進(jìn)一步地，根據(jù)式（20），第k路載波上的符號檢測誤差可定義為

考慮在一個OFDM 符號上均勻地安插了KP個導(dǎo)頻，則單個OFDM 符號的導(dǎo)頻處總檢測誤差E可表示為

其中，KP是由KP個導(dǎo)頻載波序號組成的集合。

為方便后文表述，記PC-FFT 方法中各路上的補償頻率組成的向量為

顯然，由式（15）、式（16）、式（22）和式（23）可知，導(dǎo)頻處的總檢測誤差E同時受權(quán)重向量wk和補償頻率向量fe的影響，二者的求解精度直接關(guān)系ICI的有效抑制程度。因此，本小節(jié)建立了以wk和fe為變量，以最小化E為目標(biāo)的優(yōu)化問題。為了直觀地展示目標(biāo)函數(shù)E的凹凸性，本文測試了E隨補償頻率的變化曲面圖，如圖2 所示。其中，PC-FFT 的分段數(shù)A設(shè)置為2，即把原始接收信號r(t)分成了兩段短信號r0(t)和r1(t)。r0(t)和r1(t)分別在頻率fe，0和fe，1上做補償?？紤]到信道多普勒因子和中心載波頻率分別為α=3×10-4和fc=32 kHz，對應(yīng)中心載波上的多普勒頻偏為fd=αfc=9.6 Hz，因此設(shè)置fe，0和fe，1均從-2fd到2fd范圍內(nèi)變化。此外，系統(tǒng)采用文獻(xiàn)［10］中提出的基于梯度下降的算法求解權(quán)重向量wk。從圖2 中，可以看出均方誤差的曲面圖呈現(xiàn)出高度非凸的特性，其很大程度由wk和fe高度耦合所導(dǎo)致。

3.3 權(quán)值和補償頻率的聯(lián)合求解算法

考慮到如3.2 節(jié)所述，優(yōu)化問題中權(quán)重向量wk和補償頻率向量fe之間高度耦合，致使其嚴(yán)重非凸，為降低求解復(fù)雜度，本節(jié)基于坐標(biāo)輪換下降的思路，設(shè)計了一種wk和fe的聯(lián)合求解算法。具體而言，在權(quán)重向量求解階段，固定補償頻率向量不變，利用文獻(xiàn)［8］提出的特征值分解法進(jìn)行求解；在補償頻率向量求解階段，固定權(quán)重向量不變，利用梯度下降法進(jìn)行求解；二者依次交替執(zhí)行，直至收斂。以下兩個小節(jié)將先依次介紹wk和fe的求解算法，再由最后一個小節(jié)給出聯(lián)合求解算法的整體結(jié)構(gòu)設(shè)計。

3.3.1 基于特征值分解的權(quán)重求解算法

考慮到文獻(xiàn)［6-7，9-10］中的基于梯度下降的算法以自適應(yīng)的方式求解權(quán)重向量，其性能受起始點和步長等參數(shù)設(shè)置的影響很大，即魯棒性較差，因此對于本問題中的權(quán)重向量求解，將采用文獻(xiàn)［8］中提出的基于特征值分解的算法，以非自適應(yīng)的方式求解權(quán)重向量。以下簡要介紹這種算法的主要原理和步驟。

文獻(xiàn)［8］首先考慮了當(dāng)多普勒效應(yīng)較小，重采樣后的接收信號具有窄帶特性的情況，此時可以認(rèn)為各載波上的wk都近似相等，即

進(jìn)一步地，文獻(xiàn)［8］中也考慮了當(dāng)多普勒效應(yīng)較為嚴(yán)重，重采樣后的信號仍具有寬帶特性的情況，即無法認(rèn)為K個載波上的wk都近似相等。為此，相應(yīng)的做法是將全部K個載波均勻地劃分成了S個子區(qū)間，使得劃分后的短區(qū)間具有窄帶特性，從而可以認(rèn)為每一子區(qū)間內(nèi)的個載波上的wk都相等，即

其中，0 ≤s≤S-1為分區(qū)間的序號，ws，k'為第s個子區(qū)間上第k'個載波的權(quán)重向量，0 ≤k'≤。特別地，當(dāng)S=1時，即對應(yīng)沒有劃分子區(qū)間的情況。

由式（21）可知，第s個子區(qū)間上個導(dǎo)頻載波處的總符號檢測誤差Es表示為

其中，KP，s為第s個子區(qū)間上的個導(dǎo)頻載波序號組成的集合為第s個子區(qū)間上的導(dǎo)頻檢測誤差矩陣。顯然，RP，s是一個厄米特（Hermitian）矩陣，即滿足。

由此，將第s個子區(qū)間上權(quán)重向量的求解問題建模為

利用拉格朗日（Lagrange）乘子法，可以將式（27）中帶約束的問題轉(zhuǎn)換為一個無約束問題

求解L(ws)求關(guān)于ws的偏導(dǎo)數(shù)有

因此，對于式（29）中的偏導(dǎo)數(shù)為0 的極值點有以下關(guān)系

根據(jù)矩陣特征值分解的性質(zhì)可知，滿足式（30）的λs和ws分別為方陣RP，s的特征值和其對應(yīng)的右特征值向量。記方陣RP，s的最小特征值及其對應(yīng)的歸一化右特征向量分別為λs，min和vs，min，那么當(dāng)ws取值為時，式（26）中的導(dǎo)頻處總檢測誤差Es達(dá)到最小值

由此，文獻(xiàn)［8］通過特征值分解，以非自適應(yīng)的方式求出了各個子區(qū)間上的最優(yōu)權(quán)重向量

3.3.2 基于梯度下降的補償頻率求解算法

如3.3.1 小節(jié)所述，在求解權(quán)重向量wk時使用到了在每個OFDM 符號上插入的KP個導(dǎo)頻，為節(jié)省導(dǎo)頻開銷和提升頻譜效率，本小節(jié)中也將復(fù)用這些導(dǎo)頻來求解補償頻率向量fe。以式（22）中定義的KP個導(dǎo)頻載波上的總檢測誤差E為目標(biāo)函數(shù)，為使用基于梯度下降的算法優(yōu)化fe，需求解出E關(guān)于fe的偏導(dǎo)數(shù)。

首先，由式（22）和式（23）可知，E關(guān)于fe的偏導(dǎo)數(shù)可展開為

因此，這里先求解出單個導(dǎo)頻載波上的檢測誤差|ek|2關(guān)于單個補償頻率fe，a的偏導(dǎo)數(shù)，經(jīng)數(shù)學(xué)推導(dǎo)可得到該求導(dǎo)結(jié)果為

結(jié)合式（33）和式（34）中的關(guān)系式，可得到總檢測誤差E關(guān)于fe的偏導(dǎo)數(shù)的最終求解結(jié)果為

其中，運算符Im{·}表示取復(fù)數(shù)的虛部，并涉及到以下符號記法

其中，運算符°表示兩個相同維度的向量或矩陣之間的哈達(dá)瑪（Hadamard）積。

最后，取式（36）所示的求解結(jié)果的相反數(shù)即為目標(biāo)函數(shù)E關(guān)于fe的梯度，表示為

由此即可按梯度下降的方式迭代地求解fe，如下所示

其中，μfe為步長系數(shù)，iter為迭代次數(shù)的索引。

3.3.3 聯(lián)合求解算法整體結(jié)構(gòu)設(shè)計

圖3為本小節(jié)設(shè)計的基于坐標(biāo)輪換下降的聯(lián)合求解算法的整體結(jié)構(gòu)框圖。該聯(lián)合求解算法按逐OFDM 符號的順序求解權(quán)重向量wk和補償頻率向量fe，并分別采用3.3.1和3.3.2小節(jié)中所描述的算法求解wk和fe。以下具體介紹該算法的執(zhí)行過程。

圖3 權(quán)重和補償頻率的聯(lián)合求解算法框圖Fig.3 Block diagram of the algorithm for jointly solving the weight and compensation frequency

首先，算法設(shè)置了一個補償頻率向量的初始值fe，init，作為第1 個OFDM 符號上fe迭代的起始值，即，并用該起始值對r(t)和tr(t)分別執(zhí)行PC-FFT 解調(diào)得到zk和。緊接著，利用zk和導(dǎo)頻信息進(jìn)行基于特征值分解的權(quán)重求解，得到wk的第一輪求解結(jié)果。接下來，利用分別對zk和執(zhí)行加權(quán)合并和Hadamard 乘積運算得到xk和。然后，再利用xk和，以及導(dǎo)頻信息進(jìn)行基于梯度下降的補償頻率求解，得到fe的第一輪求解結(jié)果，完成聯(lián)合求解的第一輪循環(huán)。

考慮到相鄰OFDM符號上的多普勒頻偏通常較為接近，為降低迭代次數(shù)，因此從第2個OFDM 符號起，是將當(dāng)前OFDM符號上fe迭代的起始值設(shè)置為上一個OFDM 符號上的fe迭代的終止值，即，其中n≥2 為OFDM 符號序號的索引。算法1中總結(jié)了該聯(lián)合求解算法的詳細(xì)執(zhí)行步驟。

此外，考慮到基于梯度下降的補償頻率向量求解算法對于初始點十分敏感，為提高算法的魯棒性，本文設(shè)計的算法也采用了文獻(xiàn)［13-14］中的假設(shè)檢驗法，作為聯(lián)合求解前的預(yù)處理過程。具體而言，先按一系列預(yù)先設(shè)定的fe分別對第1 個OFDM符號執(zhí)行PC-FFT 解調(diào)，并利用基于特征值分解的算法求出的wk對解調(diào)輸出zk進(jìn)行加權(quán)合并得到xk。然后對xk執(zhí)行差分相干檢測，并統(tǒng)計出第1 個OFDM 符號上導(dǎo)頻處的總檢測誤差E。之后，找出使得E最小的預(yù)設(shè)fe，即為第1 個OFDM 符號上的fe的迭代起始值f1e(1)。

4 仿真實驗與結(jié)果分析

本節(jié)基于兩類水聲信道分別進(jìn)行了仿真實驗，來測試本文所設(shè)計的PC-FFT 方法和現(xiàn)有P-FFT、FFFT、PS-FFT 方法，以及使用單路FFT 解調(diào)的無ICI抑制的方法（Single-FFT）的性能。第一個小節(jié)將介紹基于理論信道模型的仿真水聲信道的實驗，第二個小節(jié)將介紹基于Watermark 平臺的實測水聲信道的實驗。其中，值得注意的是，在測試上述算法性能時，僅考慮其干擾抑制能力對信號檢測的影響，并未考慮信道編解碼、峰均比抑制等模塊。

4.1 基于仿真水聲信道的實驗

本小節(jié)參照文獻(xiàn)［6］中的差分水聲OFDM系統(tǒng)的典型參數(shù)配置，結(jié)合基于理論信道模型的仿真信道，構(gòu)建了仿真系統(tǒng)，來開展對PC-FFT等方法的性能測試。本小節(jié)將先介紹仿真系統(tǒng)的具體參數(shù)配置，然后展示用此參數(shù)配置獲得的測試結(jié)果，并予以分析。

4.1.1 仿真參數(shù)設(shè)置

表1 總結(jié)了仿真系統(tǒng)的主要OFDM 參數(shù)配置，其中，載波數(shù)K和每幀包含的OFDM 符號數(shù)N之間滿足KN=213的數(shù)量關(guān)系，即一幀所包含的QPSK符號數(shù)是固定為213。表2 總結(jié)了4 種ICI 抑制方法的參數(shù)配置，其中，P-FFT、PS-FFT 和PC-FFT 的分段數(shù)均設(shè)置為3，F(xiàn)-FFT 和PS-FFT 的補償頻率數(shù)均設(shè)置為3。此外，考慮到在本小節(jié)的仿真測試中，信道的最大多普勒因子為αmax=5×10-4，對應(yīng)中心載波上的頻偏為fd，max=αmaxfc=16 Hz，因此，在本小節(jié)中將PS-FFT 的基準(zhǔn)偏移頻率fe設(shè)置為fd，max的兩倍，即fe=2fd，max=32 Hz。對于PC-FFT 方法，在聯(lián)合求解前的假設(shè)檢驗階段，則是從-32 Hz 到32 Hz 的范圍內(nèi)，以8 Hz 為間隔取出9 個頻率分別對每幀的第1個OFDM符號進(jìn)行預(yù)解調(diào)。

表1 基于仿真水聲信道的仿真實驗OFDM系統(tǒng)參數(shù)配置Tab.1 Parameter settings of the OFDM system in the simulation based on the simulated UWA channel

表2 基于仿真水聲信道的仿真實驗ICI抑制方法參數(shù)配置Tab.2 Parameter settings of the ICI mitigation methods in the simulation based on the simulated UWA channel

此外，如表2所示，為了公平起見，4種方法都是在每幀OFDM數(shù)據(jù)上插入了NP=256個導(dǎo)頻。所不同的是，對于P-FFT、F-FFT 和PS-FFT，256 個導(dǎo)頻是安插在每幀OFDM數(shù)據(jù)開頭的256個連續(xù)的載波上，用于啟動基于梯度下降的權(quán)重求解算法。根據(jù)載波數(shù)的不同，這256 個導(dǎo)頻分布在第1 個或者前幾個OFDM 符號上。而對于PC-FFT，是在每個OFDM 符號上都等間隔地安插了個導(dǎo)頻，用于權(quán)重向量和補償頻率向量的聯(lián)合求解。最后，如3.3.3小節(jié)中所述，在利用基于特征值分解的方法求解PCFFT的權(quán)重向量時，是將全部K個載波分成了S個子區(qū)間。其中，當(dāng)K為64、128 和256 時，由于每個OFDM符號內(nèi)的導(dǎo)頻數(shù)KP較少，因此是將S都設(shè)置為1。當(dāng)K為512、1024、2048 和4096 時，S分別設(shè)置為2、4、8和16，使得每個子區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)頻數(shù)都為8。

表3中總結(jié)了仿真水聲信道的主要參數(shù)配置，包括水深和收發(fā)機(jī)距離等幾何參數(shù)，以及擴(kuò)散因子和聲速等物理參數(shù)?；诒?中的參數(shù)配置，使用文獻(xiàn)［15］中提供的水聲信道仿真器生成了本節(jié)所使用的仿真信道，其路徑增益和時延分布如圖4所示。

表3 仿真水聲信道參數(shù)配置Tab.3 Parameter settings of the simulated UWA channel

圖4 仿真信道路徑增益-時延分布圖Fig.4 Path gains and delays distribution of the simulated UWA channel

4.1.2 仿真結(jié)果及分析

本小節(jié)首先測試了5種方法在不同多普勒因子α下的符號檢測MSE性能，結(jié)果如圖5所示，其中，多普勒因子α是在10-4～5×10-4的范圍內(nèi)變化，信噪比和載波數(shù)分別固定為SNR=10 dB 和K=1024。從圖5中可以看出，當(dāng)α較小時，5種方法都能比較好的工作，隨著α增大，檢測性能都在下降，這也從側(cè)面體現(xiàn)了抑制ICI 的重要性。當(dāng)α增長到2.5×10-4時，Single-FFT由于沒有抑制ICI，其MSE達(dá)到了3.57 dB，對應(yīng)的誤比特率（Bit Error Rate，BER）為43.92%，接近50%的亂猜概率，即Single-FFT 此時已經(jīng)幾乎完全無法工作，而其他方法由于在不同程度上抑制了ICI，此時都能保持較好的性能。

圖5 不同多普勒因子下5種方法的MSE性能（基于仿真水聲信道）Fig.5 MSE performance of five methods under different Doppler factors （based on the simulation UWA channel）

此外，從圖5 中可以看出，對于3 種現(xiàn)有ICI 抑制方法，F(xiàn)-FFT 的MSE 性能要優(yōu)于P-FFT，說明從頻域抑制ICI 相比從時域抑制ICI 更為有效。更進(jìn)一步地，PS-FFT的MSE性能要優(yōu)于F-FFT，且隨著α增大優(yōu)勢更加明顯，說明協(xié)同時頻域抑制ICI 相比從單域抑制ICI 能夠取得更好的效果。對于PC-FFT，雖然當(dāng)α較小時（例如10-4～2×10-4），其性能不及PS-FFT 和F-FFT。但當(dāng)α達(dá)到2.5×10-4的時候，PC-FFT 的MSE 開始低于F-FFT 的MSE。當(dāng)α超過3×10-4后，PS-FFT 的MSE 開始急劇攀升，并在α=4×10-4的時候，MSE 達(dá)到2.71 dB，此時對應(yīng)的BER 為48%，非常接近50%的亂猜概率，即幾乎完全無法正常工作。造成這一現(xiàn)象的可能原因是PSFFT沒有顯示地求解頻偏，ICI抑制性能完全依賴于權(quán)重求解精度。當(dāng)α較小時，使用梯度下降法可以較為準(zhǔn)確地求解權(quán)重，因此能維持較好的性能。而當(dāng)α較大時，權(quán)重求解精度急劇下降，頻率補償出現(xiàn)過飽和，進(jìn)而檢測性能顯著下降。對于PC-FFT，由于顯示地估計了頻偏，在α達(dá)到3.5×10-4時，性能開始超過PS-FFT，并在α高達(dá)5×10-4時，仍能維持-7.15 dB的性能。

其次，本小節(jié)也測試了5種方法在不同載波數(shù)K下的符號檢測MSE性能，結(jié)果如圖6所示，其中，載波數(shù)是在64～4096的范圍內(nèi)變化，多普勒因子和信噪比分別固定為SNR=10 dB和α=3.5×10-4。此外，在圖6中也測試了α=0，即沒有多普勒效應(yīng)時的Single-FFT 的性能，其隨著K增大而單調(diào)提升，并作為性能上界。從圖6中可以發(fā)現(xiàn)，隨著K從64增加到128，各種方法的性能都有所提升。這可以通過在固定帶寬情況下，增加載波數(shù)量K，會使得載波間隔Δf變小，從而增強了相鄰載波之間的相干性來解釋。然而，縮短Δf會使得系統(tǒng)對頻偏更加敏感，導(dǎo)致Single-FFT的性能在K達(dá)到128之后開始下降。對于具有ICI抑制效果的其他方法，則可以延緩這種下降趨勢，P-FFT、FFFT、PS-FFT、PC-FFT的性能分別是在載波數(shù)K達(dá)到256、512、512、1024之后開始明顯下降。也就是說這些方法相比Single-FFT 增大了系統(tǒng)可以使用的最大載波數(shù)，從而提高了系統(tǒng)的傳輸速率和帶寬效率。

圖6 不同載波數(shù)下5種方法的MSE性能（基于仿真水聲信道）Fig.6 MSE performance of five methods under different carrier numbers （based on the simulation UWA channel）

另一方面，對于PC-FFT，在利用特征值分解法求解權(quán)重向量wk時，是認(rèn)為每個子區(qū)間內(nèi)所有載波上的wk都相等。當(dāng)K較小時（例如64、128和256），由于每個OFDM 符號上的導(dǎo)頻總數(shù)KP較少，因此沒有劃分子區(qū)間。顯然，在寬度等于系統(tǒng)帶寬B=12 kHz的長區(qū)間里，認(rèn)為各載波上的wk都相等不夠合理，此時使得特征值分解法求得的wk不夠準(zhǔn)確。另外考慮到補償頻率向量fe是按逐符號的方式求解，即KP越大，求解精度越高，因此當(dāng)K較小時，KP較小導(dǎo)致fe的求解精度也較低。

綜上，當(dāng)K較小時，由于分區(qū)間寬度較長和KP較小，使得wk和fe的求解精度都較低，從而PC-FFT在低載波數(shù)下的性能不如PS-FFT 等方法。而隨著K的增大，分區(qū)間數(shù)增大，單個子區(qū)間的寬度減小，以及KP增大，使得wk和fe的求解精度增大，PC-FFT的檢測性能最終在K達(dá)到1024 時，開始超過PSFFT。因此，對于PC-FFT 要盡可能使用較大的載波數(shù)，這點與差分相干檢測為保證相鄰載波間的強相干性，要盡量使用較大的載波數(shù)不謀而合。此外，當(dāng)K=4096時，P-FFT、F-FFT 和PS-FFT 的MSE 都接近4 dB，BER 也都接近50%的亂猜概率，即無法工作。而此時PC-FFT 仍能保持-2.44 dB 的MSE 性能，即相比PS-FFT 等方法，PC-FFT 進(jìn)一步拓寬了系統(tǒng)最大可使用的載波數(shù)范圍。

接下來，本小節(jié)測試了上述5 種方法在不同信噪比下的符號檢測MSE 和BER 性能，結(jié)果如圖7 所示，其中，信噪比是在0～30 dB 的范圍內(nèi)變化，多普勒因子和載波數(shù)分別設(shè)置為α=3.5×10-4和K=1024。從圖7 中可以看出，當(dāng)α達(dá)到3.5×10-4時，P-FFT 和F-FFT 的MSE 和BER 和Single-FFT 十分接近，且BER 接近50%的亂猜概率，也就是說P-FFT和F-FFT 由于抑制能力有限，此時都幾乎完全無法正常工作，因此這里重點關(guān)注PS-FFT 和PC-FFT 的性能。由于這兩種方法在α=3.5×10-4時，都具有較強的ICI 抑制能力，二者都具有較好的MSE 和BER 性能。具體而言，當(dāng)信噪比在10～30 dB 的范圍內(nèi)變化時，相比PS-FFT，PC-FFT 將MSE 降低了55.08%～67.64%，將BER降低了91.94%～98.85%。

圖7 不同信噪比下5種方法的MSE和BER性能（基于仿真水聲信道）Fig.7 MSE and BER performance of five methods under different SNRs （based on the simulation UWA channel）

然后，本小節(jié)也測試了5 種方法的運行時間對比，結(jié)果如圖8 所示，其中多普勒因子、載波數(shù)和信噪比分別設(shè)置為α=3.5×10-4、K=1024 和SNR=30 dB。從圖8 中可以看出，F(xiàn)-FFT 的運行時間略高于P-FFT 的運行時間，說明從頻域補償多普勒頻偏的做法的復(fù)雜度要略高于從時域分段減小時變性的做法。結(jié)合圖5～圖7 的性能測試結(jié)果，F(xiàn)-FFT 雖然相比P-FFT 略微增加了復(fù)雜度，但能帶來更好的性能。同樣地，對于PS-FFT 方法，由于兼具了時域分段和頻域補償?shù)淖龇ǎ鋸?fù)雜度比P-FFT 和FFFT都要高，但相比二者也能帶來不小的性能提升。此外，對于PC-FFT 方法，雖然由于需要同時求解補償頻率和權(quán)重，導(dǎo)致復(fù)雜度明顯高于只需求解權(quán)重的PS-FFT等方法，但能在大多普勒因子性能顯著優(yōu)于PS-FFT 等方法。具體而言，雖然P-FFT、F-FFT 和PS-FFT 等方法復(fù)雜度低，但它們利用基于梯度下降的方法求解權(quán)重，且在每個載波處只迭代一次，對于初始點和步長的設(shè)置十分敏感，魯棒性較低。PC-FFT采用基于特征值分解的算法，以非自適應(yīng)的方式求解權(quán)重，且在迭代求解補償頻率前，以假設(shè)檢驗的方式獲得一個較為合適的頻率迭代起始點，魯棒性較高，即降低了對初始參數(shù)配置的敏感度。此外，F(xiàn)-FFT 和PS-FFT 是在預(yù)設(shè)的頻率上做補償，而PC-FFT 通過在動態(tài)優(yōu)化得到的頻率上做補償，可有效提升系統(tǒng)自主跟蹤動態(tài)多普勒頻偏的能力。

圖8 5種方法的運行時間對比Fig.8 Running time comparison of five methods

進(jìn)一步，圖9定量展示了算法1中各主要步驟的耗時占比。具體而言，統(tǒng)計了第9 步（Step 9）、第10步（Step 10）、第13 步（Step 13）和其它步驟（Other Steps）的運行時間占算法1 總運行時間的比重。其中，第9步是對接收信號r(t)和信號t?r(t)分別進(jìn)行PC-FFT解調(diào)，第10步是利用特征值分解法求解權(quán)重向量，第13步是計算梯度。從圖中可看出，第9步導(dǎo)致了絕大部分耗時，達(dá)到了90%以上，第10 步和第13 步的耗時分別約為5.5%和3.9%，其余步驟的總耗時不到0.2%。第9步耗時大的原因是執(zhí)行傅里葉變換，雖然使用了加速算法FFT，但計算開銷仍不小。而且，在迭代求解權(quán)重和補償頻率的過程中，需執(zhí)行步驟9多次。經(jīng)測試統(tǒng)計，算法1平均在每個OFDM符號上要迭代約18次，即步驟9要被執(zhí)行18次，單次的運行時間雖短，但18次迭代將顯著增加耗時，致使PC-FFT方法的運行時間超過PS-FFT的。

圖9 算法1中各步驟運行時間占比Fig.9 Proportion of running time for steps in Algorithm 1

最后，本小節(jié)也測試了不同分段數(shù)A下PC-FFT方法的符號檢測MSE 性能，結(jié)果如圖10 所示，其中，信噪比是在0～30 dB 的范圍內(nèi)變化，多普勒因子和載波數(shù)分別設(shè)置為α=3.5×10-4和K=1024，測試了分段數(shù)A分別取2、3 和4 時的性能。從圖10 中可以看出，分段數(shù)A=3 時的MSE 性能整體上要優(yōu)于A=2 時的性能。而當(dāng)分段數(shù)A增大到4 時，MSE性能在SNR 較低時相比A=3 時甚至要略微更差，說明增大分段數(shù)A，MSE 性能不會單調(diào)地改善，當(dāng)超過某一值，性能反而會惡化，其可能原因是參數(shù)過擬合。具體而言，當(dāng)分段數(shù)A增大時，權(quán)重向量wk中的元素增多，即在權(quán)重和補償頻率的聯(lián)合優(yōu)化問題中需要求解的參數(shù)量增多，更容易發(fā)生參數(shù)失配，即過擬合的問題，從而使得系統(tǒng)性能下降，在文獻(xiàn)［8］和［16］的測試結(jié)果中也發(fā)生了類似的現(xiàn)象。此外，增大分段數(shù)也會提升系統(tǒng)的復(fù)雜度。因此，在實際應(yīng)用時，需要折中考慮性能和復(fù)雜度來確定分段數(shù)。

圖10 不同分段數(shù)下PC-FFT方法的MSE性能Fig.10 MSE performance of PC-FFT under different segment numbers

4.2 基于實測水聲信道的實驗

Watermark 是一個基于實測信道數(shù)據(jù)的水聲通信仿真平臺，其中包含了采集自多個真實海洋環(huán)境中的信道數(shù)據(jù)［17］?；谶@一平臺，實驗者能夠在MATLAB 等仿真軟件上能模擬信號經(jīng)過實際水聲信道的過程。截至到目前，Watermark包含了5組測試信道的數(shù)據(jù)，分別為NOF1［18］、NCS1［18］、BCH1［19］、KAU1［20］和KAU2［20］。其中，NOF1、NCS1和BCH1 分別采集自挪威奧斯陸峽灣、挪威大陸架和法國布雷斯特海港、KAU1 和KAU2 則采集自美國夏威夷州考艾島。在這5 組信道中，NOF1 和NCS1 為單入單出（Single-Input Single-Output，SISO）信道，其他三種為單入多出（Single-Input Multiple-Output，SIMO）信道。由于本文研究工作目前考慮的是具有單個接收單元的差分OFDM 系統(tǒng)，因此，本小節(jié)利用NOF1 和NCS1 這2 種單入單出信道，構(gòu)建了仿真系統(tǒng)，來開展對PC-FFT 等方法的性能測試。本小節(jié)將先介紹仿真系統(tǒng)的具體參數(shù)配置，然后展示用此參數(shù)配置獲得的測試結(jié)果，并予以分析。

4.2.1 仿真參數(shù)設(shè)置

表4 總結(jié)了仿真系統(tǒng)的主要OFDM 參數(shù)配置，其中各項參數(shù)基本與表1 相同，主要區(qū)別在于表4是將中心載波頻率和帶寬分別設(shè)置為fc=14 kHz和B=8 kHz，即信號頻帶范圍為10～18 kHz，用以適配NOF1 和NCS1 信道的頻率范圍。表5 總結(jié)了4 種ICI 抑制方法的參數(shù)配置，其中，考慮到NCS1 信道條件較為惡劣，因此在本小節(jié)的仿真實驗中，4種方法在每幀OFDM 數(shù)據(jù)中都是使用了NP=1024 個導(dǎo)頻。對于PC-FFT，在基于特征值分解求解權(quán)重向量時，本小節(jié)中是將分區(qū)間數(shù)設(shè)置為S=4。

表4 基于實測水聲信道的仿真實驗OFDM系統(tǒng)參數(shù)配置Tab.4 Parameter settings of the OFDM system in the simulation based on the actual-measured UWA channel

表5 基于實測水聲信道的仿真實驗ICI抑制方法參數(shù)配置Tab.5 Parameter settings of the ICI mitigation methods in the simulation based on the actual-measured UWA channel

此外，根據(jù)Watermark 平臺提供的資料，NOF1和NCS1 信道的平均多普勒速度分別為0.0625 m/s和0.1580 m/s，折算的歸一化多普勒因子分別為4.167×10-5和1.053×10-4。由于這兩個多普勒因子數(shù)值較小，為了觀測在不同多普勒因子下的性能，因此在設(shè)計的仿真程序中的通過重采樣來添加多普勒效應(yīng)對信號的影響時，沒有按原本的多普勒因子去重采樣，而是按自定義的多普勒因子重采樣。由于在本小節(jié)的仿真測試中，信道的最大多普勒因子為αmax=10-3，對應(yīng)的中心載波上的頻偏為fd，max=αmaxfc=14 Hz，因此，在本小節(jié)中是將PSFFT的基準(zhǔn)偏移頻率fe設(shè)置為fe=2fd，max=28 Hz。對于PC-FFT方法，在聯(lián)合求解前的假設(shè)檢驗階段，則是先從-28 Hz到28 Hz范圍內(nèi)，以7 Hz為間隔取出9個頻率分別對每幀的第1個OFDM符號進(jìn)行預(yù)解調(diào)。

4.2.2 仿真結(jié)果及分析

圖11和圖12分別展示了上述5種方法在NOF1信道和NCS1信道中的符號檢測MSE 隨多普勒因子α的變化曲線，其中信噪比是固定為SNR=10 dB，多普勒因子α是在10-4～10-3的范圍內(nèi)變化。首先可以看出，5種方法在NCS1信道中測試得到MSE結(jié)果基本都要高于在NOF1信道中測試結(jié)果，這與Watermark平臺所介紹的NCS1信道比NOF1信道更為惡劣的事實保持一致。此外，從圖11 和圖12 也可以看出，無論是NOF1 信道還是NCS1 信道，5 種方法的MSE隨α增長而增加的速度從高到低依次為Single-FFT、P-FFT、F-FFT、PS-FFT 和PC-FFT，即PC-FFT 由于顯示地估計了頻偏，對α增大的敏感度最低。

圖11 不同多普勒因子下5種方法的MSE性能（基于NOF1信道）Fig.11 MSE performance of five methods under different Doppler factors （based on the NOF1 channel）

圖12 不同多普勒因子下5種方法的MSE性能（基于NCS1信道）Fig.12 MSE performance of five methods under different Doppler factors （based on the NCS1 channel）

在圖11 和圖12 中，雖然當(dāng)α較小時，PC-FFT 的MSE 高于PS-FFT、F-FFT 和P-FFT 的MSE，但差距較小。隨著α的增大，PC-FFT 的性能開始逐漸趕上和超過PS-FFT等方法。當(dāng)α=10-3時，對于NOF1信道和NCS1 信道，P-FFT 和F-FFT 的MSE 都十分接近Single-FFT的MSE，其對應(yīng)的BER也非常接近50%的亂猜概率，即P-FFT和F-FFT此時在兩種信道中都幾乎完全無法工作。而兩種時頻協(xié)同的方法：PS-FFT和PC-FFT，此時都能維持較好的性能。進(jìn)一步地，當(dāng)α=10-3時，在NOF1 信道和NCS1 信道中，相比PSFFT，PC-FFT可分別將MSE降低49.29%和15.56%。

圖13 和圖14 則分別展示了上述5 種方法在NOF1 信道和NCS1 信道中的符號檢測MSE 和BER性能隨信噪比的變化曲線，其中多普勒因子固定為α=10-3，SNR 是設(shè)置在0～30 dB 的范圍內(nèi)變化。首先可以看出，對于P-FFT 和F-FFT，無論是在NOF1信道還是NCS1 信道中，其MSE 和BER 曲線和Single-FFT 的曲線一樣都幾乎不隨SNR 增加而下降，進(jìn)一步說明了當(dāng)α=10-3時，兩種單域方法在NOF1 和NCS1 信道中都幾乎完全無法工作，因此這里重點關(guān)注PC-FFT和PS-FFT方法。

圖13 不同信噪比下5種方法的MSE和BER性能（基于NOF1信道）Fig.13 MSE and BER performance of five methods under different SNRs （based on the NOF1 channel）

圖14 不同信噪比下5種方法的MSE和BER性能（基于NCS1信道）Fig.14 MSE and BER performance of five methods under different SNRs （based on the NCS1 channel）

從圖13 和圖14 中可以看出，PC-FFT 和PS-FFT由于在α=10-3時都具有較好的ICI抑制能力，二者的MSE 和BER 都在SNR 較小時，能隨著SNR 增大而降低。但當(dāng)SNR達(dá)到15 dB之后，2種方法的MSE和BER 幾乎沒有再隨SNR 增加而下降。造成這種現(xiàn)象的可能原因是在實際環(huán)境中采集信道數(shù)據(jù)時，不可避免地存在噪聲，即NOF1和NCS1信道數(shù)據(jù)中本身就存在噪聲，且對應(yīng)的SNR 大小約為15 dB。因此，在仿真測試時，如果設(shè)置的SNR 在15 dB 以下，其對應(yīng)的噪聲幅度要大于NOF1和NCS1本身所包含的噪聲的幅度，即仿真添加的噪聲占主導(dǎo)性因素，因此，此時增大SNR，能較為有效地改善系統(tǒng)的性能。而當(dāng)設(shè)置的SNR 大于15 dB 后，其對應(yīng)的噪聲幅度小于NOF1 和NCS1 本身所包含的噪聲的幅度，即仿真添加的噪聲不占主導(dǎo)性因素，因此，此時再增大SNR，對于系統(tǒng)性能的改善較小。

此外，在圖13 和圖14 中，對于兩種時頻協(xié)同的ICI 抑制方法，PC-FFT 方法的曲線要低于PS-FFT，即驗證了PC-FFT 在大多普勒因子下ICI 抑制能力的優(yōu)越性。具體而言，對于NOF1 信道和NCS1 信道，當(dāng)SNR 在0～30 dB 的范圍內(nèi)變化時，相比PSFFT 方法，PC-FFT 方法可分別將MSE 降低39.56%～50.86%和13.63%～15.97%，將BER 降低43.20%～57.50%和15.04%～17.12%。

5 結(jié)論

本文提出了一種稱之為PC-FFT 的ICI 抑制方法，其協(xié)同時域和頻域抑制ICI，以在大多普勒頻偏場景下提升差分OFDM 系統(tǒng)的檢測性能。具體而言，首先，在時域上將OFDM符號持續(xù)時間劃分為幾個非重疊的短區(qū)間，以減小信號時變性；然后，在頻域上對每一段短信號分別在一個待優(yōu)化的頻點上做補償；最后，線性加權(quán)各段補償短信號的傅里葉變換。為了求解權(quán)重和補償頻率，建立了以二者為變量，以最小化檢測均方誤差為目標(biāo)的優(yōu)化問題。鑒于該優(yōu)化問題的高度非凸性，為降低求解復(fù)雜度，設(shè)計了一種基于坐標(biāo)輪換下降的求解算法。進(jìn)一步地，在該求解算法中，權(quán)重和補償頻率分別使用特征值分解和梯度下降法求解，且二者依次交替求解直至收斂。基于仿真和實測水聲信道的測試結(jié)果均驗證了在大多普勒頻偏場景下，PC-FFT的性能顯著優(yōu)于現(xiàn)有的P-FFT、F-FFT和PS-FFT等方法。