“鱉臑”鬧課堂
——“鱉臑?zāi)Ｐ偷膽?yīng)用及探究”教學(xué)實(shí)錄

陳秋月 汪庭斌

(安徽省寧國(guó)中學(xué))

數(shù)學(xué)文化類(lèi)試題是近幾年高考試題中的熱點(diǎn)問(wèn)題,教師應(yīng)積極挖掘教材中的數(shù)學(xué)文化素材,巧妙融合數(shù)學(xué)知識(shí),融會(huì)數(shù)學(xué)思想方法,發(fā)揮數(shù)學(xué)文化的育人作用.本節(jié)課借助鱉臑?zāi)Ｐ偷膽?yīng)用與探究,為學(xué)生提供自由表達(dá)、質(zhì)疑、探究、討論問(wèn)題的機(jī)會(huì),讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化的魅力、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的快樂(lè),讓數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)在教學(xué)中全方位滲透.

1 高考題中的鱉臑

例1 (2015年湖北卷文20)?九章算術(shù)?中,將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱(chēng)之為陽(yáng)馬,將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱(chēng)之為鱉臑.如圖1所示,在陽(yáng)馬P-ABCD中,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,且PD＝CD,點(diǎn)E是PC的 中 點(diǎn),連 接DE,BD,BE.

圖1

(1)證明:DE⊥平面PBC,試判斷四面體EBCD是否為鱉臑,若是,寫(xiě)出其每個(gè)面的直角(只需寫(xiě)出結(jié)論);若不是,說(shuō)明理由;

(2)記陽(yáng)馬P-ABCD的體積為V1,四面體E-BCD的體積為的值.

設(shè)計(jì)意圖 柏拉圖說(shuō):“良好的開(kāi)端,是成功的一半.”在課堂情境的設(shè)置中,筆者以一道高考試題拋磚引玉,題中的“陽(yáng)馬”“鱉臑”引起學(xué)生的關(guān)注,充分調(diào)動(dòng)大家的學(xué)習(xí)興趣,為后面模型來(lái)源、應(yīng)用和探究的層層遞進(jìn),螺旋式上升做好鋪墊.

2 鱉臑的來(lái)源

鱉臑是我國(guó)古代數(shù)學(xué)中非常重要的模型,在多本著作里都有闡述.

?九章算術(shù)?中記載“斜解立方,得兩塹堵.斜解塹堵,其一為陽(yáng)馬,一為鱉臑.陽(yáng)馬居二,鱉臑居一,不易之率也.合兩鱉臑三而一,驗(yàn)之以棊,其形露矣.”東晉時(shí)期著名數(shù)學(xué)家劉徽說(shuō)到“此術(shù)臑者,背節(jié)也,或曰半陽(yáng)馬,其形有似鱉肘,故以名云.中破陽(yáng)馬,得兩鱉臑,鱉臑之起數(shù),數(shù)同而實(shí)據(jù)半,故云六而一即得.”

師生共同觀看視頻——鱉臑的生成過(guò)程.

設(shè)計(jì)意圖 用動(dòng)態(tài)的視頻生動(dòng)形象地演示出中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化中的塹堵、陽(yáng)馬、鱉臑的生成.塹堵、陽(yáng)馬、鱉臑實(shí)際上是中國(guó)古代對(duì)一些特殊幾何體的稱(chēng)呼,通過(guò)視頻的播放讓學(xué)生更直觀地感受到“陌生”的鱉臑實(shí)際上是我們?cè)偈煜げ贿^(guò)的立體幾何體.

3 鱉臑的定義

師:同學(xué)們,現(xiàn)在知道了塹堵、陽(yáng)馬和鱉臑的來(lái)源了,那么如何準(zhǔn)確地定義它們呢?

小組熱烈討論交流,給出了它們的定義.

生:塹堵是兩底面為直角三角形的三棱柱.

生:陽(yáng)馬是底面為長(zhǎng)方形,兩個(gè)三角面與底面垂直的四棱錐體.

生:鱉臑是四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐.

師:同學(xué)們描述得很準(zhǔn)確,它們實(shí)際上都是我們熟悉的幾何體(如圖2).

圖2

設(shè)計(jì)意圖 從動(dòng)態(tài)的視頻中提煉出塹堵、陽(yáng)馬、鱉臑的靜態(tài)圖形,以便學(xué)生更細(xì)致地觀察、認(rèn)識(shí)、探究,抓住它們的幾何特征,給出精準(zhǔn)的定義.

4 教材中的鱉臑

例2 (人教A 版數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第158頁(yè)例8)如圖3所示,AB是圓O的直徑,PA垂直于圓O所在的平面,C是圓周上不同于A,B的任意一點(diǎn),求證:平面PAC⊥平面PBC.

圖3

師:請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察一下三棱錐P-ABC,發(fā)現(xiàn)它有什么幾何特征嗎?

生:它的四個(gè)面都是直角三角形,它是鱉臑.

師:回答得非常好,三棱錐P-ABC就是鱉臑?zāi)Ｐ?

大家再觀察一下,鱉臑還有其他等價(jià)的定義嗎?

生:三棱錐中一側(cè)棱與底面垂直,底面為直角三角形.

師:精準(zhǔn)嗎?

生:側(cè)棱應(yīng)該垂直于底面銳角頂點(diǎn)處.

師:非常棒!

例3 (人教A 版數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第158 頁(yè)練習(xí)3)如圖4 所 示,AB⊥平 面BCD,BC⊥CD,你能發(fā)現(xiàn)哪些平面互相垂直,為什么?

圖4

三棱錐A-BCD也是鱉臑,更進(jìn)一步深化了對(duì)鱉臑?zāi)Ｐ偷恼J(rèn)識(shí).

設(shè)計(jì)意圖 挖掘教材中文化資源,以課本上的例題和練習(xí)題為載體,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,深化學(xué)生對(duì)鱉臑?zāi)Ｐ偷恼J(rèn)識(shí),體驗(yàn)數(shù)學(xué)文化,也為下一步學(xué)生自主探究做好鋪墊.

5 鱉臑的深度探究

追問(wèn)1:如何判斷一個(gè)三棱錐A-BCD是鱉臑?zāi)?

生:定義法,它是四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐.

師:很好,還有嗎?

生:AB,CD,BC兩兩垂直.

生:AB⊥平面BCD,且BC⊥CD.

生:AB⊥平面BCD,將BC⊥CD改成AC⊥CD也可以.

生:AB⊥平面BCD,且平面ABC⊥平面ACD.

師:同學(xué)們歸納總結(jié)得特別好、特別全面,這些都可以證明,若三棱錐A-BCD的四個(gè)面都是直角三角形,則它是鱉臑.

師:在鱉臑?zāi)Ｐ椭杏兄蠼饬Ⅲw幾何問(wèn)題的核心關(guān)系——垂直關(guān)系.

追問(wèn)2:在上述鱉臑幾何體的棱和面中,有哪幾組線(xiàn)線(xiàn)垂直、線(xiàn)面垂直、面面垂直呢?

生:線(xiàn)線(xiàn)垂直中相交垂直有四組:AB⊥BD,AC⊥CD,AB⊥BC,BC⊥CD;異面垂直的只有一組:AB⊥CD.

生:線(xiàn)面垂直有兩組:AB⊥平面BCD,CD⊥平面ABC.

生:面面垂直有三組:平面ABC⊥平面ACD,平面ABC⊥平面BCD,平面ABD⊥平面BCD.

師:同學(xué)們太棒了,大家總結(jié)的這些垂直關(guān)系都是鱉臑的豐富性質(zhì).

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)一連串的追問(wèn),引導(dǎo)學(xué)生借助鱉臑這一幾何體中豐富的(線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面)垂直關(guān)系,讓學(xué)生熟悉垂直關(guān)系下的定理和性質(zhì)的應(yīng)用,充分發(fā)揮課本習(xí)題的教育功能和教學(xué)價(jià)值.

6 鱉臑?zāi)Ｐ偷膽?yīng)用

師:同學(xué)們,2015年湖北卷文科試題就以鱉臑作為命題的背景(例1),引起了廣泛關(guān)注,當(dāng)年很多學(xué)生沒(méi)見(jiàn)過(guò)這兩個(gè)字,因此影響了答題的心情.今天我們已經(jīng)了解并掌握了鱉臑的定義和性質(zhì),我們應(yīng)該有信心解決這道高考題.

生:要證線(xiàn)面垂直,只需證線(xiàn)線(xiàn)垂直.因?yàn)镻D⊥底面ABCD,所以PD⊥BC,又底面ABCD是長(zhǎng)方形,得CD⊥BC,而PD∩CD＝D,所以BC⊥平面PCD.又DE?平面PCD,所以BC⊥DE.

因?yàn)辄c(diǎn)E是PC的中點(diǎn),且PD＝CD,所以DE⊥PC.而PC∩BC＝C,所以DE⊥平面PBC.

由DE⊥平面PBC,DE?平面PCD,可知四面體EBCD的四個(gè)面都是直角三角形,即四面體EBCD是鱉臑,其四個(gè)面的直角分別是∠BCE,∠BCD,∠DEB,∠DEC.

師:證明得非常嚴(yán)謹(jǐn)、規(guī)范,對(duì)陽(yáng)馬和鱉臑這兩個(gè)模型掌握得非常好,那第(2)問(wèn)誰(shuí)來(lái)挑戰(zhàn)一下?

設(shè)計(jì)意圖 這是一道與陽(yáng)馬、鱉臑?zāi)Ｐ陀嘘P(guān)的高考題,體現(xiàn)了新課程要重視數(shù)學(xué)文化這一重要基本理念.高考中對(duì)數(shù)學(xué)文化的考查要求,也顯示出數(shù)學(xué)文化在高考試題中獨(dú)特的地位.在問(wèn)題的探究中,學(xué)生更加熟習(xí)立體幾何體中的垂直關(guān)系、定理和性質(zhì)的應(yīng)用.

7 課后作業(yè)

1)回歸課本

人教A 版數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)中有許多相關(guān)問(wèn)題.

1.(第160頁(yè)例10)如圖5所示,已知PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC,求證:BC⊥平面PAB.

圖5

2.(第164 頁(yè)第20題)如圖6 所 示,AB是 圓O的直徑,點(diǎn)C是圓O上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)動(dòng)點(diǎn)C的直線(xiàn)VC垂直于圓O所在平面,D,E分別是VA,VC的中點(diǎn).判斷直線(xiàn)DE與平面VBC的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.

圖6

3.(第170頁(yè)第9題)如圖7所示,在三棱錐P-ABC中,PC⊥底面ABC,AB⊥BC,D,E分別是AB,PB的中點(diǎn)求證:

圖7

(1)DE//平面PAC;

(2)AB⊥PB.

4.(第171頁(yè) 第13題)如圖8 所示,在三棱錐P-ABC中,∠ACB＝90°,PA⊥底面ABC.

圖8

(1)求證:平面PAC⊥平面PBC;

(2)若AC＝BC＝PA,M是PB的中點(diǎn),求AM與平面PBC所成角的正切值.

2)課后拓展

如圖9所示,PA⊥圓O所在的平面,AB是圓O的直徑,C是圓周上一點(diǎn),其中AC＝3,PA＝4,BC＝5.

圖9

(1)求PB與平面PAC所成角的正弦值;

(2)求該幾何體的外接球的半徑;

(3)求該幾何體的內(nèi)切球的半徑.

設(shè)計(jì)意圖 這些題目都是鱉臑?zāi)Ｐ?相當(dāng)于設(shè)置了“微專(zhuān)題”,對(duì)所學(xué)的知識(shí)和應(yīng)用起到鞏固和強(qiáng)化的效果,同時(shí)又布置了課后拓展題,求鱉臑?zāi)Ｐ椭械木€(xiàn)面角及外接球和內(nèi)切球的半徑,這也是為鱉臑?zāi)Ｐ拖乱徊降难由焱卣固骄孔鲣亯|.

本節(jié)課中通過(guò)鱉臑?zāi)Ｐ偷膶?dǎo)引對(duì)高考題中的鱉臑、教材中的鱉臑進(jìn)行了探究,在探究的過(guò)程中,通過(guò)對(duì)鱉臑?zāi)Ｐ偷挠^察、發(fā)現(xiàn)、探索、實(shí)踐揭示了鱉臑?zāi)Ｐ偷谋举|(zhì).通過(guò)鱉臑?zāi)Ｐ瓦@一載體挖掘了立體幾何中線(xiàn)線(xiàn)垂直、線(xiàn)面垂直、面面垂直以及三種垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化,更加熟練地使用判定定理和性質(zhì),提升學(xué)生思維能力和解題能力.將數(shù)學(xué)文化融入課堂教學(xué)中,得到了學(xué)生的認(rèn)可,大大激發(fā)學(xué)生探究立體幾何的熱情,教師的教和學(xué)生的學(xué)融為一體,我們的課堂也因此更加精彩,創(chuàng)造真正高效、高質(zhì)量、靈動(dòng)的課堂.

(完)