一道強(qiáng)基計(jì)劃題目的錯(cuò)解分析及變式探究

劉選狀

(廣東省深圳市第二實(shí)驗(yàn)學(xué)校)

數(shù)學(xué)素養(yǎng)是人們通過(guò)數(shù)學(xué)教育以及自身的實(shí)踐認(rèn)識(shí)活動(dòng)所獲得的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、數(shù)學(xué)思想和方法,以及由此形成的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)和解決問(wèn)題能力的總和.教師應(yīng)以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)為目標(biāo),拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)視野,使其形成良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).教師不僅要教學(xué)生解決一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題,而且要引導(dǎo)學(xué)生解決與之相關(guān)的一系列問(wèn)題,這樣才能拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.與此同時(shí),學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中,難免會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤的方法,這就需要教師正確引導(dǎo),讓學(xué)生理解并且知道錯(cuò)誤的原因,提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.近年來(lái)各高校強(qiáng)基計(jì)劃的考試真題備受青睞.學(xué)生在解決2022年北京大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃的一道數(shù)學(xué)題時(shí),就出現(xiàn)了問(wèn)題,本文對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行詳細(xì)分析及變式探究.

1 原題呈現(xiàn)

題目 (2022年北京大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題19)已知△ABC三邊長(zhǎng)為等差數(shù)列,則cosA＋cosB＋cosC的取值范圍是________.

2 錯(cuò)解展示

部分學(xué)生是利用“主元法”求出其最大值,過(guò)程如下.

設(shè)f(A)＝cosA＋cosB－cos(A＋B)(A∈(0,π－B)),則

3 錯(cuò)解分析

學(xué)生把cosA＋cosB－cos(A＋B)看成是關(guān)于變量A的函數(shù),殊不知這就出現(xiàn)了問(wèn)題.

不妨設(shè)三邊長(zhǎng)a,b,c為等差數(shù)列,則a＋c＝2b.

由正弦定理可得sinA＋sinC＝2sinB,則

因此,有

由此可知方程②確定了一個(gè)B關(guān)于A的隱函數(shù),即A和B兩個(gè)角并不是獨(dú)立的,而是有關(guān)系的,對(duì)于變量A來(lái)說(shuō),B并不是常數(shù),而是與A有關(guān)的一個(gè)量.學(xué)生產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因是沒(méi)有深入分析A和B兩個(gè)變量的關(guān)系,從而導(dǎo)致解題過(guò)程的錯(cuò)誤.

4 正解賞析

不妨設(shè)三邊長(zhǎng)a,b,c為等差數(shù)列,則a＋c＝2b.

方法1 (正弦定理＋和差化積)由式①可得

對(duì)于多變量的三角函數(shù)可以利用正弦定理、和差化積公式將多變量函數(shù)化為單變量函數(shù),從而解決求取值范圍的問(wèn)題.

方法2 (余弦定理)由余弦定理可知

由于所求的是余弦值的和,同時(shí)給出三邊的關(guān)系,自然而然想到余弦定理,通過(guò)余弦定理把角轉(zhuǎn)化為邊,再利用邊的關(guān)系和雙勾函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題.

5 變式探究

由學(xué)生錯(cuò)誤解法出現(xiàn)的原因可知:如果沒(méi)有條件限制,就可以利用此方法解決該問(wèn)題的最大值.由此,我們進(jìn)一步思考以下變式問(wèn)題.

變式1 已知△ABC的內(nèi)角分別為A,B,C,求cosA＋cosB＋cosC的取值范圍.

除了上述方法外,還可以利用如下兩種方法求出其最大值.

方法1 因?yàn)锳＋B＋C＝π,則

方法2 一方面:由嵌入不等式x2＋y2＋z2≥2xycosA＋2yzcosB＋2zxcosC,令x＝y(tǒng)＝z＝1,可得

另一方面:

因?yàn)锳,B,C∈(0,π),所以0,因此,有

當(dāng)A→π,B→0,C→0時(shí),可得cosA＋cosB＋cosC→1,由連續(xù)性可得cosA＋cosB＋cosC的取值范圍是(1].

思考 如果把變式1中的一個(gè)余弦值換成正弦值,結(jié)果會(huì)是什么?

變式2 已知△ABC的內(nèi)角分別為A,B,C,求cosA＋cosB＋sinC的取值范圍.

一方面:因?yàn)锳,B,C∈(0,π),且A＋B＋C＝π,所以

另一方面:

1)當(dāng)△ABC為銳角三角形或直角三角形時(shí),有

2)當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí),若C為鈍角,則cosA＋cosB＋sinC＞0;若A或B為鈍角,不妨設(shè)A為鈍角,則A＋B＜π,即B＜π－A,所以cosA＋cosB＞0,因此,cosA＋cosB＋sinC＞0.當(dāng)A→π,B→0,C→0時(shí),cosA＋cosB＋sinC→0,由連續(xù)性可得cosA＋cosB＋sinC的取值范圍是

思考 如果把變式1中的兩個(gè)余弦值換成正弦值,結(jié)果會(huì)是什么?

變式3 已知△ABC的內(nèi)角分別為A,B,C,求cosA＋sinB＋sinC的取值范圍.

一方面:因?yàn)閏osA＜1,sinB≤1,sinC≤1,所以cosA＋sinB＋sinC＜3.

當(dāng)A→π,B→0,C→0時(shí),可得cosA＋sinB＋sinC→－1,由連續(xù)性可得cosA＋sinB＋sinC的取值范圍是(－1,3).

思考 如果把變式1中的三個(gè)余弦值都換成正弦值,結(jié)果會(huì)是什么?

變式4 已知△ABC的內(nèi)角分別為A,B,C,求sinA＋sinB＋sinC的取值范圍.

一方面:因?yàn)锳,B,C∈(0,π),所以根據(jù)y＝sinx在[0,π]上是凹函數(shù),利用琴生不等式,可得

另一方面:因?yàn)锳,B,C∈(0,π),所以sinA＋sinB＋sinC＞0.

當(dāng)A→π,B→0,C→0時(shí),可得sinA＋sinB＋sinC→0,由連續(xù)性可得sinA＋sinB＋sinC的取值范圍是

6 實(shí)戰(zhàn)應(yīng)用

近幾年競(jìng)賽、強(qiáng)基計(jì)劃等考試中頻繁出現(xiàn)與三角形有關(guān)的多變量的取值范圍問(wèn)題.

1.(2017年北京大學(xué)優(yōu)秀中學(xué)生暑期體驗(yàn)營(yíng)綜合測(cè)試3)已知△ABC的內(nèi)角分別為A,B,C,證明:cosA＋cosB＋cosC＞1.

2.(2022年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建賽區(qū)預(yù)賽8)已知α,β,γ∈(0,π),且α＋β＋2γ＝π,則cosα＋cosβ＋sin2γ的最大值為_(kāi)________.

容易知道:第1 題就是變式1 的一部分;在第2題中,如果我們將α,β,2γ看成是三角形的三個(gè)內(nèi)角,則此題就是變式2的一部分,易得最大值為,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取到最大值.

本文討論的問(wèn)題看似平常,實(shí)則富有深意.通過(guò)對(duì)題目進(jìn)行錯(cuò)解展示、正解賞析、變式探究、實(shí)戰(zhàn)應(yīng)用,讓學(xué)生了解了探究數(shù)學(xué)問(wèn)題的步驟,同時(shí),也開(kāi)闊了學(xué)生的思維視野,提升了思維品質(zhì),將相關(guān)知識(shí)融合在一起,有利于學(xué)生從整體上把握并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí),這也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本要求.

(完)