聯(lián)想公差(或公比)巧解數(shù)學問題

李居強 李 琪

(陜西省寶雞市教育教學研究室)

在高三復習過程中,經常會碰到一些較難的綜合問題,比如函數(shù)求值、證明條件不等式、求參數(shù)取值范圍、解無理方程等.有時已知條件與要解決目標之間的關系較為隱蔽,讓我們束手無策.若能轉變思路,另辟蹊徑,或許就能“柳暗花明”.本文介紹聯(lián)想公差(或公比)巧解難題,也就是若題目的已知條件中隱含著等差(或等比)數(shù)列的條件(比如兩數(shù)和(或積)為常數(shù)),直接解決該題比較困難時,就應及時聯(lián)想公差(或公比),從而改變問題的結構,使得解題過程簡捷、新穎.

聯(lián)想1 若x＋y＝k(常數(shù)),則成等差數(shù)列.

聯(lián)想2 若x?y＝k(k＞0且為常數(shù)),則x,k(或－k),y成等比數(shù)列.

若已知條件能構造以上形式,則用公差d(或公比q)就可以表示x,y,從而使問題迎刃而解,本文舉例說明.

1 解函數(shù)問題

在解函數(shù)求值問題時,若已知和(或積)為常數(shù),我們就可以按照前面的聯(lián)想,利用等差(或等比)數(shù)列解決問題.

2 證明不等式

在證明不等式時,有些已知條件針對所要證明的結論而言,切入點比較難找,學生往往在此處花費了大量的時間和精力,有時找到的方法還是一個“死胡同”.但若題目已知中有和(或積)為常數(shù)的條件,并能及時聯(lián)想到等差(或等比)數(shù)列,問題就簡單得多了.

例4 已知a,b∈R?,a＋b＝1.求證:

這道題也有很多解法,但大部分解法思路比較繁雜,學生不易掌握,而通過構造公差法可以降低難度.

由于a＋b＝1,設,其中d為公差,則

例5 已知a＋b＝2k(k為常數(shù)),求證:a4＋b4≥2k4.

證明 根據(jù)題設a＋b＝2k,可知a,k,b成等差數(shù)列.故令a＝k－d,b＝k＋d,其中d為公差,則

3 求取值范圍

對于有些求參數(shù)取值范圍的問題,如果條件中有和(或積)為常數(shù)的條件,那么及時構造公差(或公比)解題,往往會起到化難為易、化繁為簡的效果.

例6 已知a＞0,b＞0,且a＋b＝1,若a2＋b2≥k恒成立,求k的最大值.

此題可以用均值不等式解決,也可以通過數(shù)形結合利用幾何意義解決,但聯(lián)想到等差數(shù)列中的公差,可以降低思維難度.

4 解無理方程

解含兩個及以上根式的無理方程,過程一般比較煩瑣,但如果無理方程是根式之和(或之積)為常數(shù)的形式,可聯(lián)想等差數(shù)列(或等比數(shù)列)解題.

該無理方程涉及二次根式和三次根式,直接利用乘方的辦法特別繁冗,若把無理方程通過整體思想看成兩項和為1,聯(lián)想等差數(shù)列來解決,思維難度、計算難度都會明顯降低.

本文從三個方面說明了聯(lián)想公差(或公比)巧解數(shù)學問題可以降低問題難度,筆者認為,教會學生通過聯(lián)想解決數(shù)學問題的思維方式比解決這幾道題更值得反思總結.希望通過本文的啟發(fā),能拋磚引玉,拓寬學生聯(lián)想、轉化的數(shù)學思維方法.

鏈接練習

1.(2020年新高考Ⅰ卷11,多選題)已知a＞0,b＞0,且a＋b＝1,則( ).

2.(2017年北京卷文11)已知x≥0,y≥0,且x＋y＝1,則x2＋y2的取值范圍是_________.

3.(2019 年 天 津 卷13)設x＞0,y＞0,x＋2y＝4,則的最小值為_________.

4.已知,則sinθ－cosθ的值為_________.

5.解方程:x2＋8x＋21＋x2－8x＋21＝10.

鏈接練習參考答案

(完)