含絕對(duì)值不等式問題的處理策略初探

李 鼎

(甘肅省酒泉市瓜州縣第一中學(xué))

絕對(duì)值不等式是?不等式選講?中的重要內(nèi)容,與其有關(guān)的考題主要涉及解含絕對(duì)值的不等式、含絕對(duì)值的不等式恒成立、能成立問題以及絕對(duì)值不等式的證明等.解題的關(guān)鍵是“去絕對(duì)值”.常用的策略主要有利用絕對(duì)值的幾何意義、零點(diǎn)分段討論法、數(shù)形結(jié)合法、絕對(duì)值三角不等式等,下面就這些策略的應(yīng)用舉例分析.

1 利用絕對(duì)值的幾何意義

|a－b|表示數(shù)軸上的點(diǎn)a與點(diǎn)b之間的距離,|a＋b|表示數(shù)軸上的點(diǎn)a與點(diǎn)－b之間的距離,這就是絕對(duì)值的幾何意義.同理,|a|可視為數(shù)軸上的點(diǎn)a到原點(diǎn)的距離.

例1 不等式|x－1|＋|x＋2|≥5 的解集為_____.

|x－1|表示數(shù)軸上的點(diǎn)x到點(diǎn)1 的距離,|x＋2|表示數(shù)軸上的點(diǎn)x到點(diǎn)－2的距離.求不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集,即在數(shù)軸上尋找到點(diǎn)1,－2的距離之和大于或等于5的點(diǎn)的集合.

在如圖1所示的數(shù)軸上標(biāo)出點(diǎn)1,－2的位置,易知這兩個(gè)點(diǎn)之間的距離是3,我們先找出到這兩個(gè)點(diǎn)的距離之和等于5的點(diǎn),即－3和2.因此,不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集為(－∞,－3]∪[2,＋∞).

圖1

變式 不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6 的解集為_____.

2 利用零點(diǎn)分段討論法

在處理含絕對(duì)值的不等式時(shí),先求出每個(gè)絕對(duì)值均為零時(shí)變量的值,即零點(diǎn),根據(jù)零點(diǎn)將變量的取值范圍分成多個(gè)區(qū)間,在每個(gè)區(qū)間內(nèi)討論各絕對(duì)值的正負(fù)情況,去掉絕對(duì)值.

例2 不等式|3x＋1|－2|x－1|≥1 的解集為______.

3 利用數(shù)形結(jié)合法

與絕對(duì)值有關(guān)的不等式問題,往往可以通過構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)圖像之間的位置關(guān)系來判斷滿足不等式成立的條件.

例3 若關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式|x－1|＋|x－3|≤a2－2a－1的解集為空集,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________.

設(shè)函數(shù)f(x)＝|x－1|＋|x－3|,不等式|x－1|＋|x－3|≤a2－2a－1 的解集為空集,即函數(shù)f(x)的最小值大于a2－2a－1.

畫出函數(shù)f(x)的圖像,如圖3所示,其最小值為2,所以a2－2a－1＜2,解得－1＜a＜3,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－1,3).

圖3

圖4

變式 已知f(x)＝|x－2|,g(x)＝|2x＋3|－|2x－1|.若f(x＋a)≥g(x)恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.

4 利用絕對(duì)值三角不等式

絕對(duì)值三角不等式:|a|＋|b|≥|a＋b|,其中a,b為實(shí)數(shù),等號(hào)成立的條件是ab≥0.同理,|a|＋|b|≥|a－b|,等號(hào)成立的條件是ab≤0.

例4 設(shè)函數(shù)f(x)＝|x＋4|,若f(2x＋a)＋f(2x－a)≥4恒成立,則實(shí)數(shù)a的值為_________.

由已知得f(2x＋a)＋f(2x－a)＝|2x＋a＋4|＋|2x－a＋4|,利用絕對(duì)值三角不等式得|2x＋a＋4|＋|2x－a＋4|≥|(2x＋a＋4)－(2x－a＋4)|＝|2a|,故|2a|＝4,解得a＝±2.

針對(duì)某類含絕對(duì)值不等式的問題,有些方法可以通用,但有些方法簡(jiǎn)捷,有些方法煩瑣,同學(xué)們只有針對(duì)題目條件擇優(yōu)而用,才能快速、準(zhǔn)確解題.

(本文系甘肅省酒泉市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2022年酒泉市教育科研課題“基于高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下直觀想象能力的培養(yǎng)”的研究成果(課題編號(hào):JQ[2022]GHB228).)

(完)