關(guān)于“雙參”問題的處理策略

董雙雙

(廣東省東莞市東華高級(jí)中學(xué))

在平時(shí)學(xué)習(xí)中,參數(shù)最值問題是常常遇到的問題,也是學(xué)生最為頭疼的問題.參數(shù)問題常涉及分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸等思想,在新高考強(qiáng)調(diào)“能力立意,適度創(chuàng)新”的背景下,顯得尤為重要.若涉及兩個(gè)或多個(gè)參數(shù)的最值問題,則難度會(huì)直線上升.本文對(duì)“雙參”的最值問題進(jìn)行討論分析,供參考.

1 活用不等式求解

對(duì)于一些特殊的“雙參”求最值問題,我們可以借助基本不等式、柯西不等式、絕對(duì)值不等式以及不等式放縮法求解,方便快捷,問題迎刃而解.

2 化為線性規(guī)劃問題求解

例2 已知函數(shù)f(x)＝2x3＋3ax2＋12bx＋6c,且f(x)在(0,1)上有最大值,在(1,2)上有最小值,求的取值范圍.

由題意知f′(x)＝6x2＋6ax＋12b,由極值點(diǎn)存在的范圍可以得到

圖1

簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題就是求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解,即求最大值或最小值.無論此類題目以什么樣的形式出現(xiàn),其解題的步驟是不變的,即尋找線性約束條件和目標(biāo)函數(shù),作出可行域,在可行域中求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解.雖然高中數(shù)學(xué)新教材(人教A 版)和新高考大綱已經(jīng)刪掉此內(nèi)容,但是其思想方法卻十分重要,需要考生掌握.

3 尋找參數(shù)關(guān)系,化雙變量為單變量

對(duì)于題目中涉及雙變量的問題,我們可以通過題目中的已知條件,將兩個(gè)變量的和、差、積、商作為一個(gè)新整體設(shè)為新變量,構(gòu)建一個(gè)關(guān)于新變量的函數(shù),再研究新函數(shù)的性質(zhì)從而解決問題,這樣可以把復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化.

由題意知f(x)的定義域?yàn)?0,＋∞),不妨設(shè)x1＜x2,由已知得f(x1)＝0,f(x2)＝0,即

兩式相減得

本題中有兩個(gè)變量x1,x2和一個(gè)未知參數(shù)a,分類討論比較麻煩.我們可以根據(jù)題意用x1,x2表示a,將三元化為二元.再將a代入需要求解的不等式,通過整理化簡(jiǎn),令,化二元為一元,最后構(gòu)造函數(shù)求解.消元和化元其實(shí)就是一個(gè)化繁為簡(jiǎn)的過程,體現(xiàn)了“將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化”的思想.除此之外,對(duì)于多元問題,我們也可以嘗試通過消元構(gòu)造函數(shù)或通過三角換元將多元化為一元.

4 雙參分離,分而治之

(1)當(dāng)a＞0時(shí),判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

(2)若對(duì)任意的正數(shù)a,存在x∈[1,2],使f(x)＜a2＋2ma＋1成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,＋∞),則因?yàn)閍＞0,所以ax＋1＋a＞0.當(dāng)0＜x＜1 時(shí),f′(x)＜0,當(dāng)x＞1時(shí),f′(x)＞0,故函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,＋∞)上單調(diào)遞增.

(2)對(duì)任意的正數(shù)a,存在x∈[1,2],使f(x)＜a2＋2ma＋1成立,等價(jià)于fmin(x)＜a2＋2ma＋1成立.由(1)知,當(dāng)a＞0時(shí),函數(shù)f(x)在[1,2]上單調(diào)遞增,所以fmin(x)＝f(1)＝1＋2a,則對(duì)任意a＞0,1＋2a＜a2＋2ma＋1,即a2＋(2m－2)a＞0恒成立,所以a＞2－2m恒成立,則2－2m≤0,解得m≥1.

綜上,實(shí)數(shù)m的取值范圍是[1,＋∞).

恒成立與存在性問題歸根到底都是最值問題,對(duì)于這類問題,我們可以先將兩個(gè)參數(shù)分離,分別構(gòu)造兩個(gè)不同的函數(shù),然后轉(zhuǎn)化為比較兩個(gè)函數(shù)的最大值或最小值問題.雙參分離,分而治之,分開突破,這是解決雙變量問題一種重要的途徑.常見的推論總結(jié)如下:

1)若對(duì)任意的x1∈D,任意x2∈E,f(x1)≥g(x2)恒成立,則fmin(x)≥gmax(x);

2)若對(duì)任意的x1∈D,存在x2∈E,f(x1)≥g(x2)恒成立,則fmin(x)≥gmin(x);

3)若存在x1∈D,任意x2∈E,f(x1)≥g(x2)恒成立,則fmax(x)≥gmax(x);

4)若存在x1∈D,存在x2∈E,f(x1)≥g(x2)恒成立,則fmax(x)≥gmin(x).

5 構(gòu)造“同構(gòu)函數(shù)”,整體消參

例5 (2021年新高考Ⅰ卷22)已知函數(shù)f(x)＝x(1－lnx).

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)設(shè)a,b為兩個(gè)不相等的正數(shù),且blnaalnb＝a－b,證明

(1)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,＋∞)上單調(diào)遞減(求解過程略).

不妨設(shè)m＜n,由(1)可得0＜m＜1,1＜n＜e,先證m＋n＞2.易知

令g(x)＝f(x)－f(2－x)(x∈(0,1)),則

所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,所以g(x)＜g(1)＝0,即m＋n＞2.

再證m＋n＜e.因?yàn)閙(1－lnm)＝n(1－lnn)＞m,所以只需證n(1－lnn)＋n＜e,即令h(x)＝x(1－lnx)＋x(x∈(1,e)),則h′(x)＝1－lnx＞0,故h(x)在(1,e)上單調(diào)遞增,所以h(x)＜h(e)＝e,故h(n)＜e,即m＋n＜e.

這種題型的一般形式是一個(gè)式子中含有兩個(gè)變量,適當(dāng)變形后,兩邊的結(jié)構(gòu)相同,可以通過取左或取右構(gòu)造函數(shù),我們把這種題型稱為同構(gòu)函數(shù)題型.同構(gòu)函數(shù)在近兩年的高考題中出現(xiàn)較多,一般難度較大、綜合性強(qiáng),學(xué)生拿分較難,需要引起大家的重視.

6 巧用“變更主元法”

對(duì)于含有二元或多元的式子,我們可以考慮選擇其中一個(gè)參數(shù)視為主元,其他參數(shù)視為常數(shù),從而構(gòu)造關(guān)于主元的函數(shù),進(jìn)而求解,這樣可以降低問題難度.

例6 已知函數(shù)f(x)＝lnx－mx＋m(m∈R).

(1)若f(x)≤0在x∈(0,＋∞)上恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

(2)在(1)的條件下,對(duì)任意的0＜a＜b,求證:

顯然,在第(2)問中,方法1的技巧性較強(qiáng),令b＝ta這一步不易想到,而變更主元法則顯得常規(guī)自然,且過程簡(jiǎn)潔.變更主元法樸素自然,起點(diǎn)低、操作性強(qiáng),容易被學(xué)生理解和接受,且更具有一般性.

近年來“雙參”問題在高考試題中反復(fù)出現(xiàn),相關(guān)題型變化多樣,方法靈活,考生要想輕松拿下這類問題,還需要在平時(shí)的訓(xùn)練中多注意總結(jié)和歸納,根據(jù)具體的問題選擇合適的方法,做到舉一反三,才能在高考中取得好成績(jī).

(完)