利用導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用解決參數(shù)的取值范圍問題

黃珍珍

(江西省贛州市信豐縣第一中學(xué))

不等式恒成立背景下的參數(shù)的取值范圍問題,常以壓軸題的形式出現(xiàn)在高考試卷中,此類問題的處理方法一般是直接構(gòu)造函數(shù)或參變量分離,但是學(xué)生的解題得分率往往不高.究其原因,一方面,有的題目如果直接構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo),導(dǎo)函數(shù)中會存在ex或xlnx等超越式,給問題的解決帶來困難;另一方面,使用參變量分離后的導(dǎo)函數(shù)過于復(fù)雜,不好處理,或者會遇到的極限問題,而在高考數(shù)學(xué)中直接使用洛必達(dá)法則具有扣分風(fēng)險(xiǎn).其實(shí),處理不等式恒成立背景下的參數(shù)取值范圍問題方法較多,本文歸類總結(jié)一些常見的技巧和方法.

1 放縮法

大多數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用問題以一些常見的放縮作為背景來創(chuàng)設(shè),求解的關(guān)鍵是熟練掌握并利用一些常見的重要不等式進(jìn)行合理放縮與變形,如x－1≥lnx,當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí),等號成立;ex≥x＋1,當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí),等號成立;ex≥ex,當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí),等號成立.

例1 若對任意m,n∈R,關(guān)于x的不等式mn≤(x－m)2＋ex－n－a恒成立,則實(shí)數(shù)a的最大值為_____.

由不等式m－n≤(x－m)2＋ex－n－a恒成立,分離參數(shù)可得不等式a≤(x－m)2－m＋ex－n＋n恒成立.

結(jié)合二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、重要不等式結(jié)論,可得

解題時(shí)根據(jù)題設(shè)條件合理分離參數(shù),綜合利用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、重要不等式等相關(guān)知識對目標(biāo)式子放縮處理,進(jìn)而確定相關(guān)參數(shù)的取值范圍問題.抓住二次式與指數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征,合理聯(lián)想相應(yīng)的二次函數(shù)的性質(zhì)以及重要不等式的放縮是處理問題的關(guān)鍵所在.

2 先消后求法

在利用導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用解題時(shí),不是看到相應(yīng)的函數(shù)就直接求導(dǎo),常常需要先對函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行合理變形,消去參數(shù)后再對只含變量x的式子求導(dǎo),或是對函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行因式分解等,這樣處理后將大大減化數(shù)學(xué)運(yùn)算過程,降低解題難度.

例2 已知函數(shù)f(x)＝(x2－x)ex.

(1)求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;

(2)若不等式f(x)＞ax對任意實(shí)數(shù)x＞0恒成立,求a的取值范圍.

(1)y＝ex－e(求解過程略).

(2)不等式f(x)＞ax對任意實(shí)數(shù)x＞0 恒成立,即(x2－x)ex＞ax對任意實(shí)數(shù)x＞0恒成立,等價(jià)于不等式a＜(x－1)ex對任意實(shí)數(shù)x＞0恒成立.

令函數(shù)g(x)＝(x－1)ex(x＞0),則g′(x)＝xex＞0,故函數(shù)g(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞增,所以gmin(x)＞g(0)＝－1,則a≤－1,故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞,－1].

在解決一些含參不等式恒成立問題時(shí),常常需要合理地變形與轉(zhuǎn)化.對不等式進(jìn)行恒等變形與轉(zhuǎn)化,有利于后續(xù)構(gòu)建函數(shù),從而用函數(shù)的性質(zhì)解題.

3 端點(diǎn)效應(yīng)法

在解決不等式恒成立背景下的參數(shù)取值范圍問題時(shí),利用函數(shù)取端點(diǎn)時(shí)的特殊值可以縮小參數(shù)的取值范圍,即若不等式f(x)≥0在[a,＋∞)上恒成立,且f(a)＝0或f′(a)＝0,則f′(a)≥0.解題時(shí),我們可以先寫出使不等式無法恒成立的反面條件,這樣能夠排除參數(shù)的不合理范圍,但要注意的是縮小后的參數(shù)的取值范圍需要進(jìn)一步分析與討論.

例3 若關(guān)于x的不等式xlnx－alnx≤axa2(a∈R)對 于 任 意 實(shí) 數(shù)x∈[1,e]恒 成 立,則a＝_____.

依題意,對于任意實(shí)數(shù)x∈[1,e],對應(yīng)不等式xlnx－alnx≤ax－a2(a∈R)恒成立,則當(dāng)x＝1 時(shí),原不等式即為0≤a－a2,解得0≤a≤1.

當(dāng)x＝e時(shí),原不等式即為e－a≤ae－a2,變形整理有(a－1)(a－e)≤0,解得1≤a≤e.

綜上,a＝1.

在解決一些含參不等式恒成立問題時(shí),可以借助一般到特殊的數(shù)學(xué)思想,若不等式在某確定的區(qū)間上恒成立,則該區(qū)間上的某些特殊點(diǎn)(這里包括端點(diǎn))也滿足該不等式,這就是端點(diǎn)效應(yīng)法的本質(zhì).

4 必要性探路法

在解決不等式恒成立背景下的參數(shù)取值范圍問題時(shí),經(jīng)常借助“必要性探路”,即先確定含參不等式恒成立時(shí)參數(shù)的取值范圍,進(jìn)而結(jié)合邏輯推理進(jìn)行分析.特別地,在解答一些小題(選擇題或填空題)中經(jīng)常采用這種方法,當(dāng)然這種方法也適用于解答題,但要注意解答與證明過程的嚴(yán)謹(jǐn)性.

(1)若a＝2,求f(x)的極值;

(2)若f(x)≥2a(1＋lna)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

(1)函數(shù)f(x)在x＝1處取得極小值1,無極大值(求解過程略).

(2)由于f(x)≥2a(1＋lna),則有

在解決此類問題時(shí),往往可以考慮利用必要性探路法尋覓出對應(yīng)參數(shù)的取值范圍,這樣可以節(jié)約時(shí)間.在利用必要性探路法處理問題時(shí),經(jīng)常借助一些不等式的結(jié)論來進(jìn)行放縮處理.

利用導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用求解不等式恒成立背景下的參數(shù)取值范圍問題,有時(shí)可以借助以上技巧方法中的某一個(gè)來分析與處理,有時(shí)需綜合采用多種方法.在解題過程中,學(xué)生需要具體問題具體分析,靈活選擇合適的方法,從而提高自身數(shù)學(xué)思維能力,充分讓邏輯推理這一數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在心中生根發(fā)芽.

鏈接練習(xí)

1.若對于任意的x1,x2∈[1,e],均有則m的取值范圍是_________.

2.已知x≥y≥0,且x＋y＋x－y≤a(x＋y),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________.

3.對于任意的x∈[1,＋∞),若關(guān)于x的不等式(a∈R)恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.

鏈接練習(xí)參考答案

1.[1,＋∞).2.[2,＋∞).3.[1,＋∞).

(完)