證明不等式之構(gòu)造法研究

王 慧

(甘肅省天水市麥積區(qū)天成學(xué)校)

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式是高考?？碱}型,這類(lèi)問(wèn)題通?？衫煤瘮?shù)的單調(diào)性來(lái)解決,因此構(gòu)造函數(shù)是解決這類(lèi)問(wèn)題的核心.那么,在利用導(dǎo)數(shù)證明不等式有哪幾種常用的構(gòu)造函數(shù)方法呢? 本文結(jié)合實(shí)例加以研究,供大家學(xué)習(xí).

1 移項(xiàng)作差

移項(xiàng)作差法是證明不等式常用的方法,將含x的項(xiàng)或所有項(xiàng)均挪至不等號(hào)的一側(cè),然后利用該側(cè)的解析式構(gòu)造函數(shù),通過(guò)分析函數(shù)的單調(diào)性求解.其優(yōu)點(diǎn)在于目的明確、構(gòu)造方法簡(jiǎn)單,但需注意若構(gòu)造的函數(shù)較復(fù)雜,則難以分析其單調(diào)性.

例1 已知f(x)＝ax－bsinx－ex(a,b∈R).

(1)當(dāng)b＝0時(shí),討論f(x)的單調(diào)性;

(1)當(dāng)a≤0 時(shí),f(x)在R 上單調(diào)遞減;當(dāng)a＞0時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞,lna),單調(diào)遞減區(qū)間為(lna,＋∞)(求解過(guò)程略).

所以h(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞增,又h(0)＝0,所以對(duì)任意x∈(0,＋∞),h(x)＞0恒成立,因此,當(dāng)a＝b＝1時(shí),對(duì)任意x∈(0,＋∞),恒有f(x)＜g(x).

將證明f(x)＜g(x)(x＞0)等價(jià)轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)h(x)＝g(x)－f(x)(x≥0)為增函數(shù),且其最小值為h(0)＝0,這是作差法構(gòu)造函數(shù)證明不等式的基本思路.

2 及時(shí)換元

若待證不等式含有兩個(gè)變量,則可以通過(guò)換元將二元變換成一元,這樣減少了變量個(gè)數(shù),使之變成我們熟悉的、容易解決的問(wèn)題.因此換元后構(gòu)造函數(shù)經(jīng)常用于求解雙變量不等式問(wèn)題.

(1)討論f(x)在(0,＋∞)上的單調(diào)性;

(2)若a＞0時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根x1,x2,求證:x1x2＞e2－x1－x2.

(1)當(dāng)a≤0時(shí),f(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞減;當(dāng)a≥1時(shí),f(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞增;當(dāng)0＜a＜1時(shí),f(x)在(0,－lna)上單調(diào)遞減,在(－lna,＋∞)上單調(diào)遞增(求解過(guò)程略).

令t＝xex(x＞0),則t′＝(x＋1)ex＞0,所以函數(shù)t＝xex在(0,＋∞)上單調(diào)遞增.

則

不妨設(shè)t1＞t2＞0,即證

3 發(fā)掘同構(gòu)關(guān)系

有的待證不等式比較復(fù)雜,但在分析、化簡(jiǎn)、變形的基礎(chǔ)上,再經(jīng)過(guò)換元處理,往往可以找到同構(gòu)關(guān)系,然后通過(guò)構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)單調(diào)性求解.

例3 已知f(x)＝a(ex－1－x)－lnx＋x－1(a≥0).

(1)求證:f(x)存在唯一零點(diǎn);

(2)設(shè)g(x)＝aex－1＋x－1,若存在x1,x2∈(1,＋∞),使得g(x2)＝g(x1)－f(x1),求證:

(1)由題意得

記F(x)＝f′(x),則

因?yàn)閍≥0時(shí),F′(x)＞0恒成立,所以F(x)＝f′(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞增.

因?yàn)閒′(1)＝0,所以f′(x)在(0,1)上恒小于0,在(1,＋∞)上恒大于0,所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,＋∞)上單調(diào)遞增.

因?yàn)閒(1)＝0,所以f(x)有唯一零點(diǎn)x＝1.

(2)由g(x2)＝g(x1)－f(x1),得lnx1＋ax1＝aex2－1＋x2－1.記m(x)＝aex＋x,則m(x2－1)＝m(lnx1),因?yàn)閙(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞增,所以x2－1＝lnx1,則

令φ(x)＝h′(x),則

因?yàn)棣铡?x)＞0在(0,＋∞)上恒成立,所以h′(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞增,注意到h′(1)＝0,所以h′(x)＜0的解集為(0,1),h′(x)＞0的解集為(1,＋∞),則h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,＋∞)上單調(diào)遞增,故h(x)≥h(1)＝0.

又因?yàn)閤1＞1,所以成立.

利用導(dǎo)函數(shù)求解參數(shù)的取值范圍,當(dāng)函數(shù)中同時(shí)出現(xiàn)ex與lnx,通常需要利用同構(gòu)來(lái)進(jìn)行求解.本題難點(diǎn)是將g(x2)＝g(x1)－f(x1)變形為lnx1＋ax1＝aex2－1＋x2－1,從 而 構(gòu) 造m(x)＝aex＋x,得到x2－1＝lnx1,實(shí)現(xiàn)將雙變量變成單變量,進(jìn)而利用單變量函數(shù)的性質(zhì)使問(wèn)題獲解.

從以上三個(gè)例題可以看出,利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題,實(shí)際上是考查了函數(shù)單調(diào)性的靈活應(yīng)用,函數(shù)如何而來(lái)? 必須深入研究題意與結(jié)構(gòu).因此求解這類(lèi)問(wèn)題時(shí)我們應(yīng)該把關(guān)鍵點(diǎn)放在如何構(gòu)造函數(shù)上,因?yàn)闃?gòu)造出合理恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù),已經(jīng)是成功的一半了.

(完)