利用不等式求解最值問題的解法探究

田素偉

(上海市泥城中學(xué))

求代數(shù)式的最值問題是高中數(shù)學(xué)中一類非常重要的問題,這類問題通常以不等式、三角函數(shù)、數(shù)列、向量為載體,考查不等式性質(zhì)的應(yīng)用,很多問題還涉及均值不等式.如果選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?把比較復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的較為簡單的問題,會起到事半功倍的效果,下面通過具體例題說明利用不等式求解最值問題的解法探究.

1 均值不等式的說明及舉例

均值不等式(基本不等式):兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)大于或等于它們的幾何平均數(shù),即對于任意的正數(shù)a,b,有,當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時,等號成立.

應(yīng)用均值不等式求解最值的條件有三個.

1)a,b是正數(shù);

2)a＋b或ab是定值;

3)存在滿足條件的a,b使a＝b成立.

這三個條件同時滿足才能使用均值不等式,三個條件缺一不可,即“一正、二定、三相等”.

例1 已知a＞0,b＞0滿足a＋b＝1,則的最小值是_________.

這是一道非常熟悉的題目,利用乘1法即可求解,但是對于比較復(fù)雜的題目,如何以例1為模型,通過變換使之轉(zhuǎn)化為形如例1這樣熟悉的題目呢? 這是我們需要探究的問題.

2 已知條件是含整式的等式,求分式二元變量的最值問題

方法1 已知x＞0,y＞0,設(shè)m＝x＋1,n＝2y＋2,則

即m＋n＝5,所以

故原題可化為:已知m＞1,n＞2滿足m＋n＝5,求的最小值.又

經(jīng)過換元把原題轉(zhuǎn)化為:已知正數(shù)m＞1,n＞2,m＋n＝5,求的最小值這樣比較熟悉的題目了,使題目簡化,使解題過程簡單明了.需要注意觀察已知條件等式和所求的代數(shù)式中變量的系數(shù)再進行換元.

方法2 由x＋2y＝2,可知

方法2 是利用權(quán)方和不等式求解,簡單明了,填空題或選擇題可以直接應(yīng)用權(quán)方和不等式求解,權(quán)方和不等式作為柯西不等式的分式形式,在求二元變量的最值時有非常廣泛的應(yīng)用.權(quán)方和不等式:設(shè)a＞0,b＞0,x＞0,y＞0,則,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立.利用權(quán)方和不等式求解最值的一般步驟如下.

第一步:先看分式的分母之和是不是定值,分子之和是不是定值,若不是定值,能否通過變形后使之變成定值;

第二步:使用權(quán)方和不等式變形,使分子的指數(shù)比分母大1即可;

第三步:檢驗等號成立的條件.

3 已知條件是含分式的等式,求整式二元變量的最值問題

方法2利用權(quán)方和不等式求解,簡單明了,能起到事半功倍的效果.下面的各個題目均可利用權(quán)方和不等式求解.

4 均值不等式在求函數(shù)最小值時的應(yīng)用

本題變形后用換元法把比較復(fù)雜的不等式轉(zhuǎn)化為熟悉的形式,再利用均值不等式求解,簡潔明了.

5 與三角函數(shù)有關(guān)的問題求最值

6 直接利用均值不等式求最值

通過觀察已知條件,發(fā)現(xiàn)9x2＋y2＋xy＝1中含有9x2＋y2,且結(jié)論中含有代數(shù)式3x＋y,因此也可以利用完全平方公式求解,即9x2＋y2＋6xy＝(3x＋y)2,再利用均值不等式求解.

7 構(gòu)造向量求最值

鏈接練習(xí)

鏈接練習(xí)參考答案

(完)