例析二次函數(shù)零點(diǎn)分布問題及求解策略

冀文娟

(廣東省珠海市實(shí)驗(yàn)中學(xué))

二次函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要函數(shù)之一,以二次函數(shù)為背景的零點(diǎn)問題一直是高考考查的重點(diǎn).這類問題主要考查學(xué)生函數(shù)與方程思想、分類討論思想以及數(shù)形結(jié)合思想等,對(duì)學(xué)生的思維能力要求較高.本文通過對(duì)具體例題的剖析,引導(dǎo)學(xué)生找到解決零點(diǎn)問題的突破口,歸納其中蘊(yùn)含的規(guī)律,為快速解決此類問題奠定基礎(chǔ).

1 基礎(chǔ)知識(shí)

1.1 零點(diǎn)存在定理

如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有f(a)?f(b)＜0,那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn),即存在c∈(a,b),使得f(c)＝0,這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的根.

1.2 f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)的零點(diǎn)分布類型

設(shè)x1,x2為實(shí)系數(shù)方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的兩個(gè)根,則f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)的零點(diǎn)分布及充要條件如表1所示.

續(xù)表

表1

從表1 可以看出,涉及二次函數(shù)的零點(diǎn)分布問題,一般情況下可以從以下四個(gè)方面分析思考并確定限制條件:

1)二次函數(shù)的開口方向;

2)二次函數(shù)對(duì)應(yīng)的一元二次方程的判別式;

3)二次函數(shù)的對(duì)稱軸與零點(diǎn)分布區(qū)間端點(diǎn)間的大小關(guān)系;

4)區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值的正負(fù)情況.

具體還要結(jié)合題目條件進(jìn)行合理選擇.

2 應(yīng)用舉例

2.1 已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍

例1 設(shè)a為實(shí)數(shù),若方程x2－2ax＋a＝0在(－1,1)上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則a的取值范圍是( ).

A.(－∞,0)∪(1,＋∞)

B.(－1,0)

令g(x)＝x2－2ax＋a,由方程x2－2ax＋a＝0在(－1,1)上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解得

例2 (多選題)已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b(a＞0)有且只有一個(gè)零點(diǎn),則( ).

A.a2－b2≤4

C.若不等式x2＋ax－b＜0的解集為(x1,x2),則x1x2＞0

D.若不等式x2＋ax＋b＜c的解集為(x1,x2),且|x1－x2|＝4,則c＝4

則函數(shù)g(x)＝f(x)－ax恰有兩個(gè)零點(diǎn),從而

解得4＜a＜8,則a的取值范圍是(4,8).

方法2 作出函數(shù)f(x)的示意圖,如圖1所示,直線l1是過原點(diǎn)且與拋物線y＝－x2＋2ax－2a相切的直線,l2是過原點(diǎn)且與拋物線y＝x2＋2ax＋a相切的直線.結(jié)合圖像及a＞0,可知當(dāng)直線y＝ax在直線l1與l2之間(不含l1,l2)變動(dòng)時(shí),符合題意.由,得x2－ax＋2a＝0,由Δ＝a2－8a＝0,解得a＝0(舍)或8;由得x2＋ax＋a＝0,由Δ＝a2－4a＝0,解得a＝0(舍)或4,從而4＜a＜8,則a的取值范圍是(4,8).

圖1

例4 已知函數(shù)f(x)＝|x2＋3x|(x∈R).若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_________.

方法1 由f(x)－a|x－1| ＝0,得|x2＋3x|＝a|x－1|,由題意易知a＞0,y＝a|x－1|的圖像過定點(diǎn)A(1,0),作出函數(shù)f(x)＝|x2＋3x|的圖像,如圖2所示.

圖2

圖3

當(dāng)y＝－a(x－1)與y＝－x2－3x相切時(shí),由得x2＋(3－a)x＋a＝0,由Δ＝(3－a)2－4a＝0,解得a＝9(舍)或1,此時(shí)f(x)－a|x－1|＝0恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

當(dāng)直線y＝a(x－1)與函數(shù)y＝x2＋3x相切時(shí),

例5 已知a是實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)＝2ax2＋2x－3－a,若函數(shù)y＝f(x)在[－1,1]上有零點(diǎn),求a的取值范圍.

方法1 函數(shù)y＝f(x)在[－1,1]上有零點(diǎn),即方程2ax2＋2x－3－a＝0在[－1,1]上有解.當(dāng)a＝0時(shí),方程2x－3＝0在[－1,1]上無解,不符合題意,所以a≠0.

當(dāng)f(－1)f(1)＝0時(shí),(a－5)(a－1)＝0,解得a＝5或1,符合題意.當(dāng)f(－1)f(1)≠0時(shí),若2ax2＋2x－3－a＝0 在(－1,1)上有一個(gè)解,則f(－1)?f(1)＜0,即(a－5)(a－1)＜0,解得1＜a＜5;若2ax2＋2x－3－a＝0在(－1,1)上有兩個(gè)解,則

解得a＞5或

綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1,＋∞).

方法2 當(dāng)a＝0時(shí),方程2x－3＝0在[－1,1]上無解,不符合題意,所以a≠0.函數(shù)y＝f(x)在[－1,1]上有零點(diǎn),即方程2ax2＋2x－3－a＝0 在[－1,1]上有解,也即方程在[－1,1]上有解.令

解得a＞5或

綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1,＋∞).

方法3 當(dāng)a＝0時(shí),方程2x－3＝0在[－1,1]上無解,不符合題意,所以a≠0.

二次函數(shù)的零點(diǎn)問題呈現(xiàn)方式多樣,但萬變不離其宗,只要結(jié)合題目條件,充分利用三個(gè)“二次”間的關(guān)系,直接利用結(jié)論求解,或通過分類討論、數(shù)形結(jié)合、分離參數(shù)等方法將復(fù)雜問題條理化、簡(jiǎn)單化、直觀化,便可順利解決此類問題.

2.2 與二次函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問題

例6 已知函數(shù)f(x)＝x2＋(a－1)x－a(a∈R).若函數(shù)g(x)＝f(f(x))有且僅有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________.

由題意得f(x)＝(x－1)(x＋a),令t＝f(x),則g(x)＝f(t).由f(t)＝0,得t＝1或－a,即f(x)＝1或－a.由題意知方程f(x)＝1與f(x)＝－a共有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.由f(x)＝1,得x2＋(a－1)x－(a＋1)＝0,則Δ＝(a－1)2＋4(a＋1)＝(a－1)2＋4＞0,即方程f(x)＝1有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根.由f(x)＝－a,得x2＋(a－1)x＝0,解得x＝0或1－a,故方程x2＋(a－1)x－(a＋1)＝0的兩個(gè)根也只能是x＝0或1－a,從而－(a＋1)＝0,解得a＝－1,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a＝－1}.

易知－x2－4x－3＝－(x＋2)2＋1(x≤0),作出函數(shù)f(x)的圖像,如圖4 所示.設(shè)t＝f(x),y＝t2＋mt＋1＝g(t),從 而 函 數(shù)y＝[f(x)]2＋mf(x)＋1 有六個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)g(t)在[－3,1)上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則

圖4

圖5

圖6

求解有關(guān)復(fù)合函數(shù)問題的關(guān)鍵是要弄清復(fù)合關(guān)系,先對(duì)內(nèi)函數(shù)、外函數(shù)的特征分別進(jìn)行研究,各個(gè)擊破,再根據(jù)題意整體考慮,找出滿足題設(shè)要求的情形,最后利用相關(guān)知識(shí)與方法求解.

2.3 借助參數(shù)范圍求解與參數(shù)有關(guān)的代數(shù)式范圍

例8 若函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋n在(－1,1)上有兩個(gè)零點(diǎn),則n2－m2＋2n＋1 的取值范圍是( ).

A.(0,1) B.(1,2)

C.(0,4) D.(1,4)

令y＝f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)為x1,x2,則x1,x2∈(－1,1),x1≠x2,且

由n2－m2＋2n＋1＝(1＋m＋n)(1－m＋n),得

從上述幾道例題的求解過程不難看出:求解二次函數(shù)零點(diǎn)問題是有章可循的,無論題目怎樣變化,都要熟練掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì),充分挖掘題設(shè)信息,靈活選擇適當(dāng)?shù)慕忸}方法,就能使問題獲解.

教師作為學(xué)生學(xué)習(xí)的引路人,在課堂教學(xué)中應(yīng)不斷地培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生分析思考問題的能力,探究并發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律,觸類旁通,找到解決一類題目的通法,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng),為學(xué)生終身學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

鏈接練習(xí)

1.方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的一根在區(qū)間(2,3),另一根在區(qū)間(3,4)內(nèi),則m的取值范圍是( ).

2.已知函數(shù)f(x)＝x2－2|x|－m的零點(diǎn)有兩個(gè),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( ).

A.(－1,0) B.(－1)∪(0,＋∞)

C.[－1,0)∪(0,＋∞) D.(0,1)

4.(多選題)已知函數(shù)f(x)＝|x2＋3x＋1|－a?|x|(a∈R),則下列結(jié)論正確的是( ).

A.若f(x)沒有零點(diǎn),則a∈(－∞,0)

B.若f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn),則a∈(1,5)

C.若f(x)恰有3個(gè)零點(diǎn),則a＝1或a＝5

D.若f(x)恰有4個(gè)零點(diǎn),則a∈(5,＋∞)

5.已知函數(shù)f(x)＝x2＋(a－1)x－a(a∈R).若函數(shù)g(x)＝f(f(x))有且僅有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值集合是________.

6.若函數(shù)f(x)＝m?|3x－1|2－4?|3x－1|＋1(m＞0)在R上有四個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_________.

鏈接練習(xí)參考答案

1.C.2.B.3.B.4.AC.5.{－1}.6.(3,4).

(本文系2023年度珠海市規(guī)劃課題“核心素養(yǎng)下通性通法在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的有效生成——以‘函數(shù)專題’為例”(課題編號(hào):2023ZHGHKT155)的階段性研究成果.)

(完)