從函數(shù)觀點看平面向量的數(shù)量積

劉長根 邱 暢

(中國人民大學(xué)附屬中學(xué)朝陽學(xué)校)

與平面向量數(shù)量積有關(guān)的取值范圍問題,是代數(shù)運算與幾何分析的有機融合,是歷年高考數(shù)學(xué)試卷中的重點題型,尤其是涉及動點的數(shù)量積的范圍與最值問題,解決起來比較棘手.為突破這一難點,筆者對幾道高考試題進行分析,通過構(gòu)建函數(shù)模型,利用單變量(或雙變量)的一次函數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)、分式函數(shù)等函數(shù)性質(zhì),從數(shù)與形兩個角度抽象出問題的本質(zhì)屬性,深度挖掘問題所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法和本質(zhì),建立相關(guān)知識的聯(lián)系,形成問題解決的知識體系,探求解決向量數(shù)量積的基本方法.

1 利用二次函數(shù)解決向量數(shù)量積問題

例1 (2018年天津卷理8)如圖1所示,在平面四邊形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD＝120°,AB＝AD＝1,若點E為邊CD上的動點,則的最小值為( ).

圖1

解法1 如圖2所示,連接BD,結(jié)合題設(shè)可知△ABD為等腰三角形,而AB⊥BC,AD⊥CD,所以△BCD為等邊三角形,且BD＝3.不妨設(shè)

圖2

則

對于以一般圖形(如平行四邊形、梯形)為載體的向量數(shù)量積問題,需要認真分析題目條件,慎重選擇解決問題的路徑.本題根據(jù)題設(shè)條件選擇合適的基底,并利用基底將向量數(shù)量積表示出來,D,E,C三點始終共線,通過設(shè),將向量數(shù)量積問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)問題,進而用二次函數(shù)的性質(zhì)求得最小值.

分析2__建立平面直角坐標系,求出相關(guān)點坐標,用坐標表示

,根據(jù)向量數(shù)量積的坐標表示,結(jié)合二次函數(shù)知識即可求得答案.

解法2 由于AB⊥BC,AD⊥CD,如圖3 所示,以D為坐標原點,DA,DC所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系,連接AC.由于AB＝AD＝1,則△ADC≌△ABC,而∠BAD＝120°,故∠CAD＝∠CAB＝60°,所 以

圖3

段DC上靠近點D的四等分點處,故選A.

對于平行四邊形的數(shù)量積問題,需要認真分析題目條件,慎重選擇解決問題的路徑,改變圖形的位置,抓住題目中的垂直關(guān)系,建立合適的平面直角坐標系,從而將涉及的點與向量轉(zhuǎn)化為坐標,將數(shù)量積轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的二次函數(shù),進而用二次函數(shù)的性質(zhì)求得最小值.

2 利用三角函數(shù)解決數(shù)量積問題

例2 (2022年北京卷10)在△ABC中,AC＝3,BC＝4,∠C＝90°.P為△ABC所在平面內(nèi)的動點,且PC＝1,則的取值范圍為( ).

A.[－5,3] B.[－3,5]

C.[－6,4] D.[－4,6]

解 以點C為坐標原點,CA,CB所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系,如圖4所示,則C(0,0),A(3,0),B(0,4).因為PC＝1,所以點P在以C為圓心、1為半徑的圓上運動,設(shè)P(cosθ,sinθ)(θ∈[0,2π]),則

圖4

圖5

所以

向量數(shù)量積問題經(jīng)常通過建系設(shè)點解決,解題的關(guān)鍵是能夠建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?將涉及的點與向量轉(zhuǎn)化為坐標,進而利用坐標運算將數(shù)量積取值范圍問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的取值范圍問題.

3 利用基底解決數(shù)量積問題

例3 已知Rt△ABC的斜邊AB＝4,設(shè)P在以點C為圓心、1為半徑的圓上,則PA→?PB→的取值范圍是________.

分析 與例1不同的是本題僅知道AB的長度,點A,B不再是固定不動的,如果建立平面直角坐標系解決會面臨A,B兩點難以用坐標表示的問題,此時可以考慮如何轉(zhuǎn)化會比較簡單,分析可得C為直角,斜邊AB上的中線長是定值2,借助已知條件用和表示出,從而將之轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的取值范圍.

于是有

平面向量基本定理是向量模塊的核心,所以在解決向量數(shù)量積問題時,選擇合適的基底表示目標量,將變動的向量都用基底表示出來,達到減少變動向量個數(shù)的效果.

4 利用一般單變量函數(shù)解決數(shù)量積問題

分析 由題設(shè)易知DA⊥AB,所以可以建立平面直角坐標系,用參數(shù)λ表示P,Q兩點的坐標,將向量數(shù)量積的取值范圍問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的取值范圍.

解 在梯形ABCD中,BC＝2,∠BCD＝120°,過點C作CE⊥AB,在Rt△CDE中,易知DE＝2,CE＝3.因為CD＝1,AB//CD,所以四邊形AECD為矩形,即DA⊥AB.

以點A為坐標原點,AB,AD所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標系,如圖6所示,則B(2,0),C(1,3),D(0,3).

圖6

圖7

若題目涉及眾多變量且變量之間存在數(shù)量關(guān)系,則可通過建立平面直角坐標系解決問題,盡管化簡出來的函數(shù)表達式是多種多樣的,但只要抓住問題的本質(zhì),仍舊可以解決問題.

5 利用二元函數(shù)解決數(shù)量積問題

分析 題目已經(jīng)明確了兩個基底,并且第一空要求用兩個基底表示出其中一個向量,第二空可以直接利用第一空的結(jié)論,用基底表示出另一個向量,從而將原問題轉(zhuǎn)化為基底的數(shù)量積運算,最后通過函數(shù)的性質(zhì),解決最值問題.

雖然本題以常規(guī)三角形為載體,但仔細分析會發(fā)現(xiàn),三角形僅有一邊和該邊的對角確定,需在變動的三角形中求數(shù)量積的最值.盡管如此,但只要抓住向量數(shù)量積的本質(zhì),利用基底表示目標量,然后通過向量數(shù)量積的定義將原問題轉(zhuǎn)換為函數(shù)最值問題,仍可利用代數(shù)法求解.

解法1 以點A為坐標原點,AB,AD所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系,如圖8 所示,則A(0,0),B(1,0),C(1,2).

圖8

數(shù)學(xué)問題存在著多種解法,通過對比,我們發(fā)現(xiàn)無論是通過基底表示將數(shù)量積表示函數(shù),還是通過建立平面直角坐標系轉(zhuǎn)化,都是幾何問題代數(shù)化,而在轉(zhuǎn)化的過程中總是希望盡可能地減少變量的個數(shù),這樣有利于問題的解決.

與平面向量的數(shù)量積有關(guān)的取值范圍問題,變幻多樣,載體遍布三角形、矩形、梯形、圓等幾何圖形,但是究其本質(zhì),主要將幾何問題代數(shù)化后,將原問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的取值范圍問題.如何才能進行合理的代數(shù)化呢? 需要大家認真分析題目中的條件,尤其要關(guān)注變量的個數(shù),以尋求將題目中的量用最少的參數(shù)來表示,從而達到簡化解題過程的目的.只要抓住問題的本質(zhì),通過利用基底、模長、向量的坐標表示等方法合理地將平面向量代數(shù)化,將向量數(shù)量積問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,構(gòu)建函數(shù)模型,進而利用函數(shù)的性質(zhì)解決問題.

(完)