三次方程根的問題之變式探究

趙壽鋒

(河北省滄州市第一中學(xué))

導(dǎo)數(shù)作為高考的必考內(nèi)容,主要考查函數(shù)、方程、不等式等問題的綜合應(yīng)用,諸如方程的根和函數(shù)零點(diǎn)問題等.利用導(dǎo)數(shù)及數(shù)形結(jié)合思想可以很好地解決方程根的問題.本文以變式探究的形式介紹利用導(dǎo)數(shù)法討論方程根的問題,供大家參考.

題目 三次方程x3－6x2＋9x－10＝0的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為_________.

令f(x)＝x3－6x2＋9x－10,則f′(x)＝3x2－12x＋9,所以f′(x)＝3(x－1)(x－3).當(dāng)x＜1 或x＞3時(shí),f′(x)＞0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)1＜x＜3時(shí),f′(x)＜0,f(x)單調(diào)遞減.于 是f極大值(x)＝f(1)＝－6＜0,所以f(x)的極大值小于零,其圖像如圖1所示,則f(x)的圖像與x軸僅相交于一點(diǎn),故三次方程實(shí)根的個(gè)數(shù)為1.

圖1

本題的解法為在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)探求一元高次方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)提供了一種行之有效并容易實(shí)施的方法,即先用導(dǎo)數(shù)法求出方程所對(duì)應(yīng)的函數(shù)的極大值和極小值,如果不存在極大值與極小值,那么該方程僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根;反之,可根據(jù)極大值與極小值的符號(hào)對(duì)根的分布進(jìn)行判斷,這種解法也體現(xiàn)了函數(shù)與方程的關(guān)系.

變式1 設(shè)a∈R,試探討關(guān)于x的三次方程x3－3x2－a＝0的不同實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù).

先把方程變形為

令f(x)＝x3－3x2,則f′(x)＝3x(x－2),所以通過列表(如表1)來討論該三次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值情況.

表1

因此f(x)的極大值為f(0)＝0,極小值為f(2)＝－4,函 數(shù)y＝f(x)的大致圖像如圖2所示,由于方程①的不同實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)就是函數(shù)f(x)的圖像和直線y＝a的交點(diǎn)的個(gè)數(shù),所以根據(jù)圖像有下列結(jié)論:

圖2

當(dāng)a＜－4或a＞0時(shí),原方程有1個(gè)根;當(dāng)a＝－4或a＝0時(shí),原方程有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根;當(dāng)－4＜a＜0時(shí),原方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.

(1)染色體編碼 本文采用ARMAX模型，參數(shù)部分為實(shí)數(shù)，因此需要對(duì)量子個(gè)體進(jìn)行編碼，根據(jù)參數(shù)的個(gè)數(shù)決定每個(gè)個(gè)體的染色體長度。量子位表示為

本變式與引例的不同之處是含有參數(shù)a,通過參變分離法,把原方程的根的個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)三次函數(shù)圖像與一條平行于x軸的動(dòng)直線的交點(diǎn)問題,體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的完美結(jié)合.

變式2 已知函數(shù)f(x)＝x4－4x3＋4x2－1,問是否存在實(shí)數(shù)b,使得函數(shù)g(x)＝x4＋bx2＋1(其中b＜4)的圖像與函數(shù)f(x)的圖像恰有3個(gè)交點(diǎn),若存在,求出b的取值范圍;若不存在,說明理由.

函數(shù)g(x)與f(x)的圖像恰有3個(gè)交點(diǎn),就是方程g(x)＝f(x)有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,即x4＋bx2＋1＝x4－4x3＋4x2－1有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,即三次方程4x3＋(b－4)x2＋2＝0有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.令h(x)＝4x3＋(b－4)x2＋2,則h′(x)＝12x2＋2(b－4)x.

本變式的解答過程給我們揭示了一元三次方程的實(shí)根個(gè)數(shù)的判別方法,具體如下.

設(shè)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d,則f′(x)＝3ax2＋2bx＋c,若a＞0,則Δ＝4(b2－3ac).如圖3-甲所示,當(dāng)Δ≤0時(shí),f(x)在R 上單調(diào)遞增,所以f(x)只有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)Δ＞0時(shí),方程f′(x)＝0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根x1,x2(x1＜x2),那么f(x)在x1處取到極大值,在x2處取到極小值.當(dāng)f(x2)＝0(如圖3-乙)或f(x1)＝0(如圖3-丙)時(shí),f(x)＝0有3個(gè)根,其中2 個(gè)是重根;當(dāng)同時(shí)出現(xiàn)f(x1)＞0 和f(x2)＜0的情形(如圖3-丁)時(shí),f(x)＝0必有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.

圖3

變式3 已知三次函數(shù)f(x)＝x3－x.

(1)設(shè)M(λ0,f(λ0))是該函數(shù)圖像上的一點(diǎn),試求該點(diǎn)處的切線方程;

(2)證明:過點(diǎn)N(2,1)存在3 條直線與曲線f(x)＝x3－x相切.

(1)由f(x)＝x3－x,得f′(x)＝3x2－1,設(shè)過點(diǎn)M(λ0,f(λ0))的切線方程為y－(λ30－λ0)＝(3λ20－1)(x－λ0),即

(2)由(1)可知曲線上點(diǎn)M(λ0,f(λ0))處的切線方程為y＝(3λ20－1)x－2λ30.若切線過點(diǎn)N(2,1),則存在λ,使1＝2(3λ2－1)－2λ3,即2λ3－6λ2＋3＝0,于是原問題等價(jià)于方程2λ3－6λ2＋3＝0有3個(gè)相異的實(shí)數(shù)根.

設(shè)g(λ)＝2λ3－6λ2＋3,則g′(λ)＝6λ2－12λ＝6λ(λ－2).令6λ(λ－2)＝0,可得極值點(diǎn)為λ1＝0,λ2＝2,函數(shù)g(λ)的單調(diào)區(qū)間與極值分布如表2所示.

表2

由表2可知g(λ)在R上僅有1個(gè)極大值與極小值,且極大值為3,極小值為－5,所以函數(shù)g(λ)有3個(gè)零點(diǎn),即方程2λ3－6λ2＋3＝0有3個(gè)相異的實(shí)數(shù)根,即過點(diǎn)N(2,1)存在3條直線與曲線f(x)＝x3－x相切.

本變式的第(2)問是函數(shù)切線條數(shù)問題,求解時(shí)是將之轉(zhuǎn)化為三次方程根的解的個(gè)數(shù)問題來處理的,由此可見構(gòu)造新函數(shù),用導(dǎo)數(shù)的觀點(diǎn)來研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),是一種基本的方法.

變式4 已知函數(shù)f(x)＝x3＋3bx2－2b3在(－∞,0)上單調(diào)遞增,在(0,2)上單調(diào)遞減,如果方程f(x)＝16恰好僅有1個(gè)解,試求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(－∞,0)上單調(diào)遞增,在(0,2)上是單調(diào)遞減,又由f′(x)＝3x2＋6bx＞0,可得x∈(－∞,0)∪(－2b,＋∞),b＜0.由f′(x)＝3x2＋6bx＜0,可得x∈(0,－2b),于是由題意有(0,2)?(0,－2b),所以2≤－2b,即b≤－1.

又f(x)在(－∞,0)和(－2b,＋∞)上是增函數(shù),在(0,－2b)上是減函數(shù),其圖像大致如圖4 所示,所以函數(shù)f(x)在[0,－2b]上的值域是[f(－2b),f(0)]＝[2b3,－2b3],從圖像可以看出,若方程f(x)＝16恰好僅有1個(gè)解,則只需－2b3＜16,即b＞－2.

圖4

綜上,實(shí)數(shù)b的取值范圍(－2,－1].

本變式具有較強(qiáng)的綜合性,且具有一定難度,體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)的逆向應(yīng)用,但基本方法沒變,還是利用導(dǎo)數(shù),從研究函數(shù)的圖像入手.

從以上分析可以看出,三次方程根的問題通?？梢赞D(zhuǎn)化為三次函數(shù)的零點(diǎn)問題,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖像的變化趨勢(shì),從而使問題迎刃而解.

(完)