追根溯源 把握本質(zhì)
——再探函數(shù)的對稱性與周期性

龐 敏 肖 睿 陳維杰

(1.四川省成都市新都香城中學(xué) 2.中國科學(xué)院大學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)2101班3.成都市新都區(qū)教育科學(xué)研究院)

函數(shù)的對稱性與周期性是函數(shù)的重要性質(zhì),兩者間的相互聯(lián)系歷來是高考的熱點,近幾年高考試題中出現(xiàn)了不少靈活性、創(chuàng)新性、綜合性、區(qū)分性極強的小題,對學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力要求較高,眾多學(xué)生會感到思路不清,難以入手.本文從它們的定義出發(fā),探究函數(shù)對稱性與周期性之間的內(nèi)在聯(lián)系,以期達(dá)到追根溯源、融會貫通的效果.

1 試題呈現(xiàn)

題目 (2021年全國甲卷理12)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R,f(x＋1)為奇函數(shù),f(x＋2)為偶函數(shù),當(dāng)x∈[1,2]時,f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6,則

因為f(x＋1)為奇函數(shù),所以f(1)＝0,且

因為f(x＋2)偶函數(shù),所以

由①②可得f(x＋2)＝f((x＋1)＋1)＝－f(－(x＋1)＋1)＝－f(－x),即

因為f(－x＋2)＝f(x＋2)＝－f(－x),所以f(－x＋2)＝－f(－x).令t＝－x,則f(t＋2)＝－f(t),即f(t＋4)＝f((t＋2)＋2)＝－f(t＋2)＝f(t),所以函數(shù)f(x)是以4為周期的函數(shù).

當(dāng)x∈[1,2]時,f(x)＝ax2＋b,則

由f(0)＋f(3)＝(－4a－b)＋(a＋b)＝6,解得a＝－2,b＝2,所以當(dāng)x∈[1,2]時,f(x)＝－2x2＋2 在一個周期內(nèi)的大致圖像如圖1所示,所以

圖1

由式③可得

故選D.

本題主要涉及函數(shù)的解析式、對稱性與周期性,重點考查了轉(zhuǎn)化思想與運算能力,對學(xué)生的綜合能力要求較高.

2 函數(shù)對稱性、周期性的定義

對稱性 函數(shù)的對稱包括點對稱和線對稱,函數(shù)y＝f(x)的圖像關(guān)于點A(a,b)對稱的充要條件是f(x)＋f(2a－x)＝2b(或f(a＋x)＋f(a－x)＝2b,f(－x)＋f(2a＋x)＝2b,如圖2),特別地,當(dāng)函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于原點對稱時,有f(x)＋f(－x)＝0,即f(x)是奇函數(shù).y＝f(x)的圖像關(guān)于直線x＝a對稱的充要條件是f(a＋x)＝f(a－x)(或f(x)＝f(2a－x),f(－x)＝f(2a＋x),如圖3),特別地,當(dāng)函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱時,有f(x)＝f(－x),即f(x)是偶函數(shù).

圖2

圖3

例1 (人教A 版必修一第85頁第13題)我們知道函數(shù)y＝f(x)的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)y＝f(x)為奇函數(shù),有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為函數(shù)y＝f(x)的圖像關(guān)于點P(a,b)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)y＝f(x＋a)－b為奇函數(shù).

(1)求函數(shù)f(x)＝x3－3x2圖像的對稱中心;

(2)類比上述推廣結(jié)論,寫出“函數(shù)y＝f(x)的圖像關(guān)于y軸成對稱圖形的充要條件是函數(shù)y＝f(x)為偶函數(shù)”的一個推廣結(jié)論.

函數(shù)y＝f(x＋a)－b為奇函數(shù)?f(x＋a)－b＝－[f(－x＋a)－b]?f(a＋x)＋f(a－x)＝2b?函數(shù)y＝f(x)的圖像關(guān)于P(a,b)成中心對稱.

(2)函數(shù)f(x)圖像關(guān)于直線x＝a對稱的充要條件是y＝f(x＋a)為偶函數(shù).

周期性 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D,若存在非零常數(shù)T,使得對每一個x∈D,都有f(x＋T)＝f(x),則函數(shù)f(x)為周期函數(shù),T為f(x)的一個周期(如圖4).

圖4

設(shè)a為非零常數(shù),若對于f(x)定義域內(nèi)的任意取值滿足下列條件之一,則函數(shù)f(x)是周期函數(shù),2a是它的一個周期.

3 探究與拓展

探究1 若函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(a,c)成中心對稱,關(guān)于直線x＝b(a≠b)成軸對稱,則f(x)是以T＝4(a－b)為周期的函數(shù).

令t′＝t－2a＋2b,得

再將式②中的t′替換成t有

由①③可得f(t＋2a－2b)＝f(t－(2a－2b)),所以f(t＋4a－4b)＝f(t),則f(x)是以T＝4(a－b)為周期的函數(shù).

拓展1 設(shè)a,b∈R(a≠b),則將三個論斷“①函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x＝a對稱;②函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(b,0)成中心對稱;③函數(shù)f(x)是以4(a－b)為周期的函數(shù)”中任意兩個為條件,余下的一個為結(jié)論,得到的三個命題中只有①②?③是真命題.

①②?③,由已知條件有f(x)＝f(2ax),f(x)＝－f(2b－x),所以f(2a－x)＝－f(2b－x),令t＝2b－x,有

即f(x＋4a－4b)＝f(x),所以T＝4(a－b)是函數(shù)f(x)的一個周期.

②③?①不一定成立,如函數(shù)y＝tanx有對稱中心和周期,沒有對稱軸(如圖5).

圖5

①③?②也不一定成立,如函數(shù)y＝|tanx|,有對稱軸和周期,沒有對稱中心(如圖6).

圖6

拓展2 設(shè)a,b∈R(a≠b),則將三個論斷“①函數(shù)f(x)是奇函數(shù);②函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x＝b對稱;③函數(shù)f(x)是以4b為周期的函數(shù)”中任意兩個為條件,余下的一個為結(jié)論,得到的三個命題中只有①②?③是真命題.

拓展3 設(shè)a,b∈R (a≠b),則將三個論斷“①函數(shù)f(x)是偶函數(shù);②函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(b,0)成中心對稱;③函數(shù)f(x)是以4b為周期的函數(shù)”中任意兩個作為條件,余下的一個為結(jié)論,得到的三個命題中只有①②?③是真命題.

例2 (2021年全國甲卷文12)設(shè)f(x)是定義域為R 的奇函數(shù),且f(1＋x)＝f(－x),若則f()＝( ).

例3 (2021年新高考Ⅱ卷8)已知函數(shù)f(x)的定義域為R,f(x＋2)為偶函數(shù),f(2x＋1)為奇函數(shù),則( ).

C.f(2)＝0 D.f(4)＝0

因為函數(shù)f(x＋2)為偶函數(shù),所以

又函數(shù)f(2x＋1)為奇函數(shù),則

即f(1－x)＝－f(x＋1),故f(x＋3)＝－f(x＋1),得f(x)＝f(x＋4),所以f(x)是以4為周期的函數(shù).因為函數(shù)F(x)＝f(2x＋1)為奇函數(shù),則F(0)＝f(1)＝0,由①可知

所以f(－1)＝0,其他三個選項未知,故選B.

探究2 若函數(shù)f(x)的圖像分別關(guān)于點(a,c)和點(b,c)(a≠b)成中心對稱,則f(x)是以T＝2(a－b)為周期的函數(shù).

令t＝2a－x,則2b－x＝t－2a＋2b,所以f(t)＝f(t＋2b－2a),即f(x)＝f(x＋2b－2a),所以f(x)是以T＝2(b－a)為周期的函數(shù).

拓展4 設(shè)a,b∈R(a≠b),則將三個論斷“①函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(a,0)成中心對稱;②函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(b,0)成中心對稱;③函數(shù)f(x)是以2(b－a)為周期的函數(shù)”中任意兩個為條件,余下的一個為結(jié)論,得到的三個命題都是真命題.

①②?③由探究2知成立.

下證②③?①成立,因為函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(b,0)成中心對稱,所以f(2b－x)＋f(x)＝0,而f(x)是以2(b－a)為周期的函數(shù),故f(x)＝f(x－(2b－2a)),則f(x－(2b－2a))＋f(2b－x)＝0,令2b－x＝t,則2b－t＝x,所以f(2a－t)＋f(t)＝0,即f(2a－x)＋f(x)＝0,故函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(a,0)成中心對稱.

同理可證得①③?②也成立.

拓展5 設(shè)a,b∈R(a≠b),則將三個論斷“①函數(shù)f(x)是奇函數(shù);②函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(b,0)成中心對稱;③函數(shù)f(x)是以2b為周期的函數(shù)”中任意兩個為條件,余下的一個為結(jié)論,得到的三個命題都是真命題.

例4 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R,若f(x＋1)與f(x－1)都是奇函數(shù),則( ).

A.f(x)是偶函數(shù)

B.f(x)是奇函數(shù)

C.f(x)＝f(x＋2)

D.f(x＋3)是奇函數(shù)

由探究2 知,函數(shù)f(x)的周期T＝4,f(x＋3)＝f(x＋3－4)＝f(x－1),而f(x－1)是奇函數(shù),所以f(x＋3)是奇函數(shù),故選D.

探究3 若函數(shù)f(x)的圖像分別關(guān)于直線x＝a和直線x＝b(a≠b)成軸對稱,則f(x)是以T＝2(a－b)為周期的函數(shù).

根據(jù)題設(shè)條件可得

所以f(2a－x)＝f(2b－x),令t＝2a－x,則2bx＝t＋2b－2a,所以f(t)＝f(t＋2b－2a),故f(x)是以T＝2(b－a)為周期的函數(shù).

拓展6 設(shè)a,b∈R 且a≠b,則將三個論斷“①函數(shù)f(x)是偶函數(shù);②函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x＝b對稱;③函數(shù)f(x)是以2b為周期的函數(shù)”中任意兩個為條件,余下的一個為結(jié)論,得到的三個命題都是真命題.

①②?③由探究3知成立.

下證①③?②成立,由已知有

故函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x＝b對稱.

同理可證②③?①也成立.

例5 (2022年全國乙卷理12)已知函數(shù)f(x),g(x)的定義域均為R,且f(x)＋g(2－x)＝5,g(x)－f(x－4)＝7.若y＝g(x)的圖像關(guān)于直線x＝2對稱,g(2)＝4,則( ).

A.－21 B.－22 C.－23 D.－24

因為y＝g(x)的圖像關(guān)于直線x＝2對稱,所以g(2－x)＝g(2＋x).因為f(x)＋g(2－x)＝5,所以f(－x)＋g(2＋x)＝5,故f(－x)＝f(x),則f(x)是偶函數(shù).又g(2)＝4,所以f(0)＋g(2)＝5,得f(0)＝1.由g(x)－f(x－4)＝7,可得g(2－x)＝f(－x－2)＋7,代入f(x)＋g(2－x)＝5,得f(x)＋f(－x－2)＝－2,所以f(x)關(guān)于點(－1,－1)成中心對稱,所以

由f(x)＋f(－x－2)＝－2,f(－x)＝f(x),得

用x＋2替換x得

由①②可得f(x＋2)＝f(x－2),所以f(x)的周期為4,故f(0)＝f(4)＝1.由f(0)＋f(2)＝－2,得f(2)＝－3,又f(3)＝f(－1)＝f(1)＝－1,則

故選D.

函數(shù)的對稱性和周期性是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點,有著廣泛的應(yīng)用.解決與函數(shù)有關(guān)的問題時,應(yīng)認(rèn)真審題,挖掘題目中的隱含條件,結(jié)合圖像及函數(shù)的性質(zhì),抓住問題本質(zhì),方能使問題得到有效解答.

(完)