函數(shù)奇偶性,解題妙應(yīng)用

江蘇省海安高級(jí)中學(xué) 許 陳

函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的基本性質(zhì)之一,反映了函數(shù)圖象的對(duì)稱性特征,同時(shí)兼?zhèn)浜瘮?shù)自身中“數(shù)”與“形”的雙重性質(zhì),是研究數(shù)學(xué)的一個(gè)基本工具,也是歷年高考數(shù)學(xué)試卷中比較常見(jiàn)的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn).同時(shí),函數(shù)的奇偶性又可以很好地交匯與融合函數(shù)的基本知識(shí),以及數(shù)學(xué)中的其他基本知識(shí)點(diǎn),是充分體現(xiàn)高考“在交匯知識(shí)點(diǎn)處命題”指導(dǎo)思想的重要平臺(tái),倍受各方關(guān)注.

1 結(jié)合奇偶性確定函數(shù)值

直接利用函數(shù)的奇偶性求解函數(shù)值及其相關(guān)應(yīng)用是比較常見(jiàn)的一類問(wèn)題,難度比較小,關(guān)鍵是合理應(yīng)用函數(shù)奇偶性加以分析、轉(zhuǎn)化與處理.

例1已知函數(shù)y=f(x)是R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),滿足f(x)=x2-2x-1,則f(-3)的值是______.

分析：結(jié)合奇函數(shù)的定義,合理構(gòu)建關(guān)系式f(-x)=-f(x),取特殊值代入得到f(-3)=-f(3),即可求解.

解析：由于函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù),則利用函數(shù)的奇偶性的定義,可知

f(-3)=-f(3)=-(32-2×3-1)=-2.

故填答案:-2.

點(diǎn)評(píng)：以上問(wèn)題還可以先由f(3)=32-2×3-1=2,再結(jié)合函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù),可得f(-3)=-f(3)=-2.正確把握函數(shù)的奇偶性,以及對(duì)應(yīng)的自變量與函數(shù)值之間的關(guān)系,是分析與解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵所在.

2 結(jié)合奇偶性確定函數(shù)解析式

直接利用函數(shù)奇偶性的定義,得到所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式之間的關(guān)系f(-x)=-f(x),或f(-x)=f(x),前者是奇函數(shù)的基本性質(zhì),后者是偶函數(shù)的基本性質(zhì),進(jìn)而通過(guò)已知函數(shù)解析式的變形與轉(zhuǎn)化,可以很好地確定一些相關(guān)函數(shù)的解析式問(wèn)題.

例2已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x|x-2|,求當(dāng)x<0時(shí),函數(shù)f(x)的解析式.

分析：結(jié)合奇函數(shù)的定義,得到關(guān)系式f(-x)=-f(x),通過(guò)已知解析式的合理轉(zhuǎn)化,確定x<0時(shí)f(x)的解析式.

解析：當(dāng)x<0時(shí),-x>0,則有

f(-x)=-x|(-x)-2|.

又因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),所以f(x)=-f(-x)=x|(-x)-2|=x|x+2|.

故當(dāng)x<0時(shí),f(x)=x|x+2|.

點(diǎn)評(píng)：利用函數(shù)奇偶性的定義來(lái)解決一些相關(guān)的函數(shù)解析式問(wèn)題時(shí),關(guān)鍵要注意函數(shù)自變量的正負(fù)取值情況以及變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,合理替代,巧妙代換,通過(guò)整體思維、對(duì)應(yīng)思維來(lái)分析與應(yīng)用,從而解決一些涉及函數(shù)解析式以及對(duì)應(yīng)的應(yīng)用問(wèn)題.

3 結(jié)合奇偶性判斷函數(shù)圖象

利用函數(shù)基本性質(zhì)奇偶性,通過(guò)結(jié)構(gòu)特征來(lái)判斷與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象的對(duì)稱性問(wèn)題,是函數(shù)奇偶性的一個(gè)非常直觀形象的應(yīng)用,可以便捷且直觀地從函數(shù)圖象來(lái)確定與函數(shù)奇偶性對(duì)應(yīng)的性質(zhì)[1].

例3函數(shù)f(x)=x·ln|x|的圖象可能是( ).

分析：結(jié)合條件中給出的函數(shù)解析式來(lái)分析與判斷已知函數(shù)的奇偶性,通過(guò)函數(shù)的奇偶性所對(duì)應(yīng)的圖象的對(duì)稱性來(lái)分析排除相關(guān)的選項(xiàng);在此基礎(chǔ)上利用特殊點(diǎn)進(jìn)一步合理排除相關(guān)的選項(xiàng),巧妙判斷.

解析：對(duì)于函數(shù)f(x)=x·ln|x|,由于f(-x)=-x·ln|-x|=-x·ln|x|=-f(x),則知函數(shù)f(x)=x·ln|x|是奇函數(shù),可以排除選項(xiàng)A,C;

故選擇答案:D.

點(diǎn)評(píng)：具體判斷函數(shù)的圖象以及相關(guān)問(wèn)題時(shí),可以借助函數(shù)的奇偶性來(lái)判斷整個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱性問(wèn)題,而具體的一些細(xì)節(jié),還要綜合特殊函數(shù)值的確定、函數(shù)的極值與最值以及其他的一些基本性質(zhì)與特征來(lái)綜合處理.

4 結(jié)合奇偶性求解最值

函數(shù)的奇偶性具有一定的對(duì)稱性與反射性,由此可以通過(guò)函數(shù)圖象的對(duì)稱性與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值來(lái)解決一些與之相關(guān)的函數(shù)最值問(wèn)題,從而判斷一些與最值有關(guān)的函數(shù)問(wèn)題[2].

例4若f(x)和g(x)都是奇函數(shù),且F(x)=f(x)+g(x)+2在(0,+∞)上有最大值8,則在(-∞,0)上F(x)有( ).

A.最小值-8 B.最大值-8

C.最小值-6 D.最小值-4

分析：先根據(jù)條件確定函數(shù)關(guān)系式f(x)+g(x)的最大值,結(jié)合函數(shù)f(x)和g(x)都是奇函數(shù),可以確定函數(shù)f(x)+g(x)在(-∞,0)上的最小值,進(jìn)而確定函數(shù)F(x)在對(duì)應(yīng)區(qū)間上的最小值問(wèn)題.

解析：根據(jù)題意可知函數(shù)f(x)+g(x)在(0,+∞)上有最大值6.

又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)和g(x)都是奇函數(shù),所以函數(shù)f(x)+g(x)是奇函數(shù),則函數(shù)f(x)+g(x)在(-∞,0)上有最小值-6,即函數(shù)F(x)在(-∞,0)上有最小值-6+2=-4.

故選擇答案:D.

點(diǎn)評(píng)：在實(shí)際求解一些相關(guān)函數(shù)的最值問(wèn)題時(shí),經(jīng)常要借助函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上最值的確定,以及函數(shù)奇偶性的判定,從而綜合交匯,創(chuàng)新應(yīng)用.當(dāng)然,具體解決問(wèn)題時(shí),可以借助特殊函數(shù)(如一次函數(shù)等)來(lái)直觀分析,更加簡(jiǎn)單快捷來(lái)處理此類函數(shù)最值問(wèn)題、函數(shù)對(duì)稱性問(wèn)題等.

5 結(jié)合奇偶性求解不等式

在解決一些抽象函數(shù)對(duì)應(yīng)的不等式問(wèn)題時(shí),經(jīng)常要借助函數(shù)的奇偶性等基本性質(zhì)及結(jié)構(gòu)特征來(lái)巧妙轉(zhuǎn)化,進(jìn)一步確定所要求解的不等式,這是解決問(wèn)題的關(guān)鍵所在.在一些具體應(yīng)用中,經(jīng)常要與函數(shù)的解析式、單調(diào)性以及其他的相關(guān)知識(shí)加以交匯與融合,從而實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的創(chuàng)新性、綜合性與應(yīng)用性[3].

例5已知函數(shù)f(x)=x3-2x+ex-e-x,其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),若f(a-1)+f(2a2)≤0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.

分析：根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義來(lái)確定函數(shù)f(x)是奇函數(shù),為進(jìn)一步的變形與轉(zhuǎn)化相應(yīng)的不等式提供條件,利用求導(dǎo)處理以及基本不等式的應(yīng)用來(lái)確定函數(shù)的單調(diào)性,從而巧妙轉(zhuǎn)化不等式,進(jìn)而通過(guò)解一元二次不等式來(lái)確定參數(shù)的取值范圍問(wèn)題.

解析：由函數(shù)f(x)=x3-2x+ex-e-x,可得f(-x)=(-x)3-2(-x)+e-x-ex=-x3+2x-ex+e-x=-f(x).

又x∈R,所以f(x)=x3-2x+ex-e-x是奇函數(shù).

點(diǎn)評(píng)：此題中,巧妙融入高次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)以及抽象函數(shù)類型,融合函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、基本不等式以及二次不等式的求解等相關(guān)內(nèi)容.其中確定函數(shù)的奇偶性是關(guān)鍵,為進(jìn)一步的變形與轉(zhuǎn)化指明方向,是解決問(wèn)題的一個(gè)重要切入點(diǎn).

其實(shí),歷年高考數(shù)學(xué)試卷中,往往離不開(kāi)對(duì)函數(shù)奇偶性的考查,有時(shí)直接設(shè)置相關(guān)題目,有時(shí)隱含在其他數(shù)學(xué)問(wèn)題中,形式各樣,變化多端.此類涉及函數(shù)奇偶性的問(wèn)題通常以小題(選擇題或填空題)為主,難度中等及偏下,有時(shí)單獨(dú)考查函數(shù)的奇偶性,有時(shí)將函數(shù)相關(guān)概念與與函數(shù)的奇偶性加以綜合,有時(shí)還融入其他模塊知識(shí),實(shí)現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)間的交匯與融合.抓住函數(shù)奇偶性的定義及對(duì)應(yīng)的函數(shù)的圖象性質(zhì),合理總結(jié)規(guī)律,巧妙綜合,創(chuàng)新應(yīng)用.