基于“認(rèn)知結(jié)構(gòu)”發(fā)展的數(shù)學(xué)教學(xué)分析
——以“數(shù)列通項(xiàng)公式”解題模塊的組建與應(yīng)用為例

江蘇省宜興市第二高級中學(xué) 楊晶晶

認(rèn)知心理學(xué)研究發(fā)現(xiàn):學(xué)習(xí)過程實(shí)則為不斷構(gòu)建與完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程,認(rèn)知結(jié)構(gòu)對數(shù)學(xué)教學(xué)有著至關(guān)重要的影響.奧蘇貝爾提出:認(rèn)知結(jié)構(gòu)是指學(xué)生頭腦中的知識結(jié)構(gòu),從廣義的角度來看,它指一種觀念的全部內(nèi)容;從狹義的角度來看,認(rèn)知結(jié)構(gòu)是學(xué)習(xí)者在某一特定領(lǐng)域的觀念或組織.解題模塊屬于重要的認(rèn)知結(jié)構(gòu),對學(xué)生的解題能力發(fā)展具有直接影響.

1 組建解題模塊

教學(xué)中,常會遇到這樣一種現(xiàn)象:教師反復(fù)強(qiáng)調(diào)并講了幾遍的內(nèi)容,學(xué)生卻屢屢出錯;還有一些學(xué)生課堂上能夠?qū)Υ鹑缌?課后作業(yè)卻漏洞百出.出現(xiàn)這些現(xiàn)象的主要原因就在于學(xué)生并沒有將新知納入到自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中,還沒有形成良好的解題模塊.研究發(fā)現(xiàn),解題模塊能將某些雜亂無章的解題過程變得有法可依、有據(jù)可循,降低解題的難度.

要求解數(shù)列問題,首先就要對這部分知識結(jié)構(gòu)有一個明確的認(rèn)識.應(yīng)將教材中與數(shù)列通項(xiàng)公式相關(guān)的知識羅列到一起,再分門別類地進(jìn)行歸納,這樣在解題時就能夠從中探尋出相應(yīng)的方法.

數(shù)列通項(xiàng)公式的相關(guān)問題,若題干條件中不存在遞推公式,可將它分為“通過列舉數(shù)字、圖形與圖象表示”“已知數(shù)列的某幾項(xiàng)的值”“已知某個數(shù)列的前幾項(xiàng)和與值”三類;若題干條件中存在遞推公式,可分為多類情況(見圖1).

圖1

一般情況下,解決無遞推公式的數(shù)列問題,可應(yīng)用公式法與觀察法,這類問題的難度系數(shù)偏小,比較容易獲得結(jié)論;而有遞推公式的數(shù)列問題類型多樣且靈活,高中階段常接觸到的有圖1中的十類情況,且每一類情況都存在相對應(yīng)的解法.這就組成了解數(shù)列通項(xiàng)公式的解題模塊,模塊的形成為解決相應(yīng)的問題提供了幫助.

2 應(yīng)用解題模塊

張景中院士對于解數(shù)學(xué)問題提出了如下看法:無招勝有招是練武的最高境界,但練武依然需要從一招一式開始,解數(shù)學(xué)問題亦如此,都要通過一點(diǎn)一滴的訓(xùn)練與建構(gòu),才能達(dá)到“無招勝有招”的境界.對于大部分學(xué)生而言,需要充分重視變式訓(xùn)練,學(xué)會將數(shù)學(xué)問題分門別類,以探尋出可機(jī)械執(zhí)行的巧法,也就是算法.

由此可以看出,組建解題模塊是實(shí)施快速解題的上上之策,即幫助學(xué)生在腦海中建構(gòu)解決一類問題的認(rèn)知結(jié)構(gòu).實(shí)施解題存在多種方法,如將題干中一些隱性的條件顯露出來,將一些雜亂無章、冗長繁雜的解答過程變得條理清晰、簡潔明了等,可從最大程度上降低解題的難度.

(1)無遞推公式類

例1已知等比數(shù)列{an}中的a1,a2,a3分別為表1第一、二、三行中的某個數(shù),并且a1,a2,a3中的任何兩個數(shù)不處于同一列,求該數(shù)列的通項(xiàng)公式.

表1

觀察發(fā)現(xiàn),本題并未給出遞推公式,而且以圖表法展示題干,對應(yīng)解題模塊可通過“觀察法”來探尋數(shù)字間所存在的規(guī)律.

解：當(dāng)a1=3時,與題意不符;當(dāng)a1=2時,有且僅有a2=6,a3=18,與題意相符;當(dāng)a1=10時,與題意不符.由此可以確定a1=2,a2=6,a3=18,那么等比數(shù)列{an}的公比q=3,其通項(xiàng)公式為an=2·3n-1.

(2)有遞推公式,如an+1=Aan+B·Cn+D類型

例2已知數(shù)列{an}中的a1=1,an+1=2an+3n+1,求該數(shù)列的通項(xiàng)公式.

分析：題干有遞推公式,且屬于an+1=Aan+B·Cn+D型,對照圖1的解題模塊,可以考慮應(yīng)用構(gòu)造法實(shí)施解題.具體解法如下.

解法1：設(shè)存在實(shí)數(shù)λ,使得an+1+λ·3n+1=2(an+λ·3n),即an+1=2an-λ·3n,計算得λ=-3,那么an+1-3n+2=2(an-3n+1).令bn=an-3n+1,則由a1=1可知數(shù)列{bn}為一個等比數(shù)列,其首項(xiàng)為-8,公比為2,因此可獲得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=3n+1-2n+2.

例3(1)定義首項(xiàng)為1,公比為正數(shù)的等比數(shù)列是“M-數(shù)列”.{an}(n∈N*)為等比數(shù)列,且滿足a3-4a2+4a1=0,a2a4=a5,請證明:數(shù)列{an}為“M-數(shù)列”.

解：(1)證明略.

3 注意事項(xiàng)

3.1 理解解題模塊是應(yīng)用的前提

應(yīng)用解題模塊實(shí)施解題,并不是所有的問題都能夠歸結(jié)到相應(yīng)的類型.如一些開放題或證明題等,并沒有通用通法可以直接套用.教師不能直接帶領(lǐng)學(xué)生識記解題模塊,而應(yīng)與學(xué)生一起探索解題模塊形成的前因后果,讓學(xué)生對解題模塊的形成過程、蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法等有一定的了解,在此基礎(chǔ)上再進(jìn)行記憶與應(yīng)用.

3.2 聯(lián)系實(shí)例記憶解題模塊

一個完整的解題模塊應(yīng)包含有利于學(xué)生理解的具體實(shí)例,以便于學(xué)生記憶與應(yīng)用.這里所提到的實(shí)例必須具有典型性與代表性,當(dāng)學(xué)生遇到與之類似的問題時,能夠從解題模塊中的典例著手分析,實(shí)現(xiàn)知識的正遷移,提高解題能力.

3.3 在“通法”的基礎(chǔ)上補(bǔ)充“巧法”

解題模塊作為解題的通性通法確實(shí)能有效提高解題效率,而“通法”的應(yīng)用并不排斥其他新的更巧妙的方法的應(yīng)用.應(yīng)用解題模塊進(jìn)行解題教學(xué)的過程中,適當(dāng)?shù)匮a(bǔ)充一些更巧妙的方法,還能進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

達(dá)爾文認(rèn)為:與方法相關(guān)的知識是最有價值的知識.師生通過解題訓(xùn)練總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn)方法的過程中,可有針對性地完善不同題型與類別的解題模塊,以促使知識的正遷移,讓學(xué)生能更快、更準(zhǔn)地將解題模塊應(yīng)用在實(shí)際解題中.

事實(shí)證明,解題模塊的引入與應(yīng)用不僅提高了學(xué)生的解題能力,還有效促進(jìn)了學(xué)生反思習(xí)慣的形成.當(dāng)學(xué)生面對一些錯題時,會不由自主地探尋問題所歸屬的類別,并想方設(shè)法來解決它,甚至有學(xué)生會自主創(chuàng)建出新的解題模塊,形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu).