變位漸開線直齒圓柱齒輪傳動(dòng)過(guò)程接觸應(yīng)力分析

馮劍軍，簡(jiǎn)正豪，陳暉

(1.湖南三一工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院工程機(jī)械學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙 410129；2.南昌工學(xué)院新能源車輛學(xué)院，江西南昌 330108)

0 前言

齒輪機(jī)構(gòu)具有傳動(dòng)效率高、使用壽命長(zhǎng)、傳動(dòng)比穩(wěn)定等優(yōu)越性能，是機(jī)械中應(yīng)用最廣泛的機(jī)構(gòu)。齒輪是重要的傳動(dòng)零件，齒輪傳動(dòng)的性能將影響機(jī)械設(shè)備的工作壽命和工作性能。NAMBOOTHIRI和MARIMUTHU[1]指出，風(fēng)力發(fā)電裝備中齒輪失效引起風(fēng)力發(fā)電機(jī)失效占比達(dá)到59%，直升機(jī)由于齒輪失效引起的傳輸故障達(dá)19.1%。特別是齒輪的磨損、點(diǎn)蝕會(huì)造成齒輪壽命縮短，間隙增大，效力降低，產(chǎn)生噪聲，點(diǎn)蝕坑點(diǎn)作為裂紋源還會(huì)進(jìn)一步引起輪齒疲勞點(diǎn)蝕等。為此許多研究者對(duì)齒輪接觸問(wèn)題開展研究，并取得了許多成果。PUNEETH和MALLESH[2]分析一對(duì)直齒圓柱齒輪的接觸過(guò)程，應(yīng)用有限元軟件Abaqus 計(jì)算了接觸應(yīng)力，并將計(jì)算的結(jié)果通過(guò)MATLAB和AutoCAD等軟件應(yīng)用于齒輪的自動(dòng)設(shè)計(jì)和計(jì)算。胡愛(ài)萍等[3]分析了一對(duì)直齒圓柱齒輪嚙合時(shí)的最大接觸應(yīng)力，計(jì)算了一對(duì)輪齒嚙合過(guò)程中最大接觸應(yīng)力和節(jié)點(diǎn)接觸應(yīng)力的比值函數(shù)，把最大接觸應(yīng)力表達(dá)為節(jié)點(diǎn)嚙合時(shí)接觸應(yīng)力乘以應(yīng)力比，簡(jiǎn)化了最大接觸應(yīng)力的計(jì)算方法；但是，這種計(jì)算方法只適應(yīng)于標(biāo)準(zhǔn)齒輪傳動(dòng)。唐進(jìn)元等[4]基于接觸動(dòng)力學(xué)理論分析了齒輪嚙合過(guò)程中由于瞬態(tài)接觸速度的變化引起的沖擊問(wèn)題，并計(jì)算了最大接觸應(yīng)力。楊生華[5]應(yīng)用有限元方法計(jì)算了齒輪接觸時(shí)的變形和接觸應(yīng)力。ZHAO等[6]應(yīng)用分形理論建立了粗糙齒面的分形面接觸模型，計(jì)算了齒面上凸峰點(diǎn)接觸剛度和接觸應(yīng)力，分析了齒面粗糙度對(duì)齒輪傳動(dòng)性能的影響。LIU等[7]基于有限元方法和國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)，分別對(duì)滾齒面和磨削齒面雙曲線齒輪的承載能力進(jìn)行了研究，在相同工作條件下，比較了兩類齒輪的接觸應(yīng)力和彎曲應(yīng)力，結(jié)果表明滾齒面雙曲線齒輪具有更大的承載能力。由此可知齒輪傳動(dòng)時(shí)輪齒嚙合的接觸應(yīng)力對(duì)齒輪工作影響較大，吸引了研究者從影響齒輪接觸應(yīng)力的不同因素，采用不同方法研究齒輪工作時(shí)的應(yīng)力、變形和對(duì)齒輪工作性能的影響，對(duì)于齒輪的精準(zhǔn)設(shè)計(jì)、為各種高性能裝備提供優(yōu)質(zhì)的齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)具有重要意義。漸開線圓柱齒輪設(shè)計(jì)通常采用承載能力計(jì)算方法。國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)(GB/T 3480.2—2021/ISO6336-2:2019、GB/T 3480.3—2021/ISO6336-3:2019)規(guī)定的方法是分別按齒面接觸疲勞強(qiáng)度和齒根彎曲疲勞強(qiáng)度進(jìn)行設(shè)計(jì)計(jì)算。標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定：在進(jìn)行齒面接觸疲勞強(qiáng)度計(jì)算時(shí)，對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)齒輪傳動(dòng)，接觸應(yīng)力通常按節(jié)點(diǎn)、大輪和小輪單齒嚙合區(qū)內(nèi)界點(diǎn)嚙合時(shí)進(jìn)行計(jì)算；在計(jì)算公式中，如果按節(jié)點(diǎn)計(jì)算接觸應(yīng)力，區(qū)域系數(shù)的取值考慮了變位系數(shù)的影響。但是，大輪和小輪單齒嚙合區(qū)內(nèi)界點(diǎn)嚙合時(shí)接觸應(yīng)力計(jì)算沒(méi)有考慮齒輪變位對(duì)最大接觸應(yīng)力的影響，沒(méi)有給出變位齒輪傳動(dòng)最大接觸應(yīng)力的計(jì)算方法。

本文作者為了便于對(duì)變位齒輪進(jìn)行精確設(shè)計(jì)，將研究變位齒輪傳動(dòng)中最大接觸應(yīng)力的計(jì)算問(wèn)題，分析齒數(shù)、傳動(dòng)比對(duì)變位齒輪最大接觸應(yīng)力的影響，確定在什么條件下需按最大接觸應(yīng)力設(shè)計(jì)變位齒輪。獲得的結(jié)論可為齒輪設(shè)計(jì)和齒輪失效分析提供參考，滿足生產(chǎn)實(shí)際對(duì)齒輪設(shè)計(jì)的要求。

1 齒輪嚙合時(shí)赫茲應(yīng)力計(jì)算

為了分析變位齒輪節(jié)點(diǎn)嚙合接觸應(yīng)力和最大接觸應(yīng)力的差異，現(xiàn)在設(shè)有一對(duì)變位漸開線直齒圓柱齒輪傳動(dòng)，扭矩為T1，轉(zhuǎn)速為n1，載荷修正系數(shù)為K，單對(duì)齒嚙合的法向作用力為Fn，齒寬為b，切向力為Ft1，模數(shù)為m，傳動(dòng)比為u，齒數(shù)分別為Z1、Z2，基圓半徑分別為rb1、rb2，兩輪齒嚙合齒廓上任意一嚙合點(diǎn)的半徑分別為r1i、r2i，壓力角分別為α1i、α2i；分度圓半徑為r1、r2，分度圓壓力角為α，節(jié)圓半徑r′1、r′2，嚙合角為α′；忽略重合度對(duì)接觸線長(zhǎng)度b的影響。一對(duì)輪齒的接觸過(guò)程如圖1所示。

圖1 單對(duì)齒嚙合過(guò)程

根據(jù)Hertz公式，齒廓任意一點(diǎn)接觸時(shí)接觸應(yīng)力為

(1)

由圖1可知：

(2)

(3)

由式(1)可知：一對(duì)外嚙合輪齒接觸時(shí)，其任意接觸點(diǎn)i的綜合曲率為

(4)

其中：L表示極限嚙合線的長(zhǎng)度；x表示主動(dòng)齒輪1任意嚙合點(diǎn)到嚙合極限點(diǎn)的距離；嚙合點(diǎn)i的半徑為r1i。L和x可分別表示如下：

L=(rb1+rb2)tanα′

(5)

(6)

兩齒輪嚙合接觸的綜合彈性影響系數(shù)表示為

(7)

式中：E1、E2和ν1、ν2分別為齒輪1和齒輪2的彈性模量和泊松比。

(8)

式中：K為載荷修正系數(shù)。將式(4)(7)(8)代入式(1)，可得：

(9)

(10)

由式(9)可知：接觸應(yīng)力σH的大小的變化，除法向載荷外，主要決定于函數(shù)1/ρ=[L/(Lx-x2)]1/2的變化。現(xiàn)在考察其變化規(guī)律。在式(4)中，設(shè)L=15，x的取值范圍為：0

由圖2可知：綜合曲率在靠近嚙合線的極限嚙合點(diǎn)較大，極限嚙合線的中點(diǎn)綜合曲率具有極小值。按綜合曲率變化規(guī)律，越靠近實(shí)際嚙合線的端點(diǎn)，接觸應(yīng)力越大。但是，實(shí)際嚙合線的端點(diǎn)附近區(qū)域是雙齒嚙合區(qū)，接觸應(yīng)力并非最大，單齒嚙合區(qū)接觸應(yīng)力相對(duì)較大。因此，接觸應(yīng)力最大值必定會(huì)出現(xiàn)在離極限嚙合線中點(diǎn)較遠(yuǎn)處，靠近小齒輪極限嚙合點(diǎn)、單齒嚙合區(qū)與雙齒嚙合區(qū)的分界點(diǎn)。

2 計(jì)算單對(duì)齒嚙合時(shí)最大接觸應(yīng)力

設(shè)：齒輪1、2的極限嚙合線N1N2如圖3所示，點(diǎn)N1、N2分別為齒輪1(小齒輪)和齒輪2(大齒輪)的嚙合極限點(diǎn)。取點(diǎn)N1為x軸的坐標(biāo)原點(diǎn)，從N1到N2的方向?yàn)閤軸正向，A、B表示實(shí)際嚙合線的端點(diǎn)，C、D分別為雙齒嚙合區(qū)和單齒嚙合區(qū)的分界點(diǎn)。

由圖3可知：當(dāng)齒廓在點(diǎn)C接觸時(shí)，N1C=N1B-πmcosα=rb1tanαa1-πmcosα，即：x=rb1tanαa1-πmcosα，將其代入式(9)，可得：

(11)

3 節(jié)點(diǎn)嚙合時(shí)接觸點(diǎn)處的接觸應(yīng)力

設(shè)有一對(duì)變位齒輪傳動(dòng)，變位系數(shù)分別為x1和x2，不考慮制造和安裝引起的中心距誤差，節(jié)圓和分度圓不重合。節(jié)點(diǎn)P嚙合時(shí)，節(jié)點(diǎn)到齒輪1的嚙合極限點(diǎn)的距離為

(12)

將式(12)(5)代入L/(Lx-x2)，可得：

(13)

將式(13)代入式(9)，可得節(jié)點(diǎn)P接觸時(shí)接觸應(yīng)力為

(14)

4 最大接觸應(yīng)力與節(jié)點(diǎn)接觸應(yīng)力的比值(簡(jiǎn)稱應(yīng)力比)

齒廓接觸過(guò)程中最大接觸應(yīng)力(式(11))與節(jié)點(diǎn)接觸時(shí)的接觸應(yīng)力(式(14))的比值為

(15)

(16)

不考慮中心距安裝誤差時(shí)，中心距變動(dòng)量為

由上式可得：

tanα′=

(17)

由式(15)(17)可得變位齒輪傳動(dòng)時(shí)最大接觸應(yīng)力可表達(dá)為

(18)

按最大接觸應(yīng)力精確設(shè)計(jì)齒輪的計(jì)算公式為

(19)

5 應(yīng)力比分析

應(yīng)力比的計(jì)算公式不僅可應(yīng)用于變位齒輪傳動(dòng)設(shè)計(jì)，也可應(yīng)用于標(biāo)準(zhǔn)齒輪傳動(dòng)設(shè)計(jì)。當(dāng)其應(yīng)用于變位齒輪時(shí)，將變位系數(shù)x1、x2依次代入式(18)(17)(16)(15)，就可以計(jì)算應(yīng)力比λ。然后將應(yīng)力比λ代入式(19)，就可以計(jì)算變位齒輪的最大接觸應(yīng)力。

5.1 等距變位齒輪傳動(dòng)

圖4 等距變位齒輪傳動(dòng)中應(yīng)力比的變化曲線

圖4(a)表明當(dāng)小齒輪齒數(shù)從10增加到17時(shí)，小齒輪變位系數(shù)逐漸減小，應(yīng)力比增大，最大接觸應(yīng)力增大。圖4(b)表明隨著等距變位齒輪傳動(dòng)的傳動(dòng)比增大，應(yīng)力比增大，最大接觸應(yīng)力增大。兩種曲線圖均表明了如果傳動(dòng)比大于或等于3，小齒輪齒數(shù)大于或等于13(小于17)時(shí)，最大接觸應(yīng)力比節(jié)點(diǎn)接觸應(yīng)力大8%或以上。

5.2 不等距變位齒輪傳動(dòng)

不等距變位齒輪傳動(dòng)(|x1+x2|≥0)時(shí)，可分為正傳動(dòng)和負(fù)傳動(dòng)。如果按標(biāo)準(zhǔn)中心距安裝和不考慮削頂，當(dāng)正傳動(dòng)時(shí)，由式(18)可知嚙合角會(huì)增大，負(fù)傳動(dòng)時(shí)嚙合角會(huì)減小；式(17)表明當(dāng)Z1<17時(shí)，小齒輪變位系數(shù)大于0，小齒輪頂圓壓力角增大。設(shè)小齒輪齒數(shù)小于17，大齒輪齒數(shù)大于17，正傳動(dòng)時(shí)，變位系數(shù)x2/x1=0.6；負(fù)傳動(dòng)時(shí)，x2/x1=1.2。為了分析應(yīng)力比的變化規(guī)律，設(shè)Z1從11增大至17，傳動(dòng)比u從1.7變化到5，應(yīng)力比的變化曲線如圖5所示。

圖5(a)(b)表明：正傳動(dòng)時(shí)，小齒輪齒數(shù)Z1增大，應(yīng)力比會(huì)增大；而變位系數(shù)x1增大，應(yīng)力比則會(huì)減小。圖5(c)(d)同樣表明：負(fù)傳動(dòng)時(shí)，小齒輪齒數(shù)Z1增大，應(yīng)力比會(huì)增大；而變位系數(shù)x1增大，應(yīng)力比則會(huì)減小。盡管小齒輪齒數(shù)Z1和變位系數(shù)x1的變化會(huì)影響嚙合角和小齒輪頂圓壓力角，但是應(yīng)力比的綜合變化規(guī)律是相同的：即小齒輪齒數(shù)Z1增大，應(yīng)力比會(huì)增大，而變位系數(shù)x1增大，應(yīng)力比則會(huì)減小。

5.3 標(biāo)準(zhǔn)齒輪傳動(dòng)最大接觸應(yīng)力分析

應(yīng)力比的計(jì)算公式應(yīng)用于標(biāo)準(zhǔn)齒輪傳動(dòng)時(shí)，需要在式(18)(17)(15)中分別取x1=x2=0、α′=α，計(jì)算出應(yīng)力比λ后，將其代入式(19)，就可以計(jì)算最大接觸應(yīng)力。標(biāo)準(zhǔn)齒輪傳動(dòng)中，應(yīng)力比相對(duì)于小齒輪齒數(shù)、傳動(dòng)比的變化曲線如圖6所示。

圖6 標(biāo)準(zhǔn)齒輪傳動(dòng)應(yīng)力比的變化曲線

圖6(a)表明標(biāo)準(zhǔn)齒輪傳動(dòng)(Z1≥17)的應(yīng)力比隨著小齒輪齒數(shù)的增大會(huì)減?。欢鴪D6(b)說(shuō)明應(yīng)力比隨著傳動(dòng)比的增大而增大。標(biāo)準(zhǔn)齒輪傳動(dòng)的最大接觸應(yīng)力等于節(jié)點(diǎn)應(yīng)力乘以應(yīng)力比，將α′=α代入式(14)，即可得到標(biāo)準(zhǔn)齒輪傳動(dòng)節(jié)點(diǎn)應(yīng)力計(jì)算式。影響標(biāo)準(zhǔn)齒輪傳動(dòng)(Z1≥17)最大接觸應(yīng)力的因素的更詳細(xì)分析請(qǐng)參考文獻(xiàn)[3]。標(biāo)準(zhǔn)齒輪傳動(dòng)最大接觸應(yīng)力可表達(dá)為

(20)

綜上分析可知：當(dāng)小齒輪齒數(shù)Z1=17時(shí)應(yīng)力比具有最大值，小齒輪齒數(shù)越大于或越小于17時(shí)，最大應(yīng)力與節(jié)點(diǎn)應(yīng)力越接近；最大應(yīng)力與傳動(dòng)比密切相關(guān)，傳動(dòng)比越大，應(yīng)力比越大。如果傳動(dòng)比u取值范圍為1～5，依據(jù)最小變位系數(shù)對(duì)齒輪傳動(dòng)進(jìn)行變位，并設(shè)以最大接觸應(yīng)力與節(jié)點(diǎn)接觸應(yīng)力之比大于或等于8%為基準(zhǔn)，即當(dāng)應(yīng)力比大于或等于8%就必須按精確接觸疲勞強(qiáng)度計(jì)算。設(shè)計(jì)齒輪時(shí)需要進(jìn)行精確接觸疲勞強(qiáng)度設(shè)計(jì)計(jì)算的條件如表1所示?？芍寒?dāng)小齒輪齒數(shù)Z1≥23和Z1≤11時(shí)，不需要按最大接觸應(yīng)力進(jìn)行精確接觸疲勞強(qiáng)度設(shè)計(jì)計(jì)算。

表1 需要進(jìn)行精確接觸疲勞強(qiáng)度設(shè)計(jì)計(jì)算的條件

6 實(shí)例分析

已知某外嚙合變位漸開線直齒圓柱齒輪傳動(dòng)的輸入功率P1= 10 kW，傳動(dòng)比u=3，小齒輪轉(zhuǎn)速n1=960 r/min，采用閉式軟齒面齒輪傳動(dòng)，假設(shè)小齒輪采用合金鋼，彈性模量E1=209 GPa，大齒輪采用碳鋼，E2=205 GPa，大、小齒輪的泊松比均為ν=ν1=ν2=0.28，[σH]= 525 MPa，ZE=189.8 MPa，φd=1，K=1.4，試按接觸強(qiáng)度設(shè)計(jì)該齒輪傳動(dòng)。

(1)按接觸強(qiáng)度設(shè)計(jì)該齒輪傳動(dòng)的模數(shù)

解：T1=9.55× 106P1/n1=9.947 9×104N·mm，選取小齒輪齒數(shù)Z1=15，Z2=uZ1=45，變位齒輪傳動(dòng)采用正傳動(dòng)，則：

取x1=0.15，x2=-0.11。

應(yīng)用式(18)(17)分別計(jì)算嚙合角α′和齒頂圓壓力角αa1，將其代入式(15)計(jì)算應(yīng)力比為：λ=1.085；將已知量和λ=1、λ=1.085代入式(20)，可獲得按節(jié)點(diǎn)嚙合和按最大應(yīng)力設(shè)計(jì)的齒輪分度圓直徑分別為66.844 4 mm和70.580 5 mm，兩種設(shè)計(jì)方法獲得的分度圓直徑比較，后者比前者約大5.59%。

根據(jù)分度圓直徑和齒數(shù)可計(jì)算出模數(shù)，并向增大的方向圓整為標(biāo)準(zhǔn)模數(shù)，可得按節(jié)點(diǎn)嚙合設(shè)計(jì)和按最大應(yīng)力設(shè)計(jì)的模數(shù)分別為m=4.5 mm和m=5 mm。

(2)應(yīng)用有限元分析結(jié)果驗(yàn)證推導(dǎo)的應(yīng)力比計(jì)算式

為了驗(yàn)證文中推導(dǎo)的應(yīng)力比的正確性，采用了Abaqus有限元軟件對(duì)上述例題中齒輪傳動(dòng)的接觸應(yīng)力進(jìn)行了模擬計(jì)算。設(shè)齒輪的模數(shù)m=4 mm，齒輪傳動(dòng)的幾何尺寸和參數(shù)如下：

大、小齒輪齒頂圓直徑：

da1=(Z1+2+2x1)m=69.2 mm

da2=(Z2+2+2x2)m=187.12 mm

基圓直徑：

db1=mZ1cosα=56.38 mm

db2=mZ2cosα=169.14 mm

嚙合角的余弦：

節(jié)圓半徑：

節(jié)點(diǎn)嚙合時(shí)，大、小齒輪齒廓的曲率半徑分別為

ρ1=r′1×sinα′=10.38 mm

ρ2=r′2×sinα′=31.14 mm

(21)

在極限嚙合線上靠近小齒輪極限嚙合點(diǎn)的單齒嚙合區(qū)與雙齒嚙合區(qū)界點(diǎn)嚙合時(shí)，大、小齒輪齒廓的曲率半徑分別為

ρ′2=(ρ1+ρ2)-ρ′1=33.27 mm

(22)

根據(jù)齒輪傳動(dòng)的扭矩，計(jì)算齒輪嚙合時(shí)小齒輪齒廓對(duì)大齒輪齒廓作用的法向力為

模擬時(shí)采用以嚙合點(diǎn)處的齒廓曲率半徑為半徑的兩個(gè)半圓柱體相接觸，計(jì)算單齒嚙合區(qū)和雙齒嚙合區(qū)界點(diǎn)、節(jié)點(diǎn)嚙合時(shí)接觸點(diǎn)兩處的最大接觸應(yīng)力之比。模擬獲得的兩接觸點(diǎn)應(yīng)力云圖如圖7和圖8所示。

圖7 界點(diǎn)接觸時(shí)法線方向的應(yīng)力云圖

模擬應(yīng)力比與計(jì)算應(yīng)力比之間的誤差分析。由圖7和圖8可知：變位齒輪界點(diǎn)接觸時(shí)法線方向的最大接觸應(yīng)力σ′=55.89 MPa，節(jié)點(diǎn)接觸時(shí)法線方向的最大接觸應(yīng)力σ=52.21 MPa，應(yīng)力比為λ=55.89/52.21=1.070 5；計(jì)算應(yīng)力比為λ=1.085。相對(duì)誤差為：(1.085-1.070 5)/1.085=1.34%，說(shuō)明計(jì)算結(jié)果與模擬結(jié)果基本吻合。

7 結(jié)論

分析了變位漸開線直齒圓柱齒輪傳動(dòng)時(shí)嚙合點(diǎn)綜合曲率的變化規(guī)律，推導(dǎo)了最大接觸應(yīng)力的計(jì)算式及其與節(jié)點(diǎn)嚙合時(shí)接觸應(yīng)力兩者比值的計(jì)算式，分析了應(yīng)力比隨著小齒輪齒數(shù)和傳動(dòng)比的變化規(guī)律，獲得如下結(jié)論：

(1)獲得了變位齒輪傳動(dòng)時(shí)最大接觸應(yīng)力的計(jì)算方法。最大接觸應(yīng)力可表達(dá)為節(jié)點(diǎn)嚙合的接觸應(yīng)力乘以應(yīng)力比，即：σHmax=λσHP；推導(dǎo)了應(yīng)力比的計(jì)算式，并采用Abaqus有限元方法驗(yàn)證了應(yīng)力比計(jì)算式的準(zhǔn)確性。

(2)分析了應(yīng)力比的變化規(guī)律。從變位齒輪(Z1<17)應(yīng)力比的計(jì)算式可知：影響應(yīng)力比的主要因素是小齒輪齒數(shù)、傳動(dòng)比。當(dāng)Z1<17時(shí)，應(yīng)力比隨著小齒輪齒數(shù)增大，應(yīng)力比增大；同樣，傳動(dòng)比增大，應(yīng)力比相應(yīng)增大；當(dāng)小齒輪齒數(shù)等于17時(shí)應(yīng)力比具有最大值。應(yīng)力比的計(jì)算式(15)不僅可用于變位漸開線直齒圓柱齒輪，對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)直齒圓柱齒輪傳動(dòng)同樣適用。

(3)如果齒輪接觸強(qiáng)度的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則為最大接觸應(yīng)力比節(jié)點(diǎn)接觸應(yīng)力大8%或以上，則需要按最大接觸應(yīng)力進(jìn)行精確設(shè)計(jì)。表1提供了需要按最大接觸應(yīng)力設(shè)計(jì)計(jì)算的參數(shù)范圍。