關(guān)注知識形成過程，實(shí)施數(shù)學(xué)有效教學(xué)

唐閩真

［摘? 要］ 數(shù)學(xué)知識的形成需要經(jīng)歷一個漫長的過程，將教學(xué)內(nèi)容的發(fā)展史暴露在學(xué)生面前，能讓學(xué)生對知識的探究產(chǎn)生良好的情感傾向. 文章以“有理數(shù)乘法法則”的教學(xué)為例，從“負(fù)負(fù)得正”的發(fā)展歷程與教學(xué)困惑出發(fā)，分析有理數(shù)乘法與加法加工方式的差異，并從“問題驅(qū)動，引出主題”及“分類討論，抽象提煉”這兩方面具體談?wù)劷虒W(xué)過程.

［關(guān)鍵詞］ 過程；教學(xué)；有理數(shù)乘法

新課標(biāo)引領(lǐng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)倡導(dǎo)關(guān)注過程教育的研究. 過程教育是指為了滿足學(xué)生全面發(fā)展的需求，教師在教學(xué)中，要尤為關(guān)注數(shù)學(xué)結(jié)論的形成與應(yīng)用過程，以及解決問題之后的反思等. 關(guān)注知識形成過程，對促進(jìn)數(shù)學(xué)有效教學(xué)有著重要的意義. 下面，筆者以“有理數(shù)乘法法則”的教學(xué)為例，闡述如何實(shí)施有效教學(xué).

“負(fù)負(fù)得正”的發(fā)展歷程與教學(xué)

困惑

在有理數(shù)乘法的教學(xué)中，兩個負(fù)數(shù)相乘的法則是教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)，學(xué)生之所以難以理解，是因?yàn)樗鼈儫o法像加、減法那樣用直觀的數(shù)軸上的點(diǎn)來表示. 從數(shù)學(xué)史的發(fā)展歷程來看，負(fù)數(shù)與負(fù)數(shù)相乘的運(yùn)算發(fā)展坎坷，在數(shù)學(xué)文化背景匱乏的情況下，莫里斯·克萊因還提出了以面積說明為起點(diǎn)，由特例推廣到一般的解決方案. 他認(rèn)為人類會不由自主地傾向于從特例中提煉出來的法則，這是人類本性的體現(xiàn).

如圖1所示，由特例到一般，可認(rèn)為對于任意數(shù)a，b，c，d，式子（a-b）·（c-d）=ac-ad-bc+bd恒成立. 若a，c均為0，則能獲得式子（-b）（-d）=+bd.

隨著時代的發(fā)展，如今看來這種推理并沒有說服力，但這確實(shí)是“負(fù)負(fù)得正”法則得來的前身. 在數(shù)學(xué)史的發(fā)展歷程中，負(fù)數(shù)的引入與用字母表示數(shù)交織在一起，盡管最初負(fù)數(shù)的出現(xiàn)遭到了不少人的反對，但經(jīng)過時間的洗禮，至19世紀(jì)，人們終于接納了它的邏輯相容性.

正因?yàn)闆]有充足的數(shù)學(xué)史作為根基，才造成如今對這一運(yùn)算法則的教學(xué)呈現(xiàn)出多元化的局面，導(dǎo)致不少學(xué)生在學(xué)完“負(fù)負(fù)得正”的法則后，依然難以準(zhǔn)確理解其合理性. 這主要體現(xiàn)在以下兩方面：①將正、負(fù)整數(shù)相乘，再將正因數(shù)依次減掉1，從積的變化規(guī)律來歸納負(fù)負(fù)得正，這種方式比較形式化，學(xué)生難以理解；②用分步法計算，當(dāng)兩數(shù)相乘時，如果將其中一個乘數(shù)替換成它的相反數(shù)，那么兩數(shù)的積則為原積的相反數(shù)，由此概括兩個負(fù)數(shù)相乘的結(jié)論，但這種方式同樣偏形式化，缺乏合理的驗(yàn)證.

乘法與加法加工方式的差異

分析

從數(shù)學(xué)史的角度出發(fā)，并不能為有理數(shù)乘法法則提供典型的思維例證，那我們可從哪些方面著手，讓學(xué)生對這部分知識獲得更好的認(rèn)識呢？不論哪個版本教材的編者在教材編擬時，都希望學(xué)生能對有理數(shù)乘法法則產(chǎn)生直觀、形象且有現(xiàn)實(shí)意義的認(rèn)識，并快速、準(zhǔn)確地建構(gòu)新知，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而促進(jìn)認(rèn)知能力的發(fā)展.

初中階段的有理數(shù)乘法運(yùn)算的教學(xué)建立在正數(shù)乘法法則的基礎(chǔ)之上，從運(yùn)算相似的機(jī)制出發(fā)，學(xué)生面對數(shù)字加法運(yùn)算與乘法運(yùn)算時呈現(xiàn)出了不同的特征. 通過比較筆者發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在乘法運(yùn)算中具有更多的語義加工過程，而在加法運(yùn)算中則表現(xiàn)出更多的視覺表象活動過程.

為什么會呈現(xiàn)出不同的加工方式呢？研究發(fā)現(xiàn)，這與兒童最早的學(xué)習(xí)方式有一定的關(guān)系. 學(xué)生在學(xué)習(xí)加法時，常從實(shí)物的角度進(jìn)行直觀模擬或結(jié)合模型后進(jìn)行數(shù)字加工，比如對于“4+3”這個式子，學(xué)生常呈現(xiàn)出實(shí)物情境：如圖2所示，小明有4支鉛筆，他媽媽又給他買了3支，小明共有7支鉛筆.

多位數(shù)相加的法則建立在數(shù)字加法與數(shù)位操作的基礎(chǔ)之上，數(shù)位操作（進(jìn)位）具有視覺加工的優(yōu)勢，它建立在視覺或空間加工的基礎(chǔ)之上，因此正數(shù)加法法則也表現(xiàn)出較明顯的視覺或空間加工特性.

正數(shù)乘法運(yùn)算則建立在語言符號的基礎(chǔ)之上，其雖然也存在數(shù)字識別、數(shù)學(xué)操作等視覺加工過程，但基本是建立在累加的基礎(chǔ)上，呈現(xiàn)出了簡約表示機(jī)制，從本質(zhì)上來看，正整數(shù)乘法運(yùn)算就是對特殊加法運(yùn)算的二次抽象過程. 因此，正數(shù)的乘法運(yùn)算呈現(xiàn)出語義加工特征.

對于有理數(shù)加法與乘法，人類大腦呈現(xiàn)出了不同的信息加工機(jī)制. 雖然這兩種重要的運(yùn)算都離不開視覺經(jīng)驗(yàn)的支持，但有理數(shù)加法更明顯地體現(xiàn)出視覺與空間加工的特征，而有理數(shù)乘法卻更多地展現(xiàn)出語義加工機(jī)制的特征. 可見，在有理數(shù)乘法運(yùn)算教學(xué)中應(yīng)用與學(xué)生腦機(jī)制不匹配的視覺與空間加工機(jī)制，將無法達(dá)到預(yù)期的教學(xué)效果.

實(shí)踐證明，以語義加工為主，以視覺與空間加工為輔的方式，不僅能更好地提高有理數(shù)乘法教學(xué)效率，還能讓學(xué)生通過對不同的信息加工方式的接觸，開發(fā)大腦結(jié)構(gòu)中的不同功能區(qū)，激發(fā)學(xué)習(xí)潛能，促進(jìn)對知識加工能力的協(xié)調(diào)發(fā)展［1］.

教學(xué)設(shè)計

（一）問題驅(qū)動，引出主題

師：學(xué)習(xí)本節(jié)課之前，大家已經(jīng)接觸過有理數(shù)的加法運(yùn)算法則，已經(jīng)知道有理數(shù)存在“正數(shù)”與“負(fù)數(shù)”，那誰來說說有理數(shù)加法運(yùn)算的要點(diǎn)？

生1：先確定符號，再計算絕對值.

師：非常好！這是將有理數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化成我們所熟知的加法運(yùn)算的過程，只是在此基礎(chǔ)上增加了“符號”的問題. 這種運(yùn)算是否滿足加法運(yùn)算的結(jié)合律與交換律？

生2：滿足.

師：不錯，小學(xué)時我們還學(xué)過數(shù)的乘法法則，那么兩個有理數(shù)是否能像之前學(xué)的兩個數(shù)相乘一樣相乘呢？該如何相乘呢？這就是本節(jié)課咱們要探索的主要內(nèi)容——有理數(shù)的乘法法則.

設(shè)計意圖 帶領(lǐng)學(xué)生從小學(xué)階段接觸過的非負(fù)數(shù)的加法運(yùn)算擴(kuò)充到有理數(shù)的加法運(yùn)算中，思考從非負(fù)數(shù)的乘法到有理數(shù)乘法的可能性. 學(xué)生通過加法運(yùn)算性質(zhì)的回顧，初步體驗(yàn)到了數(shù)系擴(kuò)充的必要性，這不僅是現(xiàn)實(shí)生活所需，更是拓展運(yùn)算的需求. 加法運(yùn)算的類比，成功地引發(fā)了學(xué)生對乘法運(yùn)算的思考. 借鑒加法類比經(jīng)驗(yàn)，教師自然地引出了本節(jié)課的探究主題.

整個引入過程自然、流暢且充滿“數(shù)學(xué)味”，能讓學(xué)生快速進(jìn)入思考與探索的狀態(tài)，這既為課堂教學(xué)奠定了良好的情感基礎(chǔ)，又為有理數(shù)乘法法則的揭示奠定了思維基礎(chǔ).

師：通過之前的學(xué)習(xí)，我們都知道有理數(shù)包括正數(shù)、負(fù)數(shù)與0，那誰來說說有理數(shù)的乘法運(yùn)算存在哪些情況.

生3：有正數(shù)與正數(shù)相乘，正數(shù)與負(fù)數(shù)相乘，正數(shù)與0相乘，負(fù)數(shù)與正數(shù)相乘，負(fù)數(shù)與負(fù)數(shù)相乘，負(fù)數(shù)與0相乘，0與正數(shù)相乘，0與負(fù)數(shù)相乘，0與0相乘.

師：若從運(yùn)算律的角度出發(fā)，以上九種類型的運(yùn)算可以怎樣分類？

生4：可以分為正數(shù)×正數(shù)，正數(shù)×負(fù)數(shù)，正數(shù)×0，負(fù)數(shù)×負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)×0，0×0，一共6種情況.

設(shè)計意圖 從有理數(shù)符號的角度出發(fā)，學(xué)生明確了哪些乘法運(yùn)算是之前已經(jīng)接觸過的，哪些數(shù)之間的乘法運(yùn)算是尚未接觸到的，于是教學(xué)便快速明晰了接下來運(yùn)算法則推廣的任務(wù)應(yīng)該從何處開始，到何處去，這為分類思想的提煉奠定了基礎(chǔ). 后期學(xué)生在法則歸納時，則能自主提出合理的歸納樣式.

通過與加法運(yùn)算類比，學(xué)生能明白本節(jié)課的乘法運(yùn)算同樣需要像之前所學(xué)的乘法運(yùn)算那樣滿足相應(yīng)的運(yùn)算律. 這能讓學(xué)生的思緒沉浸到問題情境中，能讓情境與情緒產(chǎn)生關(guān)聯(lián)，為課堂教學(xué)服務(wù).

如課堂上教師以問題解決的策略來組織實(shí)質(zhì)性的教學(xué)時，可引發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題并提出問題，聯(lián)系原有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)與方法去分析問題與解決問題，避免一些復(fù)雜的視覺模型干擾，這能為教學(xué)奠定基礎(chǔ).

（二）分類討論，抽象提煉

1. 分類研究分析

本節(jié)課在分類討論環(huán)節(jié)，可從以下幾方面展開分析：①正數(shù)與正數(shù)相乘；②正數(shù)與0相乘（此為學(xué)生已有的認(rèn)知，不需要再次研究）；③負(fù)數(shù)與0相乘（類比正數(shù)與0相乘，可知結(jié)果為0）；④0與0相乘（結(jié)果為0，不需要再次研究）；⑤正數(shù)與負(fù)數(shù)相乘；⑥負(fù)數(shù)與負(fù)數(shù)相乘；⑦總結(jié)有理數(shù)乘法法則.

通過對②③④三個環(huán)節(jié)的分析，不難獲得“任何數(shù)和0相乘，結(jié)果均為0”的結(jié)論. 前四個環(huán)節(jié)是對小學(xué)數(shù)學(xué)乘法運(yùn)算的回憶與總結(jié)，目的在于讓學(xué)生明確本節(jié)課的研究任務(wù)為研究負(fù)數(shù)分別與正數(shù)、負(fù)數(shù)相乘的情況.

2. 正數(shù)與負(fù)數(shù)相乘

利用PPT直接展示需要確定運(yùn)算結(jié)果的一個式子（正數(shù)×負(fù)數(shù)），如3×（-3），鼓勵學(xué)生自主類比正數(shù)與正數(shù)相乘的法則來思考計算方法. 教師巡視后發(fā)現(xiàn)學(xué)生在草稿紙上呈現(xiàn)出如下思維歷程：3×（-3）=（-3）+（-3）+（-3）=-9. 學(xué)生通過因數(shù)的變化獲得了具有代表性的式子，幾輪訓(xùn)練下來，學(xué)生很快就在觀察、分析中總結(jié)出了這類運(yùn)算的特征.

不需要教師過多的引導(dǎo)，學(xué)生就自主歸納出了結(jié)論：正數(shù)與負(fù)數(shù)相乘，積的絕對值與因數(shù)絕對值的積相等，結(jié)果為負(fù)數(shù). 在此基礎(chǔ)上，教師要求學(xué)生結(jié)合生活中的連續(xù)等額付錢情況與數(shù)軸上點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律，驗(yàn)證這種結(jié)論是否合理. 而后再從交換律的角度出發(fā)進(jìn)行探究. 探究后發(fā)現(xiàn)，負(fù)數(shù)與正數(shù)相乘，結(jié)果也同樣具備這樣的規(guī)律.

設(shè)計意圖 讓學(xué)生將正數(shù)與負(fù)數(shù)相乘的情況與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的乘法運(yùn)算進(jìn)行類比，可幫助學(xué)生更好地提煉結(jié)論. 在生活經(jīng)驗(yàn)與乘法交換律的輔助下，學(xué)生結(jié)合數(shù)軸可驗(yàn)證相應(yīng)的結(jié)論. 這是在語義加工的情況下，應(yīng)用類比思想與歸納思想實(shí)施教學(xué)，能幫助學(xué)生更好地提煉生活經(jīng)驗(yàn). 學(xué)生親歷歸納、類比與檢驗(yàn)等過程，可從某種程度上有效地提高數(shù)學(xué)認(rèn)知能力.

3.負(fù)數(shù)與負(fù)數(shù)相乘

師：現(xiàn)在請大家分析（-2）×（-3）等于多少.

生5：（-3）與（-2）分別與0相乘的結(jié)果都是0，展開式子為（-3）×0=（-3）×［2+（-2）］=（-3）×2+（-3）×（-2）=0，同理展開（-2）×0. 由此可得到（-2）×（-3）的結(jié)果是2×（-3）的結(jié)果的相反數(shù)，又2×（-3）=-6，所以（-2）×（-3）=6.

師：太棒了！這完全出乎我的意料. （學(xué)生自發(fā)地鼓掌）

為了強(qiáng)化學(xué)生對“負(fù)負(fù)得正”的認(rèn)識，接下來筆者設(shè)計了兩個生活問題，目的是讓學(xué)生進(jìn)一步從生活實(shí)際中確認(rèn)這種運(yùn)算法則的科學(xué)合理性.

問題1 海拔每升高1 km，溫度就會降低0.6 ℃. 若一個人所處位置的溫度恰巧為0 ℃，相對高度為0 km，當(dāng)相對高度處于-2 km時，此處的溫度是多少？請嘗試列式表示此時的溫度.

學(xué)生從生活經(jīng)驗(yàn)與認(rèn)知水平出發(fā)，都知道此時的溫度為1.2 ℃，若要列式，可從以下角度思考：將海拔高度的升高理解為“正”，海拔高度的降低理解為“負(fù)”，氣溫升高理解為“正”，氣溫降低理解為“負(fù)”，則列式為（-2）×（-0.6）=1.2.

如圖3所示，教師可借助PPT展示高度變化與氣溫變化的關(guān)系.

問題2 小明爸爸在5個月前，給手機(jī)預(yù)存了一筆話費(fèi)，用來支付之后連續(xù)5個月的手機(jī)話費(fèi)，使完成本月扣款后賬戶余額恰巧為0. 若每月話費(fèi)扣款金額固定為60元，那么當(dāng)初小明爸爸存進(jìn)賬戶的金額是多少元？

這是一個典型的生活問題，存錢為“正”，扣除話費(fèi)為“負(fù)”，本月之前的時間為“負(fù)”，本月之后的時間為“正”. 月份與賬戶上的金額可列表表示（如表1所示），通過表格能一目了然地明確總金額為（-60）×（-5）=300（元）.

接下來則是教師帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)一步高度概括有理數(shù)乘法法則的階段. 學(xué)生結(jié)合以上探究過程以及自身原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，進(jìn)一步深化了對有理數(shù)乘法法則的理解，這為建構(gòu)完整的認(rèn)知體系奠定了基礎(chǔ).

“負(fù)負(fù)得正”是本節(jié)課教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)，教師從數(shù)系擴(kuò)充思想出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)并歸納運(yùn)算法則的過程是對知識產(chǎn)生深度理解的過程. 學(xué)生也不負(fù)所望，能自主想到從負(fù)數(shù)與0相乘的特殊情況出發(fā)，將0視為兩個相反數(shù)之和，再運(yùn)用乘法分配律，自主提煉出“負(fù)負(fù)得正”的法則.

兩個實(shí)際問題的解決，進(jìn)一步強(qiáng)化了學(xué)生的應(yīng)用意識. 問題1中所提出的“海拔越高，氣溫越低”是生活常識，學(xué)生比較容易理解；問題2中，隨著月份的加大，話費(fèi)賬戶上的金額則越來越少，反之，月份越少，賬戶余額越大. 這些都是與學(xué)生生活實(shí)際緊密相關(guān)的現(xiàn)實(shí)問題，將這些實(shí)際問題引入課堂，可增強(qiáng)學(xué)生對“生活處處皆數(shù)學(xué)”的理解，能讓學(xué)生逐漸養(yǎng)成用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界的習(xí)慣.

總之，以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的初中數(shù)學(xué)教學(xué)，要在充分了解教學(xué)內(nèi)容“前世今生”的基礎(chǔ)上，結(jié)合學(xué)情進(jìn)行教學(xué)設(shè)計，這樣才能達(dá)到事半功倍的教學(xué)成效.

參考文獻(xiàn)：

［1］李庾南，陳育彬. 構(gòu)建促進(jìn)學(xué)力發(fā)展的數(shù)學(xué)課堂［J］. 課程·教材·教法，2008（08）：35-38.