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    機(jī)械臂自適應(yīng)反演超螺旋全局終端滑模控制

    2023-11-08 02:06:24李俊麟王宏博
    測(cè)控技術(shù) 2023年10期
    關(guān)鍵詞:超螺旋滑模反演

    李俊麟,王宏博,3,張 偉*,高 升

    (1.中國(guó)科學(xué)院沈陽(yáng)自動(dòng)化研究所 機(jī)器人學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,遼寧 沈陽(yáng) 110016; 2.中國(guó)科學(xué)院機(jī)器人與智能制造創(chuàng)新研究院,遼寧 沈陽(yáng) 110169; 3.沈陽(yáng)化工大學(xué) 信息工程學(xué)院,遼寧 沈陽(yáng) 110142)

    工業(yè)自動(dòng)化技術(shù)的提高及現(xiàn)代科技的發(fā)展,使機(jī)器人技術(shù)得到了廣泛應(yīng)用。機(jī)械臂作為機(jī)器人技術(shù)中使用最多的自動(dòng)化機(jī)械裝置,一直以來(lái)都廣受關(guān)注。然而機(jī)械臂是一個(gè)典型的強(qiáng)耦合、非線性和多變量系統(tǒng)[1-2],實(shí)際中更會(huì)受到外部擾動(dòng)、建模誤差和內(nèi)部摩擦等因素的影響,特殊的驅(qū)動(dòng)方式及建模難度對(duì)其高效、精準(zhǔn)控制提出了挑戰(zhàn)[3],設(shè)計(jì)性能優(yōu)越的控制器成為學(xué)者們研究的熱點(diǎn)。目前已有眾多方案用以解決機(jī)械臂高性能軌跡跟蹤控制難題,如自適應(yīng)控制[4-5]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[6-7]、反演控制[8-9]和滑??刂芠10]等。

    由于滑??刂茖?duì)系統(tǒng)參數(shù)攝動(dòng)及外部擾動(dòng)變化不敏感,具有強(qiáng)魯棒性,在線性和非線性物理系統(tǒng)中有著良好的控制效果,所以被廣泛研究,但傳統(tǒng)線性滑??刂茻o(wú)法保證系統(tǒng)狀態(tài)的有限時(shí)間收斂性。文獻(xiàn)[11]設(shè)計(jì)了一種有限時(shí)間軌跡跟蹤控制器,通過(guò)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近機(jī)械臂系統(tǒng)模型和擾動(dòng),能夠保證系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)跟蹤期望軌跡。文獻(xiàn)[12]采用擾動(dòng)估計(jì)器對(duì)系統(tǒng)不確定項(xiàng)進(jìn)行估計(jì),通過(guò)自適應(yīng)律補(bǔ)償估計(jì)誤差,結(jié)合非奇異快速終端滑模算法,能夠?qū)崿F(xiàn)有限時(shí)間收斂的機(jī)械臂高精度軌跡跟蹤。文獻(xiàn)[13]與文獻(xiàn)[14]針對(duì)機(jī)械臂系統(tǒng)集總擾動(dòng)上界未知的問(wèn)題,設(shè)計(jì)了基于自適應(yīng)估計(jì)的終端滑??刂撇呗?可以使機(jī)械臂的位置跟蹤誤差和速度誤差在有限時(shí)間收斂到0。

    雖然終端滑??刂平鉀Q了有限時(shí)間收斂問(wèn)題,但由于高頻切換導(dǎo)致的抖振現(xiàn)象并未消除。解決的主要方法有采用飽和函數(shù)和特殊冪次函數(shù)等連續(xù)平滑函數(shù)替代符號(hào)函數(shù),以及改進(jìn)趨近律方法等。文獻(xiàn)[15]采用特殊冪次函數(shù)代替切換控制項(xiàng)中的符號(hào)函數(shù)以削弱抖振。文獻(xiàn)[16]和文獻(xiàn)[17]分別設(shè)計(jì)了自適應(yīng)趨近律和帶有變系數(shù)的雙冪次趨近律,以使控制器輸出連續(xù)的控制信號(hào),抑制抖振的同時(shí)還可以加快系統(tǒng)響應(yīng)速度。文獻(xiàn)[18]采用飽和函數(shù)替換符號(hào)函數(shù)達(dá)到抑制抖振的目的,但邊界層問(wèn)題成為另一個(gè)制約控制器性能的因素,較窄的邊界層無(wú)法有效消除抖振,而較寬的邊界層會(huì)降低系統(tǒng)控制精度。此類使用連續(xù)平滑函數(shù)的方法雖然都能在一定程度上改善抖振現(xiàn)象,但也會(huì)影響系統(tǒng)的魯棒性和控制精度。而采用高階滑模中的超螺旋算法是另一種有效的方法,在保證控制器性能的同時(shí)對(duì)抖振也有著良好的改善效果,文獻(xiàn)[19]采用超螺旋算法設(shè)計(jì)高階滑??刂破?結(jié)合模糊推理系統(tǒng)逼近系統(tǒng)模型,實(shí)現(xiàn)了高效的機(jī)械臂軌跡跟蹤控制。文獻(xiàn)[20]采用時(shí)延估計(jì)建立機(jī)械臂局部模型,基于超螺旋算法設(shè)計(jì)控制律,使系統(tǒng)具備了強(qiáng)魯棒性、消除抖振的優(yōu)點(diǎn)。文獻(xiàn)[21]提出一種自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階超螺旋滑??刂撇呗?自適應(yīng)算法用于估計(jì)系統(tǒng)集總擾動(dòng)上界,采用分?jǐn)?shù)階理論與超螺旋算法結(jié)合的方式構(gòu)造控制器以使系統(tǒng)狀態(tài)快速收斂,同時(shí)達(dá)到抑制抖振的目的。此外,反演控制是一種針對(duì)被控對(duì)象的具有外部干擾及變化特性的一種有效控制方法,近年來(lái)受到了學(xué)者們的廣泛研究與關(guān)注[22-23]。反演控制采用遞歸設(shè)計(jì)思想,將復(fù)雜的非線性系統(tǒng)分解成多個(gè)低階子系統(tǒng),然后分別設(shè)計(jì)Lyapunov函數(shù)和虛擬控制輸入,對(duì)參數(shù)不確定系統(tǒng)有著非常好的魯棒性。將反演控制與滑模控制結(jié)合設(shè)計(jì)控制器,可以進(jìn)一步增強(qiáng)系統(tǒng)對(duì)非匹配不確定性的魯棒性。

    在上述文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上,提出一種應(yīng)用于機(jī)械臂系統(tǒng)的自適應(yīng)反演超螺旋全局快速終端滑模控制策略。本文所做的主要工作和創(chuàng)新點(diǎn)如下:① 利用反演設(shè)計(jì)法將機(jī)械臂系統(tǒng)分解成低階子系統(tǒng),使系統(tǒng)擁有對(duì)外部擾動(dòng)及參數(shù)不確定性的強(qiáng)魯棒性,然后結(jié)合全局快速終端滑模函數(shù)設(shè)計(jì)控制器,保證系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)收斂到平衡點(diǎn),改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性。② 采用自適應(yīng)技術(shù)在線實(shí)時(shí)估計(jì)機(jī)械臂系統(tǒng)集總擾動(dòng)上界,所以不需要擾動(dòng)上界的先驗(yàn)知識(shí)。③ 在控制器中引入超螺旋算法,保證控制性能的同時(shí)有效抑制抖振。最后通過(guò)對(duì)比仿真及數(shù)據(jù)分析驗(yàn)證了所提算法具有高精度軌跡跟蹤、強(qiáng)魯棒性、快速的動(dòng)態(tài)響應(yīng)及有限時(shí)間收斂性的特點(diǎn)。

    1 機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型

    考慮外部干擾、非線性摩擦以及系統(tǒng)參數(shù)攝動(dòng)等不確定性因素影響,n自由度機(jī)械臂拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程可描述如下:

    (1)

    式(1)描述的機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)方程可改寫為

    (2)

    (3)

    在進(jìn)行后續(xù)控制器設(shè)計(jì)之前,對(duì)上述機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型做出如下假設(shè)。

    假設(shè)[13]集總擾動(dòng)滿足約束條件:

    (4)

    2 控制器設(shè)計(jì)及穩(wěn)定性分析

    根據(jù)反演法的遞推思想結(jié)合全局快速終端滑??刂评碚摌?gòu)造控制器,不僅可以加快控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度,同時(shí)還能夠增強(qiáng)系統(tǒng)的魯棒性。通過(guò)設(shè)計(jì)合適的控制量τ,使得系統(tǒng)滿足兩個(gè)條件:一是閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定;二是系統(tǒng)狀態(tài)可以在有限時(shí)間內(nèi)收斂到0。反演設(shè)計(jì)方法整體上分為兩步:① 利用Lyapunov函數(shù)構(gòu)造虛擬控制量;② 在步驟①的基礎(chǔ)上,選擇合適的滑模函數(shù)設(shè)計(jì)控制律。

    ① 定義位置跟蹤誤差及其一階導(dǎo)數(shù):

    e=q-qd=x1-qd

    (5)

    (6)

    反演法與Lyapunov理論結(jié)合設(shè)計(jì)控制器的過(guò)程中,要保證系統(tǒng)始終是穩(wěn)定的,為此將第一個(gè)Lyapunov函數(shù)定義為

    (7)

    定義虛擬控制量x2,其表達(dá)式為

    (8)

    式中:s為滑模函數(shù);χ為大于0的常數(shù)。

    取式(7)的一階導(dǎo)數(shù),再將式(8)代入可以得到:

    (9)

    ② 選擇合適的滑模函數(shù)進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì),并從理論上證明所設(shè)計(jì)控制器的穩(wěn)定性。本文選擇全局快速終端滑模函數(shù):

    (10)

    式中:α、β為正常數(shù),p/q>1。

    進(jìn)行有限時(shí)收斂分析,令tr為任意初始狀態(tài)到達(dá)平衡狀態(tài)s(0)=s(tr)=0的時(shí)間,則存在一個(gè)大于0的常數(shù)κ,使得tr≤s/κ成立。此時(shí),系統(tǒng)狀態(tài)能夠在tr內(nèi)到達(dá)滑模面;系統(tǒng)從e(tr)≠0收斂到e(ts+tr)=0的時(shí)間為ts,在此過(guò)程中s=0,有:

    (11)

    通過(guò)以上分析可知,設(shè)定合適的α、β、p、q的值,就可保證系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間ts內(nèi)收斂到平衡點(diǎn)。

    然后進(jìn)行全局快速終端滑??刂破髟O(shè)計(jì),取式(10)的一階導(dǎo)數(shù):

    (12)

    在保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的同時(shí),也使系統(tǒng)狀態(tài)始終位于滑模面上,定義第二個(gè)Lyapunov函數(shù):

    (13)

    取其一階導(dǎo)數(shù)并代入式(3)、式(9)及式(12):

    (14)

    根據(jù)等效控制設(shè)計(jì)思想,機(jī)械臂控制力矩τ由等效控制τeq和切換控制τsw組成,即:

    τ=τeq+τsw

    (15)

    根據(jù)式(14)設(shè)計(jì)等效控制項(xiàng)τeq:

    (16)

    切換控制項(xiàng)τsw用于處理系統(tǒng)不確定性,保證系統(tǒng)魯棒性,設(shè)計(jì)為

    (17)

    式中:k>0。

    在進(jìn)行反演設(shè)計(jì)的過(guò)程中,假設(shè)系統(tǒng)集總不確定性的上界是已知的,因此切換控制律式(17)的設(shè)計(jì)是合理且有效的。

    將所設(shè)計(jì)的控制器式(15)代入到式(14)中,經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化可以得到:

    (18)

    (19)

    (20)

    對(duì)上式求導(dǎo),并代入式(14),可以得到:

    (21)

    將控制律(15)~控制律(17)和自適應(yīng)律(19)代入式(21)可得:

    ≤-χe2-Λ|s|

    (22)

    (23)

    由上述分析可知式(23)是有界的,因此根據(jù)Barbalat引理有:

    (24)

    即ce2+Λ|s|最終漸近收斂到0。綜合以上分析,所設(shè)計(jì)的控制器可保證系統(tǒng)漸近穩(wěn)定以及使軌跡跟蹤誤差能夠在有限時(shí)間內(nèi)收斂到0。

    在以上控制器的設(shè)計(jì)過(guò)程中,并未考慮由于高頻切換導(dǎo)致的抖振對(duì)系統(tǒng)造成的負(fù)面影響。引入超螺旋算法不僅能對(duì)滑??刂拼嬖诘亩墩瘳F(xiàn)象進(jìn)行有效抑制,亦能保證控制器跟蹤性能,不損失滑模不變性。超螺旋算法表達(dá)式如下:

    (25)

    根據(jù)式(25)對(duì)切換控制律(17)進(jìn)行重新設(shè)計(jì),然后可以得到最終的控制器:

    (26)

    (27)

    其中,ω是一個(gè)數(shù)值較小的正常數(shù),如果取值過(guò)大,那么就會(huì)產(chǎn)生較大的余量,在一定程度上會(huì)影響系統(tǒng)的控制精度;而過(guò)小的ω值將難以維持死區(qū)條件|s|<ω甚至無(wú)法得到|s|<ω,這將再度導(dǎo)致參數(shù)自適應(yīng)估計(jì)值緩慢增長(zhǎng),因此取值時(shí)應(yīng)該綜合考慮實(shí)際情況。

    3 仿真分析

    為了驗(yàn)證本文設(shè)計(jì)控制器的有效性,使用二自由度機(jī)械臂模型,利用設(shè)計(jì)的控制器實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂軌跡跟蹤,機(jī)械臂模型如圖1所示。

    圖1 機(jī)械臂模型示意圖

    機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)方程中各矩陣具體形式如下:

    M(q)=[m11,m12;m21,m22]

    G(q)=[g1;g2]

    c22=0

    g1=(m1r1+m2l1)gcos(q1)+m2gr2cos(q1+q2)

    g2=m2gr2cos(q1+q2)

    τd=[τd1,τd2]T

    機(jī)械臂物理參數(shù)及控制器參數(shù)分別如表1和表2所示。

    表1 機(jī)械臂模型參數(shù)

    表2 控制器參數(shù)

    為體現(xiàn)本文設(shè)計(jì)控制算法的有效性,與文獻(xiàn)[13]和文獻(xiàn)[18]中設(shè)計(jì)的控制器進(jìn)行比較。

    文獻(xiàn)[13]設(shè)計(jì)的控制器如下:

    (28)

    式中:αc=βc=3;η1=1.9;η2=5/3;δ=0.5;其余參數(shù)與表2相同。

    文獻(xiàn)[18]設(shè)計(jì)的控制器如下:

    (29)

    式中:α0=α3=3;α1=α2=1;γ1=0.4;γ2=2γ1/(1+γ1);=4;ε=0.1,其余參數(shù)與表2相同。

    機(jī)械臂兩關(guān)節(jié)位置軌跡跟蹤對(duì)比如圖2所示。

    圖2 關(guān)節(jié)1、2位置跟蹤

    機(jī)械臂兩關(guān)節(jié)速度軌跡跟蹤對(duì)比如圖3所示。機(jī)械臂軌跡跟蹤誤差對(duì)比如圖4所示。

    圖3 關(guān)節(jié)1、2速度跟蹤對(duì)比

    圖4 關(guān)節(jié)1、2跟蹤誤差

    從圖2和圖3的仿真結(jié)果可以看出,本文方法能夠使系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)跟蹤期望軌跡,且擁有最快的動(dòng)態(tài)響應(yīng)時(shí)間。由圖4可以看出,本文方法的位置軌跡誤差響應(yīng)時(shí)間在約0.86 s后能夠達(dá)到預(yù)期跟蹤效果,而對(duì)比算法分別在約1.3 s和1.8 s后方能實(shí)現(xiàn)期望跟蹤效果,對(duì)比結(jié)果表明本文算法動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性要優(yōu)于對(duì)比算法。

    機(jī)械臂關(guān)節(jié)控制力矩對(duì)比結(jié)果如圖5所示。

    圖5 關(guān)節(jié)1、2控制力矩

    由圖5可以看出,文獻(xiàn)[13]中的方法產(chǎn)生了劇烈抖振,文獻(xiàn)[18]中的方法使用飽和函數(shù)雖然在一定程度上削弱了抖振現(xiàn)象,但這種方法會(huì)降低系統(tǒng)的魯棒性,而本文提出的方法通過(guò)引入超螺旋算法,對(duì)抖振的抑制效果明顯,更具有優(yōu)勢(shì)。

    圖6是自適應(yīng)參數(shù)估計(jì)值收斂過(guò)程,通過(guò)死區(qū)技術(shù)調(diào)整的自適應(yīng)律最終使系統(tǒng)參數(shù)估計(jì)值收斂到了穩(wěn)定值。圖7為滑模變量s的響應(yīng)曲線,s收斂到平衡狀態(tài)的時(shí)間為0.315 s,此時(shí)e≠0,根據(jù)所選參數(shù),誤差e在0.863 s后收斂到平衡點(diǎn)。

    圖6 參數(shù)自適應(yīng)估計(jì)變化曲線

    圖7 狀態(tài)響應(yīng)曲線

    為了更加直觀地體現(xiàn)控制器性能,引入以下兩種性能指標(biāo)比較控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性[24]。

    指標(biāo)①:誤差絕對(duì)值積分指標(biāo)。

    (30)

    指標(biāo)②:誤差絕對(duì)值與時(shí)間乘積積分指標(biāo)。

    (31)

    表3給出了各控制方法下的性能指標(biāo)。

    表3 性能指標(biāo)對(duì)比

    從表3中的數(shù)據(jù)可以看出,本文方法具有更小的IIAE和IITAE的值,即具有更高的控制精度。綜合以上所有對(duì)比仿真分析可知,本文所提出的算法具有更好的控制性能,能夠?qū)崿F(xiàn)快速收斂、高精度軌跡跟蹤,且具備全局收斂性,對(duì)抖振有著良好的抑制效果。

    4 結(jié)束語(yǔ)

    提出了一種自適應(yīng)反演超螺旋全局快速終端滑??刂撇呗?實(shí)現(xiàn)了機(jī)械臂系統(tǒng)在集總擾動(dòng)上界未知情況下的軌跡跟蹤控制問(wèn)題??刂破魇墙Y(jié)合反演法和Lyapunov函數(shù)推導(dǎo)的,保證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性;自適應(yīng)技術(shù)對(duì)系統(tǒng)集總擾動(dòng)的上界進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì),驅(qū)使系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)收斂到平衡點(diǎn);切換控制中引入的超螺旋算法使控制器產(chǎn)生了連續(xù)平滑的驅(qū)動(dòng)力矩,避免了抖振問(wèn)題。對(duì)比仿真表明,所提控制策略具有更快的收斂速度,更高的控制精度以及全局收斂性。此外,該控制算法僅需位置及速度的測(cè)量信息,無(wú)需擾動(dòng)上界的先驗(yàn)知識(shí),因此更具實(shí)用性。

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