周邊固支效應(yīng)靶薄板沖擊響應(yīng)的穩(wěn)健性分析

翟紅波，李尚青，毛伯永，丁 剛，蘇健軍

（西安近代化學(xué)研究所 西安，710065）

引言

沖擊波超壓是裝藥爆炸的主要效應(yīng)之一，相關(guān)測(cè)試方法受到諸多關(guān)注［1-3］。壓電式壓力傳感器電測(cè)法是應(yīng)用最廣泛的方法，其采用壓電材料作為傳感器敏感部件，將沖擊波壓力信號(hào)轉(zhuǎn)換為電信號(hào)，基于壓電晶體壓電效應(yīng)解算出壓力的時(shí)間歷程曲線，具有準(zhǔn)確性高、信息全的優(yōu)點(diǎn)；但其布設(shè)較為復(fù)雜，耗時(shí)長(zhǎng)，爆炸近區(qū)生存性差，難以適應(yīng)大規(guī)模移動(dòng)式的工程測(cè)試。效應(yīng)靶測(cè)試法利用沖擊波加載條件下金屬薄板的塑性變形量，定量表征沖擊波的特征參數(shù)，裝配簡(jiǎn)單，布設(shè)方便，是壓電式壓力傳感器電測(cè)法的有益補(bǔ)充。

近年來(lái)，爆炸沖擊波作用下金屬薄板塑性變形方面的研究較多，并取得了一些有價(jià)值的研究成果。李旭東等［4］分析了爆炸與均布載荷耦合加載下固支鋼板的破壞效應(yīng)。傅輝剛等［5］通過(guò)有限元模擬方法，建立了薄板變形撓度、爆心距以及TNT 當(dāng)量之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系，探討了沖擊波能量譜、薄板自振頻率對(duì)薄板變形的影響規(guī)律。姬建榮等［6］通過(guò)激波管試驗(yàn)，建立了某型圓形鋁板的最大撓度、激波峰值之間的關(guān)系。李麗萍等［7］在靶場(chǎng)試驗(yàn)的基礎(chǔ)上，建立了薄板變形與交會(huì)條件的量綱分析模型，通過(guò)炸高參量的引入考慮了沖擊波入射角度對(duì)薄板變形的影響，該模型經(jīng)過(guò)試驗(yàn)驗(yàn)證，對(duì)于一定范圍內(nèi)的沖擊波壓力測(cè)量工程問(wèn)題具有良好的指導(dǎo)作用。張顯丕等［8］將效應(yīng)靶拓展應(yīng)用于裝藥水下近場(chǎng)爆炸測(cè)試，基于能量吸收比例系數(shù)，提出了無(wú)量綱化的威力損傷因子，建立了不同規(guī)格靶板的變形等效關(guān)系。這些效應(yīng)靶塑性變形的研究都為效應(yīng)靶的壓力測(cè)量工程應(yīng)用打下了基礎(chǔ)。

效應(yīng)靶的敏感元件為金屬薄板，其幾何尺寸、材料參數(shù)及外載荷等存在隨機(jī)性，導(dǎo)致薄板變形值出現(xiàn)隨機(jī)性，進(jìn)而影響壓力測(cè)量的準(zhǔn)確性。關(guān)于金屬薄板變形穩(wěn)健性的研究較少，且多局限在靜態(tài)載荷、裝配工藝［9］等方面。靈敏度分析是隨機(jī)研究的重要方法，已廣泛應(yīng)用于很多領(lǐng)域［10-12］。筆者基于效應(yīng)靶圓板的沖擊響應(yīng)理論計(jì)算方法，結(jié)合Monte-Carlo數(shù)值模擬的可靠性靈敏度分析方法，分析了主要因素對(duì)周邊固支效應(yīng)靶薄板變形穩(wěn)健性及其靈敏度的影響，有助于明晰效應(yīng)靶設(shè)計(jì)的主控參量，為壓力效應(yīng)靶的設(shè)計(jì)與應(yīng)用提供參考。

1 沖擊波作用下周邊固支效應(yīng)靶薄板的變形計(jì)算方法

1.1 周邊固支效應(yīng)靶薄板的力學(xué)模型

某5 孔式壓力效應(yīng)靶如圖1 所示，由基座、中間體、響應(yīng)膜片、蓋板、引壓孔、壓緊螺栓孔及壓緊螺栓等構(gòu)成，響應(yīng)膜片通過(guò)中間體與蓋板的緊固連接而固定。當(dāng)外界沖擊波作用到效應(yīng)靶時(shí)，首先通過(guò)蓋板上的引壓孔，然后作用到響應(yīng)膜片上。引壓孔具有一定的倒角，以抑制稀疏波的產(chǎn)生，降低其對(duì)壓力效應(yīng)靶變形的干擾。

圖1 某5 孔式壓力效應(yīng)靶Fig.1 A circular effect target with five hole

圖2 為圓形薄板結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)化力學(xué)模型。在沖擊波壓力的作用下，響應(yīng)膜片發(fā)生彎曲變形（方向與載荷作用方向一致），膜片上部由于壓縮為壓應(yīng)力區(qū)，膜片下部由于拉伸為拉應(yīng)力區(qū)。當(dāng)拉壓應(yīng)力超過(guò)材料的屈服極限時(shí)，響應(yīng)膜片發(fā)生塑性變形；當(dāng)拉壓應(yīng)力超過(guò)材料的極限強(qiáng)度時(shí)，效應(yīng)靶斷裂。若沖擊波波陣面法線與效應(yīng)靶膜片表面垂直，即正入射情況，則壓力效應(yīng)靶的最大撓度出現(xiàn)在膜片幾何中心處，此時(shí)最大撓度值主要取決于沖擊波超壓峰值及沖量，可采用最大撓度表征爆炸沖擊波壓力，將該效應(yīng)靶作為壓力測(cè)量工具來(lái)使用。

圖2 圓形薄板結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)化力學(xué)模型Fig.2 The simplified mechanics mode of circular sheet structure

通過(guò)壓緊螺栓，將圓形薄板固定于中間體與蓋板之間，形成圓形薄板的周邊固支邊界。

1.2 薄板在沖擊波作用下的變形計(jì)算方法

薄板在沖擊波作用下的響應(yīng)分析，采用如下假設(shè)：

1）薄板響應(yīng)撓度遠(yuǎn)大于薄板厚度，因此只考慮膜力，不考慮彎矩對(duì)變形的影響［13］；

2）薄板周邊為理想的固支約束，忽略螺釘緊固、表面平整度等導(dǎo)致的結(jié)合部間隙問(wèn)題；

3）薄板所受載荷為均布載荷，忽略沖擊波壓力載荷的時(shí)空不均勻性［14］；

4）薄板為理想彈塑性結(jié)構(gòu)。

因此，效應(yīng)靶金屬薄板在爆炸沖擊波作用下的響應(yīng)方程［15］可以表示為

其中：A為效應(yīng)靶圓形薄板面積；P(t)為作用在薄板表面的均布沖擊波壓力；t為時(shí)刻；ρ為薄板材料密度；h為薄板厚度；ω為薄板位移響應(yīng)；為薄板變形速度；為薄板變形加速度；Nr和Nθ分別為薄板徑向和周向的膜力；分別為薄板徑向和周向的曲率。

假設(shè)薄板變形滿足Von Mises 屈服理論，圓形薄板的膜力為

其中：σd為材料的動(dòng)態(tài)屈服應(yīng)力。

式（1）中左邊積分表示外加沖擊壓力和慣性力的功率，右邊第1 個(gè)積分表示在任意塑性鉸處耗散的能量，第2 個(gè)積分表示在任何連續(xù)變形場(chǎng)中耗散的能量。對(duì)于四周固支圓薄板結(jié)構(gòu)，其沿邊界的位移響應(yīng)ω=0，則右邊第1 項(xiàng)為0。

考慮均布沖擊波壓力作用，則薄板任意位置處的位移響應(yīng)可表示為

其中：W為薄板中心位置的位移響應(yīng)；r為離薄板中心位置的距離；R為薄板半徑；α為薄板變形輪廓參數(shù)，其取值與材料有關(guān)，當(dāng)材料為純鋁時(shí)，α取值為3。

按峰值不變、沖量相等的原則，將沖擊波壓力載荷簡(jiǎn)化為等效三角形載荷［16-17］，即

其中：P0為沖擊波壓力峰值；τ為沖擊荷載持續(xù)正壓作用時(shí)間；Te為薄板停止運(yùn)動(dòng)的時(shí)刻。

根據(jù)載荷歷程，可將薄板結(jié)構(gòu)的響應(yīng)分為兩個(gè)階段。將式（4）、式（5）代入式（1），并經(jīng)過(guò)一系列整理，可得到周邊固支效應(yīng)靶薄板在沖擊波壓力作用下的中心點(diǎn)變形撓度

1.3 變形計(jì)算方法的試驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證該中心點(diǎn)變形計(jì)算方法，開(kāi)展相關(guān)爆炸試驗(yàn)。裝藥為1 000 kg 某炸藥，近地爆炸，爆炸場(chǎng)地面平坦。在距爆心30 m 處，布設(shè)壓力效應(yīng)靶，效應(yīng)靶結(jié)構(gòu)見(jiàn)圖1。效應(yīng)靶布設(shè)時(shí)，敏感面與地面平齊，同時(shí)在相鄰位置布設(shè)內(nèi)置電路壓電式壓力傳感器。壓力效應(yīng)靶與壓力傳感器的爆心距相同，用于測(cè)量壓力效應(yīng)靶上的沖擊波壓力載荷。圖3 為靜爆試驗(yàn)沖擊波壓力測(cè)試布場(chǎng)圖，左側(cè)2 個(gè)圓面中心安裝了電測(cè)壓力傳感器，右側(cè)為壓力效應(yīng)靶，兩者與爆心的距離一致。

圖3 靜爆試驗(yàn)沖擊波壓力測(cè)試布場(chǎng)圖Fig.3 Shockwave test layout diagram of the static explosion

試驗(yàn)中，采用壓力傳感器測(cè)得的該處沖擊波壓力峰值為0.234 MPa，正壓作用時(shí)間為8.454 ms，沖量為986 Pa?s。將其簡(jiǎn)化為三角波載荷曲線，峰值為0.234 MPa，正壓作用時(shí)間約為4.002 ms。效應(yīng)靶薄板所用材料為延展性較好的1060 鋁，其動(dòng)態(tài)屈服應(yīng)力為28 MPa，密度為2 700 kg/m3，膜片直徑為30 mm，厚度為0.2 mm。基于該簡(jiǎn)化載荷，分別采用式（6）與有限元仿真方法，得到不同方法的薄板中心點(diǎn)撓度對(duì)比，如表1 所示。

表1 不同方法得到的薄板中心點(diǎn)撓度對(duì)比Tab.1 Comparison of center point deflection results with different means

由表1 可知，該中心點(diǎn)變形撓度計(jì)算模型所得結(jié)果與試驗(yàn)值相對(duì)偏差為5.97%，相比仿真結(jié)果的偏差稍大。這主要是由于該響應(yīng)模型未考慮彎矩和沖擊波載荷不均勻性的影響，但該結(jié)果依然小于爆炸場(chǎng)沖擊波壓力動(dòng)態(tài)測(cè)量的不確定度12%，在可接受范圍內(nèi)。

2 變形穩(wěn)健性表征方法

壓力效應(yīng)靶通過(guò)薄板中心點(diǎn)撓度獲取爆炸沖擊波壓力，所以其變形的穩(wěn)健性非常重要。效應(yīng)靶薄板在爆炸作用下的響應(yīng)過(guò)程較為復(fù)雜，受到薄板尺寸、材料參數(shù)以及沖擊波形等因素的影響。這些因素具有一定的隨機(jī)性，導(dǎo)致薄板變形也會(huì)出現(xiàn)隨機(jī)性，從而影響壓力效應(yīng)靶的測(cè)量精度。

為降低這種隨機(jī)性的影響，應(yīng)將薄板變形控制在一定范圍內(nèi)。假定某條件下薄板中心點(diǎn)撓度為Wf，隨機(jī)參數(shù)條件下中心點(diǎn)撓度為W，最大允許偏差為k。當(dāng)1-k

其中：x為隨機(jī)參數(shù)的向量。

在數(shù)學(xué)上，薄板中心變形的穩(wěn)健性指標(biāo)可表示為

其中：θx為隨機(jī)變量x的分布參數(shù)；fx為x的聯(lián)合分布概率密度函數(shù)。

3 穩(wěn)健性靈敏度分析

式（8）的非線性程度較高，采用Monte-Carlo 法進(jìn)行分析，計(jì)算結(jié)果最為精確。極限狀態(tài)函數(shù)z(x)為基本隨機(jī)變量x={x1，x2，…，xn}T的函數(shù)，有效域定義為Ω={x：z(x)<0}，式（8）可以轉(zhuǎn)化為［18］

其中：Rn為n維變量空間；IΩ(x)為有效域的指示函數(shù)。

IΩ(x)可表示為

薄板變形穩(wěn)健性的靈敏度可通過(guò)對(duì)分布參數(shù)θi求導(dǎo)得到，即

假設(shè)各隨機(jī)變量xi(i=1，2，…，n)均服從正態(tài)分布且相互獨(dú)立，分布參數(shù)為μi和σ2i，則式（12）右端的可表示為

式（12）右端為總體均值，此時(shí)用Monte Carlo 法抽取的樣本均值代替，就能夠得到變形穩(wěn)健性對(duì)各影響因素分布參數(shù)的靈敏度。為了便于對(duì)比分析，還需將靈敏度值做相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)化處理［19］

4 結(jié)果與討論

4.1 抽樣次數(shù)的影響

采用圖1 所示的壓力效應(yīng)靶，壓力載荷峰值取0.3 MPa，正壓作用時(shí)間取5 ms，輸入變量的隨機(jī)分布類型及參數(shù)如表2 所示。最大允許偏差k設(shè)為0.1，即薄板變形值偏離10%以內(nèi)是可接受的。

表2 輸入變量的隨機(jī)分布類型及參數(shù)Tab.2 Distribution patterns and parameters of input variables

采用Monte Carlo 法計(jì)算該工況的變形穩(wěn)健性，模擬次數(shù)從1 000 次到100 萬(wàn)次。變形穩(wěn)健性和抽樣次數(shù)的關(guān)系如圖4 所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，在抽樣次數(shù)為30 萬(wàn)次以下時(shí)，變形穩(wěn)健性的計(jì)算結(jié)果波動(dòng)較大；隨著抽樣次數(shù)的增加，計(jì)算結(jié)果趨于穩(wěn)定。這說(shuō)明薄板變形穩(wěn)健性分析的非線性較強(qiáng)，需要很大的樣本量。為保證計(jì)算精度，后面計(jì)算的抽樣次數(shù)均采用100 萬(wàn)次。

圖4 變形穩(wěn)健性和抽樣次數(shù)的關(guān)系Fig.4 The curves of deformation robustness and sampling times

4.2 各變量對(duì)穩(wěn)健性的影響

不同質(zhì)量裝藥爆炸時(shí)，產(chǎn)生的沖擊波波形結(jié)構(gòu)不同。為分析壓力效應(yīng)靶在不同爆炸工況下的適用性，計(jì)算該型薄板在不同波形壓力作用下的變形穩(wěn)健性。所有輸入變量均服從正態(tài)分布。薄板密度為2 700 kg/m3，變異系數(shù)為0.01；薄板半徑為15 mm，變異系數(shù)為0.02；薄板厚度為0.2 mm，變異系數(shù)為0.03；動(dòng)態(tài)屈服應(yīng)力為28 MPa，變異系數(shù)為0.03。壓力峰值與正壓作用時(shí)間的變異系數(shù)取0.001。圖5 所示為變形穩(wěn)健性和正壓作用時(shí)間的關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)，隨著正壓作用時(shí)間的變化，變形穩(wěn)健性基本不變，說(shuō)明在正壓作用時(shí)間1～10 ms 范圍內(nèi)，薄板變形穩(wěn)健性結(jié)果趨于一致。

圖5 變形穩(wěn)健性和正壓作用時(shí)間的關(guān)系Fig.5 The curves of deformation robustness and positive pressure action time

爆炸沖擊波壓力峰值可按薩道夫斯基公式計(jì)算［20］，即

其中：m為裝藥的TNT 當(dāng)量；s為距裝藥中心的距離。

爆炸沖擊波比沖量可按式（17）計(jì)算［21］

其中：C為與炸藥性能有關(guān)的系數(shù)，對(duì)于TNT，可取196～245。

聯(lián)合式（16）與式（17），可以得到壓力峰值為0.3 MPa、比沖量為300～3 000 Pa?s 對(duì)應(yīng)的裝藥質(zhì)量約為80～80 000 kg，涵蓋了中大型爆炸裝藥質(zhì)量。說(shuō)明該型效應(yīng)靶能夠用于多種爆炸工況，適用范圍較廣。

針對(duì)不同的測(cè)試工況，設(shè)計(jì)了多種規(guī)格薄板的效應(yīng)靶。分析4 種典型薄板的變形穩(wěn)健性，如表3 所示。所有輸入變量均服從正態(tài)分布，薄板半徑變異系數(shù)取0.02，厚度變異系數(shù)取0.03；壓力峰值為0.03 MPa，正壓作用時(shí)間為3 ms，二者變異系數(shù)為0.001；薄板密度和動(dòng)態(tài)屈服應(yīng)力的取值與圖5 的算例相同。由表3 可知：薄板1，2，3 的厚度相同，半徑梯次增大，而穩(wěn)健性逐漸降低，說(shuō)明薄板厚度相同時(shí)其變形穩(wěn)健性隨半徑厚度比增大而降低；薄板4 的半徑是薄板1 的10 倍，但二者的半徑厚度比相同，薄板4的變形穩(wěn)健性顯著小于薄板1，說(shuō)明半徑厚度比相同時(shí)薄板變形穩(wěn)健性隨厚度的增大而降低。這是由于薄板沖擊變形與半徑的4 次方基本呈正比，與薄板厚度呈反比，當(dāng)半徑厚度比增大時(shí)，半徑對(duì)變形值的影響急劇增加，進(jìn)而導(dǎo)致變形值的變異系數(shù)增加，穩(wěn)健性下降。因此，設(shè)計(jì)效應(yīng)靶時(shí)，應(yīng)在允許范圍內(nèi)縮小薄板半徑，增大薄板厚度，以此增加其變形穩(wěn)健性，有助于提高測(cè)試精度。

表3 4 種典型薄板的變形穩(wěn)健性Tab.3 Deformation robustness of four typical thin plates

4.3 各變量對(duì)穩(wěn)健性靈敏度的影響

以表3 中的薄板1 為研究對(duì)象，參數(shù)取值與其相同。為簡(jiǎn)化研究，將壓力峰值、正壓作用時(shí)間作為確定量。薄板的材料密度ρ、厚度h、動(dòng)態(tài)屈服應(yīng)力σd以及半徑R仍為隨機(jī)變量，服從正態(tài)分布且相互獨(dú)立，薄板的3 組變異系數(shù)如表4 所示。

表4 薄板的3 組變異系數(shù)Tab.4 Three sets of coefficient of variation of the thin plates

計(jì)算3 種變異系數(shù)下薄板變形穩(wěn)健性對(duì)4 種變量的靈敏度，其中：μρ為ρ的均值，σρ為ρ的標(biāo)準(zhǔn)差；μh為h的均值，σh為h的標(biāo)準(zhǔn)差；μσd為σd的均值，σσd為σd的標(biāo)準(zhǔn)差；μR為R的均值，σR為R的標(biāo)準(zhǔn)差。不同變異系數(shù)下薄板變形穩(wěn)健性靈敏度計(jì)算結(jié)果和餅圖分別如表5 和圖6 所示。可以發(fā)現(xiàn)，各變量的靈敏度隨著變異系數(shù)的增大而增大，其中薄板半徑標(biāo)準(zhǔn)差σR的靈敏度最大，是變形穩(wěn)健性的主控參量。因此，在效應(yīng)靶設(shè)計(jì)加工中，應(yīng)重點(diǎn)控制薄板半徑的一致性，減小半徑的標(biāo)準(zhǔn)差，以提高薄板變形的穩(wěn)健性。

表5 不同變異系數(shù)下薄板變形穩(wěn)健性靈敏度計(jì)算結(jié)果Tab.5 The robustness sensitivity with different coefficient of variation

圖6 不同變異系數(shù)下穩(wěn)健性靈敏度餅圖Fig.6 The pie chart of robustness sensitivity with different coefficient of variation

5 結(jié)束語(yǔ)

結(jié)合周邊固支效應(yīng)靶薄板的沖擊響應(yīng)理論與基于Monte-Carlo 數(shù)值模擬的可靠性靈敏度分析方法，提出一種周邊固支效應(yīng)靶薄板變形穩(wěn)健性表征方法，分析了主要因素對(duì)變形穩(wěn)健性及其靈敏度的影響規(guī)律。結(jié)果表明，薄板變形穩(wěn)健性隨半徑厚度比、厚度的增大而降低；薄板半徑標(biāo)準(zhǔn)差的靈敏度最大，是薄板變形穩(wěn)健性的主控參量。所得結(jié)果為周邊固支效應(yīng)靶的設(shè)計(jì)與壓力測(cè)量分析提供了參考。