立足基礎(chǔ)，多元表征，辨析對比，感悟算理
——“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”拓展內(nèi)容的實踐與思考

□袁 慧

一、教材的一處變動引發(fā)的思考

2023 年新修訂的人教版教材在三年級下冊“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”單元的“筆算乘法”中重現(xiàn)了歸納計算法則（如圖1）。而在這版教材之前，依據(jù)《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（實驗稿）》編寫的人教版教材基本都未對計算法則進行整體梳理。這些教材通常只是以人物對話的形式呈現(xiàn)小組討論的要求，讓學(xué)生在互相討論的基礎(chǔ)上，歸納出乘數(shù)是兩位數(shù)的乘法的計算步驟，總結(jié)筆算乘法的計算法則。不過，早在2003 年，浙江省使用的教材（浙江教育出版社出版，以下簡稱“省編教材”）就已經(jīng)對計算方法進行了歸納呈現(xiàn)（如圖2）。

圖1

圖2

仔細研讀對計算法則有整體梳理的相關(guān)教材，發(fā)現(xiàn)：從表述上看，“省編教材”的計算法則明確表明要拆分第二個因數(shù)，2023 版人教版教材的計算法則中則沒有這個規(guī)定，既可以拆分第一個乘數(shù)，也可以拆分第二個乘數(shù)。如今教材已經(jīng)更新，那么教師的教學(xué)行為有沒有發(fā)生變化呢？

二、教學(xué)后測引發(fā)的教學(xué)反思

筆者對某區(qū)城鎮(zhèn)小學(xué)和農(nóng)村小學(xué)共200 名四年級學(xué)生進行了問卷調(diào)查，考查學(xué)生對“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”算理的理解情況，調(diào)查問題如圖3所示。

圖3

從調(diào)查結(jié)果看，城鎮(zhèn)小學(xué)和農(nóng)村小學(xué)四年級學(xué)生的差異不大，這說明教師的教學(xué)行為基本相似。約90%的學(xué)生能看懂圖3的豎式計算，其中約50%的學(xué)生認為這樣做是錯誤的，因為這樣計算違反兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計算方法。有近100 名學(xué)生認為這種做法是正確的，其中約44%的學(xué)生能正確表述這種做法的算理，約39%的學(xué)生是通過乘、除法的驗算確定答案正確才認同這種做法的，還有約17%的學(xué)生無法表述認同的理由。

從上述調(diào)查結(jié)果分析中發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生已將筆算乘法固化成了程序性的計算流程，他們沒有真正理解筆算乘法的算理，不能靈活地應(yīng)用算理解決問題。這樣的結(jié)果與教師忽略對算理的理解，過于注重乘法計算方法的規(guī)范性有關(guān)。那么，如何破解筆算乘法中的教學(xué)難點呢？對此，整數(shù)乘法的歷史發(fā)展提供了啟示。歷史上整數(shù)乘法的計算方法多樣，其本質(zhì)是依據(jù)位值原則、數(shù)的組成與分解、運算規(guī)律和性質(zhì)，將多位數(shù)乘法轉(zhuǎn)化為表內(nèi)乘法口訣，與拆分哪個因數(shù)、從哪一位上乘起無關(guān)。［1］因此，有必要讓學(xué)生“創(chuàng)造”出解決問題的多種方法，讓他們在對方法的分析、對比、聯(lián)系中理解算理、掌握算法。

三、基于理解算理的教學(xué)嘗試

為了讓學(xué)生真正理解乘法“先分后合”的運算本質(zhì)，避免他們按照筆算乘法程序性的計算流程操作，在新授“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”時，可以創(chuàng)設(shè)探究兩位數(shù)乘兩位數(shù)算理的系列學(xué)習(xí)活動，還可以在學(xué)生掌握豎式計算方法后，安排圖式幫助他們理解整數(shù)乘法“先分后合”原理的拓展內(nèi)容。本次嘗試是在學(xué)生掌握豎式計算方法后開展的拓展內(nèi)容教學(xué)，教學(xué)時強調(diào)立足知識基礎(chǔ)，引導(dǎo)大膽創(chuàng)新，通過圖式表征、意義表征和形式化表征的聯(lián)系，促進學(xué)生對算理的深度理解。

（一）聯(lián)系學(xué)習(xí)經(jīng)驗，激活認知基礎(chǔ)

教學(xué)中應(yīng)立足知識基礎(chǔ)，從學(xué)生已有經(jīng)驗出發(fā)，激活知識的聯(lián)結(jié)點，為后續(xù)學(xué)習(xí)知識方法的聯(lián)系、遷移、轉(zhuǎn)化做好鋪墊。本環(huán)節(jié)按照“豎式表征—圖式表征—橫式表征”的流程，通過對三者的比較，幫助學(xué)生理解算理的一致性，引導(dǎo)學(xué)生從意義和形式兩個方面初步感知乘法分配律。

1.豎式計算，回顧舊知

（1）布置任務(wù)：請你用豎式計算“23×14”，并說說每一步表示什么。

（2）學(xué)生用豎式計算后進行反饋。

師：誰來說說你是怎樣計算的？積中的每個數(shù)表示什么意思？

生：92是由23×4得到的，表示4個23；230是由23×10 得到的，表示10 個23；最后把兩部分積加起來，得出322。

2.動手操作，圖式表征

布置任務(wù)：讓學(xué)生在點子圖上分一分，把豎式的計算過程表示出來。

3.觀察比較，建立聯(lián)系

出示圖4，全班交流討論。

圖4

師：圖4 中的豎式計算和點子圖有怎樣的關(guān)系，兩者之間有什么相同點？

生：都是把14分成10和4，得到4個23和10個23來計算的。

生：都是運用“先分后合”的方法，先把兩位數(shù)乘兩位數(shù)轉(zhuǎn)化為兩位數(shù)乘整十數(shù)和兩位數(shù)乘一位數(shù)，再把兩部分的積加起來計算的。

師：豎式計算和點子圖都可以用橫式“23×14＝23×（10+4）＝23×10+23×4”來表示。

（二）基于最近發(fā)展區(qū)，創(chuàng)生生長點

數(shù)的運算中，很多時候是算法多樣、算理一致。因此在計算教學(xué)中，應(yīng)鼓勵學(xué)生從不同的角度看待問題，追求算法的多樣性，探尋算理的一致性。

1.經(jīng)歷“點子圖—豎式—橫式”的表征過程

（1）教師提問：剛才我們將點子圖橫著分，此外還可以怎么分？請你試一試，完成下面的學(xué)習(xí)任務(wù)單（一）。

（2）全班交流反饋。

在前面把14 分成10 和4 的基礎(chǔ)上，學(xué)生能想到也可以將23 分成20 和3，于是他們將點子圖縱向分割成兩部分（如圖5），左邊部分表示20×14，右邊部分表示3×14。學(xué)生在列豎式計算時，自然會調(diào)換兩個乘數(shù)的位置，將其變成標準豎式，并動手圈一圈，將豎式中每一部分積與點子圖對應(yīng)起來。

教師要求學(xué)生不交換乘數(shù)的位置，用豎式計算“23×14”，思考怎樣算出“42”和“280”，“逼”學(xué)生跳出標準豎式的固有模式。學(xué)生通過圈一圈，發(fā)現(xiàn)可以在豎式上拆分第一個乘數(shù)，用第一個乘數(shù)個位上的“3”乘第二個乘數(shù)14得到42，用第一個乘數(shù)十位上的“2”乘第二個乘數(shù)得到280，即“28 個十”。最后，教師引導(dǎo)學(xué)生比較點子圖和兩個乘法豎式，得出橫式：23×14＝（20+3）×14＝20×14+3×14。

2.對比兩種分法，建立聯(lián)系

教師引導(dǎo)學(xué)生思考：比較計算“23×14”的兩種豎式算法、兩種不同的點子圖分法以及兩種不同的橫式記錄，你們有什么發(fā)現(xiàn)？

基于前一環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，學(xué)生很容易在這一環(huán)節(jié)進行遷移應(yīng)用。教師要引導(dǎo)學(xué)生分別從豎式、點子圖、橫式表示分的過程及結(jié)果，進一步建立三者之間的聯(lián)系。同時，對兩種不同的分法進行對比，找出其相同點：（1）分法相同，將一個乘數(shù)分成整十數(shù)和一位數(shù)，得到兩部分的積；（2）計算方法相同，都是括號外面的數(shù)分別與括號里面的數(shù)相乘。本環(huán)節(jié)通過兩個方面的引導(dǎo)，幫助學(xué)生尋找共性，為后面構(gòu)建計算模型埋下伏筆。

（三）基于算理一致性，分析·解構(gòu)·重組·遷移

建構(gòu)主義理論認為，學(xué)習(xí)過程是學(xué)生借助已有知識經(jīng)驗去同化、順應(yīng)新知識的過程。學(xué)習(xí)了前面兩種計算方法后，學(xué)生可以借助點子圖、橫式、豎式三種表征形式深入理解算理。教師引導(dǎo)學(xué)生打破已有的認知結(jié)構(gòu)，對知識進行重組，采用合二為一的新分法，將分的過程由兩步變?yōu)樗牟剑值慕Y(jié)果由兩個變?yōu)樗膫€，還原豎式原有的結(jié)構(gòu)，看清算理算法的真面目。

1.改變分法，多元表征

產(chǎn)生新猜想：在計算“23×14”時，我們對其中一個乘數(shù)進行了拆分，相應(yīng)的點子圖也產(chǎn)生了兩部分的積，得到兩個不同的橫式記錄。如果將兩個乘數(shù)同時進行拆分，可以用怎樣的橫式來記錄？

師生討論得出：23×14＝（20+3）×（10+4）＝？

師：想一想，現(xiàn)在將兩個因數(shù)都進行拆分，那點子圖又該怎么分割呢？

生：將點子圖橫豎一起分，也就是將14分成10和4，將23分成20和3。

請你試一試，完成下面的學(xué)習(xí)任務(wù)單（二）。

2.集體交流，突破難點

師：我們一起來討論學(xué)習(xí)任務(wù)單（二）。

生：我先在點子圖上把14分成10和4，把23分成20和3，得到四部分的積。每部分的積我都算出來了，但我不知道怎么用豎式來表示。

生：我根據(jù)點子圖上的四部分列了四個豎式，最后又寫了一個加法豎式，一共列了五個豎式。

生：我覺得可以把這五個豎式合并成一個長的豎式。

師生合作，將長豎式中的每一個積與點子圖上四部分的積、學(xué)生列的五個豎式一一對應(yīng)（如圖6）。

圖6

師：那橫式“23×14＝（20+3）×（10+4）”該怎么計算，結(jié)果是多少呢？

師生合作，將這四部分的計算過程依次寫在橫式后面，再求出結(jié)果，并引導(dǎo)學(xué)生用連一連的方式表示橫式中的每一部分是括號中哪兩個數(shù)相乘得到的積，滲透多項式的乘法。

3.反思比較，建立模型

師：這三種不同表征方式有什么共同點？

引導(dǎo)學(xué)生理解乘法計算的算理，就是把兩位數(shù)拆分為整十數(shù)和一位數(shù)，可以拆其中一個乘數(shù)，也可以拆兩個乘數(shù)，將其變成四部分的積來計算兩位數(shù)乘兩位數(shù)，把各部分的積合并起來就是最后的結(jié)果。

本環(huán)節(jié)由兩步跨越到四步，不僅是一個量變的積累，更是一種質(zhì)變的飛躍。采取“圖式表征—豎式表征—橫式表征”的交流方式，借助直觀圖式幫助學(xué)生理解橫式、豎式的四步記錄方式，能夠幫助學(xué)生構(gòu)建初步計算模型。

（四）建構(gòu)算理一致性下的計算知識與方法體系

在計算兩位數(shù)乘兩位數(shù)時，古今中外的很多方法都由四部分構(gòu)成。為了讓學(xué)生進一步理解算理、算法的一致性，教學(xué)中可以介紹四步計算的多種方法，加深學(xué)生的理解。

1.溝通古今，建構(gòu)模型

教師利用課件演示將點子圖換成長方形圖，讓學(xué)生理解求一共有多少個圓點就相當于求長方形的面積，求大長方形的面積可以先求出四個小長方形的面積，再求和，其中四個小長方形的面積相當于長豎式中四部分的積。

全班交流討論：古今中外還有很多方法也是分成這樣的四部分來進行計算的，如格子乘法和畫線算法（如圖7），如何在這兩種方法中找到長豎式中的四個積？在這兩種算法中最終又將如何求呢？

圖7

教師以面積圖和長豎式為學(xué)習(xí)支架，讓學(xué)生理解格子乘法和畫線算法，建立多種計算方法的內(nèi)在聯(lián)系，理解“先分后合”的運算本質(zhì)。

2.比較升華，體會算理一致性

師：我們以“23×14”為學(xué)習(xí)材料，討論了兩種短豎式和一種長豎式，在點子圖中找到了每種算法的計算過程，并用橫式將豎式計算的過程分別記錄下來，還發(fā)現(xiàn)格子乘法和畫線算法也是分四部分來進行計算的。那么，這些方法有什么共同點？你喜歡用哪一種？如果要推薦一種算法給明年的三年級同學(xué)，你會推薦哪一種？為什么？

每一種整數(shù)乘法的計算方法都能在歷史上找到原型，對格子乘法、畫線算法的原型進行分析能夠加深學(xué)生對計算模型的認知。實際上，整個教學(xué)過程都是圍繞乘法計算在歷史上的原型進行設(shè)計的，本拓展內(nèi)容教學(xué)的目的是讓學(xué)生在對比聯(lián)系中更好地理解算理、掌握算法。因此，教學(xué)中讓學(xué)生對不同算法的多種表征進行比較，能夠幫助他們在表征的聯(lián)結(jié)中真正理解其背后的算理。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022 年版）》指出：通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，要讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)之間聯(lián)系,并運用數(shù)學(xué)的知識與方法分析問題和解決問題?！皟晌粩?shù)乘兩位數(shù)”拓展內(nèi)容的教學(xué)立足學(xué)生的已有認知，打破了知識間的阻隔，建立了知識間的內(nèi)在聯(lián)系，加深了學(xué)生對兩位數(shù)乘兩位數(shù)算法背后算理的理解。其實，無論是整數(shù)乘法，還是小數(shù)、分數(shù)乘法，其算理在本質(zhì)上是一致的，因此，在設(shè)計教學(xué)時應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生感悟知識與方法之間的聯(lián)系，引領(lǐng)學(xué)生對算理的一致性進行解讀與理解，幫助學(xué)生構(gòu)建互相貫通的知識體系。