“數(shù)學畫”是什么？

陳昱

“數(shù)學畫”教學正式實施與研究已經(jīng)近十年，什么是“數(shù)學畫”？這是我們一直在做理性思考和實踐回答的問題。

一、認識層面：“數(shù)學畫”的概念內(nèi)涵

對“數(shù)學畫”概念的理解，我們經(jīng)歷了一個發(fā)展過程，試圖從數(shù)學教學與兒童認知心理學角度闡釋我們的實踐依據(jù)和理性認識，即用認知心理學相關(guān)理論來解釋“數(shù)學畫”教學?，F(xiàn)代知識論告訴我們，所有知識都具有符號、邏輯和意義三重結(jié)構(gòu)和屬性。我們恰好可以在這三重結(jié)構(gòu)中找到屬于“數(shù)學畫”的定位。

（一）知識內(nèi)容：從“數(shù)學畫”到“數(shù)學化”

1.“數(shù)學畫”首先是數(shù)形結(jié)合中的“形”，也可以叫“圖畫”“畫圖”。數(shù)與形歷來是數(shù)學最基本的研究對象，“數(shù)學畫”是小學生基于數(shù)形結(jié)合思想用直觀之“形”表征抽象之“數(shù)”，或用精微之“數(shù)”闡釋簡達之“形”的一種數(shù)學學習方式。這里的“形”不僅指“幾何圖形”，也指“有形的具體物”。利用數(shù)與形的關(guān)系轉(zhuǎn)化來完成數(shù)學理解。需要注意的是，這個過程是雙向的，比如學生學習“0”，首先是“由形到數(shù)”的概念內(nèi)涵的理解、概括，表現(xiàn)為從樹上2個桃摘完、電線上5只鳥飛走、1大杯飲料喝完等大量的現(xiàn)實情境中逐步抽象出數(shù)0；然后是“從數(shù)到形”的概念外延的舉例及概念內(nèi)涵的說明，學生將心目中的“0”畫出來。再比如第一次遇到雞兔同籠這個復雜問題，學生利用畫圖輔助分析而厘清數(shù)量關(guān)系找到解決方法，順利列式解決問題；再遇到此類問題，學生就能夠直接列式解答，并且可以畫圖說明自己的思路。

2.“數(shù)學畫”還是“數(shù)學化”，是從直觀形象向抽象符號的過渡。不論直觀形象還是抽象符號，也不論水平數(shù)學化還是更加抽象的垂直數(shù)學化，數(shù)學內(nèi)容是相對固定的，變化的是對內(nèi)容的理解程度。還以雞兔同籠問題來說，從畫圖探究到列式解決，是對這一問題理解上的一次飛躍；再從列式解決單個問題到解決一類問題，并且可以辨別不同的變式，具體問題具體分析，則是在理解上實現(xiàn)二次飛躍。

（二）認知邏輯：由思維表征到思維進階

1.“數(shù)學畫”是小學生在數(shù)學學習中對數(shù)學理解以圖畫表征為主的多元表征。這是我們對“數(shù)學畫”概念理解的一次飛躍，“數(shù)學畫”不再囿于數(shù)學學科內(nèi)部的數(shù)形關(guān)系，而引入布魯納與萊什的表征理論來審視和分析，凸顯其思維表征的認知邏輯。以兩位數(shù)進位加法為例，一方面畫圖是促進學生從擺小棒、撥珠子等動作表征向豎式計算的符號表征過渡的橋梁和媒介，另一方面畫圖也是學具操作、圖示探究、言語說明、豎式記錄等多元表征之一，多元表征的互證互補和相互轉(zhuǎn)化是算理理解和算法掌握的途徑與表現(xiàn)。

2.“數(shù)學畫”也是小學生數(shù)學學習“理解—表征—交流—進階”的思維工具。思維的內(nèi)隱性決定了數(shù)學學習需要借助可視化工具來輔助，“數(shù)學畫”就是這樣的工具。比如對小數(shù)0.1，不同學生有不同的理解，通過“數(shù)學畫”將各自的理解表征出來，就會呈現(xiàn)不同的水平層次，有的學生完全不理解，有的只能借助現(xiàn)實生活中人民幣情境將其理解為0.1元就是1角，有的雖然也需要借助人民幣情境但是能理解0.1元是將1元十等分后得到的元，還有的則能夠脫離現(xiàn)實情境知道0.1是將1十等分得到的，進而領(lǐng)悟到小數(shù)是基于十進位值制對數(shù)系的一次擴展……因為不同水平層次的理解都表征出來了，所以可以交流，并在交流比較中促使每一位學生都能在原有水平上有所提升，實現(xiàn)思維進階。

（三）意義構(gòu)建：數(shù)學育人從內(nèi)隱到可見

1.“數(shù)學畫”是落實數(shù)學核心素養(yǎng)的育人手段。正因為可以對抽象符號進行具體內(nèi)容的解構(gòu)，也可以對認知結(jié)果進行思維過程的還原，所以“數(shù)學畫”可以在解構(gòu)與還原的學科實踐中引導學生領(lǐng)會蘊含在知識中的價值意義，形成“關(guān)鍵能力”和“必備品格”。比如通過計算教學培育學生運算能力，不是簡單告知學生計算法則并付諸大量計算訓練就可以完成，以100以內(nèi)退位減法為例，首先基于運算對象數(shù)的理解“畫數(shù)”，兩位數(shù)是幾個十與幾個一組成的；進而基于運算意義的理解“畫減法”，相同計數(shù)單位才能相減，遇到個位不夠減，可以從十位拿出一個十作為十個一放入個位再減（如圖1）……通過畫圖探究算法表征算理，學生得以明晰運算對象及運算的意義，理解算法與算理之間的關(guān)系，形成運算能力，發(fā)展數(shù)學思維。

2.“數(shù)學畫”也是育人效果可見的數(shù)學學習和學科實踐方式。學生借助畫數(shù)學可以清晰看見自己的思維，從而更好進行自我監(jiān)控、自我評價、自我評估和自主學習，增強元認知水平，成為“可見學習者”；教師也可以借助畫數(shù)學等手段進行更清晰地表達，學生得以見證自己的學習過程與結(jié)果，教師基于從形成性評價過程中收集到的證據(jù)進行有效的反饋，完成可見的數(shù)學學習。可見的數(shù)學學習超越積累知識和訓練技能，指向體驗或經(jīng)歷數(shù)學的美妙、邏輯、用途和樂趣，實現(xiàn)數(shù)學育人。說到底，“數(shù)學畫”是一種學科實踐活動，將以潛在的、隱性的方式存在于教材知識之中的育人價值揭示、挖掘、展現(xiàn)出來。

二、實踐層面：“數(shù)學畫”的發(fā)展邏輯

除了本身是學科實踐，“數(shù)學畫”教學的理性思考一直也是建立在堅實的實踐探索之上的，即在學、教、研三個層面均追求“知行合一”。從實踐出發(fā)，解決小學數(shù)學教學實踐中的問題，“數(shù)學畫”教學的發(fā)展過程就是一個問題解決過程。

（一）“數(shù)學畫”在解決小學數(shù)學教學主要矛盾和核心問題過程中產(chǎn)生

兒童認知發(fā)展理論指出小學生主要處于“具體運算階段”，思維活動需要具體內(nèi)容的支持；而數(shù)學學科具有高度抽象性、嚴密邏輯性，這就形成了小學數(shù)學教學的一對主要矛盾，即小學生的認知心理特征與數(shù)學學科特性之間的矛盾。

怎樣解決這對主要矛盾而引導小學生學好數(shù)學？這是小學數(shù)學教學的核心問題。

在長期的實踐探索中，我們認識到，映象性表征是小學生較熟練掌握的認知表征方式，通過回歸“數(shù)量關(guān)系和空間形式”數(shù)學本源，聚焦“數(shù)”與“形”的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合思想方法，引導小學生用直觀之“形”表征抽象之“數(shù)”，通過“數(shù)學畫”找到矛盾契合點，可以幫助小學生理解數(shù)學概念、解決數(shù)學問題、提升數(shù)學思維。于是，“數(shù)學畫”教學應(yīng)運而生。

（二）“數(shù)學畫”在小學數(shù)學教學落實“立德樹人”過程中發(fā)展與推進

課改以來，數(shù)學教育指向人的發(fā)展在育人方式上發(fā)生了很大的改變，但實踐中仍存在“重知識傳授、課堂講練、學科割裂、靜態(tài)學習”諸特點以及教學低效、學生厭學等現(xiàn)象，不適應(yīng)立德樹人和培育學生核心素養(yǎng)的要求；“數(shù)學畫”教學是新時代數(shù)學教學育人方式引發(fā)的教學實踐思考的重要路徑，怎樣通過“數(shù)學畫”教學培育小學生數(shù)學核心素養(yǎng)？這是我們著力解決的重點問題。

長期以來，“數(shù)學畫”教學依據(jù)素質(zhì)教育理論，聚焦小學生數(shù)學核心素養(yǎng)培育，重視溝通數(shù)學與生活及其他學科的聯(lián)系，提倡圍繞“畫數(shù)學”的多元表征，以活動為載體，通過“數(shù)學畫”課堂教學實踐研究，分課型分學段地探索教學策略，實現(xiàn)數(shù)學育人。

（三）“數(shù)學畫”在小學數(shù)學教學實現(xiàn)“數(shù)學化”思維進階中創(chuàng)新與深化

新課程理念提出數(shù)學生活化，但處理不當將導致小學生數(shù)學思維意識被日常生活經(jīng)驗取代，無法很好完成“數(shù)學化”，數(shù)學學習效果大打折扣。怎樣實現(xiàn)小學數(shù)學教學“數(shù)學化”思維進階？這是小學數(shù)學教學的難點問題。

“數(shù)學畫”教學是實現(xiàn)小學數(shù)學教學“數(shù)學化”思維進階的重要認知手段。我們依據(jù)兒童認知發(fā)展和表征理論，配套開發(fā)學材，培養(yǎng)專業(yè)化教師隊伍，發(fā)揮“數(shù)學畫”從形象到抽象的橋梁作用，引導學生經(jīng)歷“再創(chuàng)造”，促進知識內(nèi)化，完成“數(shù)學畫”到“數(shù)學化”的升級。

如，我們經(jīng)常利用“數(shù)學畫”設(shè)計表現(xiàn)性任務(wù)、實施表現(xiàn)性評價、達成表現(xiàn)性目標，其中關(guān)鍵一步就是運用SOLO分類理論建立具體的“數(shù)學畫”作品評價框架（如表1是關(guān)于雞兔同籠問題探究的“畫思路”作品的評價框架，其余“畫概念”“畫計算”“畫結(jié)構(gòu)”“畫繪本”都會建立類似的作品評價框架），將學生作品按照理解水平進行分層分析和展評，引導學生思維進階。

【注：本文系安徽省教育科學研究項目《基于學習路徑分析的小學高年級“數(shù)學畫”教學實踐研究》（立項號：JK21075）階段性成果】