一題多解闊思路，發(fā)散思維形成中

洪堅(jiān)

摘 要： 本文通過一道圓的相關(guān)題目，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)輔助線的多樣添法，利用“一題多解”，歸納總結(jié)出圓中計(jì)算求值的基本方法，滲透、活化所學(xué)的知識(shí)，達(dá)到“講好一題，帶活一片”的效果.有關(guān)圓中計(jì)算求值的一般方法有：一、 構(gòu)造相似三角形，利用對(duì)應(yīng)邊成比例求解；二、 構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解； 三、 尋找其他量，利用等量關(guān)系轉(zhuǎn)化.講好一道題，歸納多種解法，比較解法的優(yōu)劣，做到舉一反三，觸類旁通，真正培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維、創(chuàng)新思維能力.

關(guān)鍵詞： 一題多解；發(fā)散思維；創(chuàng)新意識(shí)

“怎樣才能學(xué)好數(shù)學(xué)呢？”這是讓絕大多數(shù)學(xué)生頭疼的問題.常言道：熟能生巧.很多老師認(rèn)為學(xué)好數(shù)學(xué)最為有效的方式就是多刷題，通過多做練習(xí)題來提升數(shù)學(xué)成績(jī).因此，“題海戰(zhàn)術(shù)”便得到了部分?jǐn)?shù)學(xué)老師的認(rèn)同.確實(shí)“題海戰(zhàn)術(shù)”會(huì)有一定的作用.但是數(shù)學(xué)題是做不完的.尤其在“雙減”的背景下，既要讓學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)知識(shí)，還要減輕學(xué)生的課業(yè)負(fù)擔(dān)，這就要求提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.因此，教師要激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，在盡可能減少練習(xí)題的情況下提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效果.

圓是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一塊重要內(nèi)容，而圓中經(jīng)常需要添加輔助線，這是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)，學(xué)生思維不開闊，往往無從下手.筆者在教學(xué)中，通過圓中一個(gè)題目，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)輔助線的多樣添法，利用“一題多解”，歸納總結(jié)出圓中計(jì)算求值的基本方法，滲透、活化所學(xué)的知識(shí)，收到“講好一題，帶活一片”的效果.［1］

例題 ??（原題） ：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90 ° ，以AB為直徑的圓O交BC于點(diǎn)F，連接OC，過點(diǎn)B作BD//OC交圓O于點(diǎn)D.連接AD交OC于點(diǎn)E.

（1） 求證：BD=AE.

（2） 若OE=1，求DF的值.

分析： ?（1） 第一小題的證明.AB=AC，∠AEC=∠BDA=90 ° ，∠ACE=∠BAD得△AEC≌△BDA，所以BD=AE.（2） 對(duì)于第二小題，當(dāng)OE=1時(shí)，利用中位線性質(zhì)，有BD=2OE=2，從而有AE=2，DE=2，OA= 5 ，AB=AC=2 5 ，BC=2 10 ，BF=CF= 10 .在這樣的基礎(chǔ)上，因考慮的角度不同，能得到不同的解法.

這樣，通過一題多解，讓學(xué)生對(duì)相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)有了更加深入的了解，對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行了強(qiáng)化和鞏固，從而在解題過程中讓學(xué)生發(fā)散思維，培養(yǎng)了學(xué)生探索問題的能力和解決問題的能力，這樣可以解決圓中一大片有關(guān)計(jì)算的問題.現(xiàn)歸納如下：

1 構(gòu)造相似三角形，利用對(duì)應(yīng)邊成比例求解

利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求線段的長(zhǎng)度，是初中幾何計(jì)算的重要方法.我們首先要熟悉相似三角形常見的基本類型，如：平行型、斜交型、旋轉(zhuǎn)型和垂直型等.利用相似三角形，本題提供如下四種解法：

（1） ??分析： ?因?yàn)镈F是△BDF一條邊，圖中已有∠BFD=∠BAD，所以只要再有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，就可以構(gòu)造相似三角形，連接BE，就有共點(diǎn)旋轉(zhuǎn)型相似三角形△BDF和△BEA.

解： ?連接BE，

∵∠ABC=∠DBE=45 ° ，

∴∠FBD=∠ABE.

∵∠BFD=∠BAE.

∴△BFD∽△BAE，

∴ DF AE = BF BA .

∴ DF 2 = ?10 ?2 5 ?.

∴DF= 2 .

（2） ??分析： ?根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，有∠ABC=∠ADF，所以想到連接AF，構(gòu)造DF邊所在的△ADF，再利用∠DAF=∠DBF=∠OCB，構(gòu)造相似三角形△ADF和△CBO.

解： ?連接AF，

∵OC∥BD，

∴∠OCB=∠DBF.

∵∠DAF=∠DBF，

∴∠OCB=∠DAF.

∵∠ADF=∠CBO，

∴△AFD∽△COB.

∴ AD CB = DF BO .

∴ 4 2 10 ?= DF ?5 ?.

∴DF= 2 .

（3） ??分析： ?記AD，BC交于點(diǎn)G.利用OC//BD，聯(lián)想到“X”型的三角形相似，有△CEG與△BDG相似.同時(shí)可證 △BEG與△FDG相似.

解： ?連接BE，

∵BD=DE=2，∠BDE=90 ° ，

∴BE=2 2 ，∠BED=45 ° .

∵OC∥BD，

∴△CEG∽△BDG.

∴ EG DG = CE BD =2.

∵∠ADF=∠ABC=45 ° =∠BED，

∴BE∥DF.

∴△BEG∽△FDG.

∴ DF EB = DG EG = 1 2 .

∴ DF 2 2 ?= 1 2 .

∴DF= 2 .

（4） ??分析： ?圓中有兩條相交的弦，利用蝴蝶型相似，有△BAG與△DFG相似.

解： ?∵OC∥BD，

∴△CGE∽△BGD.

∴ EG DG = CE BD =2.

∵DE=2，

∴DG= 2 3 ，EG= 4 3 ，BG= 2 10 ?3 ，AG= 10 3 .

∵△BAG∽△DFG，

∴ BA DF = BG DG .

∴ 2 5 ?DF = ?2 10 ?3 ??2 3 ?.

∴DF= 2 .

2 構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解

圓的證明與計(jì)算中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)直徑、切線等比較特殊的條件，那么在相關(guān)的證明或計(jì)算中必然利用圓周角定理及其推論、垂徑定理、切線判定以及性質(zhì)的相關(guān)條件尋找或構(gòu)造直角三角形，在相關(guān)計(jì)算中運(yùn)用勾股定理建立線段之間的關(guān)系，從而構(gòu)造方程解決問題.利用勾股定理，提供兩種解法如下：

（5） ??分析： ?由于∠BFD=∠BAD，是定值，并且由于直角△BAD邊長(zhǎng)確定，相當(dāng)于∠BFD的大小是確定的，所以過D作DF⊥BC于M，構(gòu)造以DF為邊的直角△FMD，利用勾股定理，構(gòu)造方程求解.

解： ?連接AF，過D作DM⊥BC于M.

∵OE=1，∴BD=2.

∴AE=BD=2，OA= 5 ，AB=2 5 .

∵AF=BF，∠AFB=90 ° ，

∴AF=BF= 10 .

∵∠BFD=∠BAD，

∴ tan ?∠BFD= tan ?∠BAD= 1 2 .

設(shè)DM=a，則FM=2a，DF= 5 a，BM= 10 -2a，

∴a2+（ 10 -2a）2=22.

解得a 1= ?10 ?5 ，a 2= 3 10 ?5 （舍去），

∴DF= 5 a= 2 .

（6） ??分析： ?由于∠ADF=∠ABC＝45 ° ，是特殊角，所以過點(diǎn)F作FH⊥AD于H，可以構(gòu)造以DF為底邊的等腰直角△FHD和直角△AFH，利用勾股定理，構(gòu)造方程求解.

解： ?連接AF，過P作FH⊥AD于H，

設(shè)DH=FH=x，則

x2+（4-x）2=（ 10 ）2，

解得x 1=1，x 2=3（舍去），

∴DH=FH=1，

∴DF= 2 .

3 尋找其他量，利用等量關(guān)系轉(zhuǎn)化

對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)問題，根據(jù)已知條件不能直接得出所求結(jié)果，需要借助其他一些數(shù)據(jù)，這個(gè)數(shù)據(jù)可以稱為中間量，中間量是轉(zhuǎn)化問題的橋梁，有時(shí)候是解決問題的關(guān)鍵，通過中間量的代換，從而建立等量關(guān)系達(dá)到解題的目的.利用等量關(guān)系轉(zhuǎn)化，提供三種解法如下.

（7） ??分析： ?由題中△ABC是等腰直角三角形這個(gè)條件，連接AF，則AF是底邊BC上的高，AF=BF= 10 ，又有BD=AE，∠DBF=∠DAF，聯(lián)想到全等三角形，連接EF，有△BDF和△AEF全等，從而有DF=EF.

解： ?連接EF，AF.

∵OE=1∴BD=2，

∵△ABD≌△CAE，

∴AE=BD=2.

∴DE=AE=2.

∵DF =DF ，

∴∠DBF=∠EAF.

∵△ABF是等腰直角三角形，

∴AF=BF.

∴△BDF≌△AEF.

∴DF=EF.

∵∠EDF=∠ABC=45 ° ，

∴△DEF是等腰直角三角形.

∴DF= DE ?2 ?= 2 .

（8） ??分析： ?由已知∠ADF=∠ABC＝45 ° ，∠ADB=90 ° ，聯(lián)想到等腰直角三角形，所以延長(zhǎng)FD可以構(gòu)造等腰直角三角形，從而利用等量關(guān)系求出DF.

解： ?過B作BH⊥FD于H.

∵∠BFH=∠BAD，

∴ sin ?∠BFH= sin ?∠BAD= BD AB = 2 2 5 ?= ?5 ?5 .

∴ BH BF = ?5 ?5 ，而BF= 10 .

∴BH= 2 ，HF=2 2 .

∵△BHD是等腰直角三角形，

∴HD=BH= 2 .

∴DF=HF-HD= 2 .

（9） ??分析： ?由已知∠ADF=∠ABC＝45 ° ，∠DEF=90 ° ，聯(lián)想到等腰直角三角形，所以延長(zhǎng)DF交CE于H，就可以得到等腰直角△DEH，從而利用等量關(guān)系求出DF.

解： ?延長(zhǎng)DF交CE于H，連接EF.

由已知可得△BDF≌△CHF，

∴CH=BD=2，DF=HF.

∵CE=4∴EH=2=DE，

∵∠DEH=90 ° ∠ADF=∠ABC=45 ° ，

∴△DEH是等腰直角三角形.

∴DH= 2 DE=2 2 .

∴DF=HF= 2 .

解決問題的策略、方法和途徑可以是多種多樣的，《數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）強(qiáng)調(diào)了這種“多樣性”，并且希望學(xué)生由此發(fā)展創(chuàng)新意識(shí).對(duì)于第一問出現(xiàn)不同的解決方法時(shí)，教師應(yīng)該因勢(shì)利導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生自主討論，分析和對(duì)比不同方法的優(yōu)劣.學(xué)生在解決問題的過程中鍛煉了解決問題的能力，培養(yǎng)了創(chuàng)新意識(shí).

本題的多種解法，讓我們看到了數(shù)學(xué)思想方法的多樣性，培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散思維、分析能力、創(chuàng)新意識(shí).通過一題多解，可以尋找一種最優(yōu)、最簡(jiǎn)便的方法，掌握“一題多解”能拓廣思維力度，還能夠?qū)ο嚓P(guān)基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行鞏固，同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和創(chuàng)新能力.所以，講好一道題，歸納多種解法，比較解法的優(yōu)劣，能更大程度的激活思維.做到舉一反三，觸類旁通，讓學(xué)生切身感受到數(shù)學(xué)的魅力和樂趣.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 李美華.“一題多解與一題多變”在培養(yǎng)學(xué)生思維能力中的價(jià)值研究［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2018（10）：137.