函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合的不等式問題的處理策略

胡玲玲

摘 要： 放縮法是解答函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題的常用方法，即采用相應(yīng)的不等式作為放縮的工具，將所證超越不等式放縮為常規(guī)的不等式.其中根據(jù)曲線及其切線的位置關(guān)系而得到的不等式在解題中有廣泛的應(yīng)用，這類不等式我們常稱之為切線不等式，而此種方法即為切線放縮法.

關(guān)鍵詞： 導(dǎo)數(shù);切線;放縮

函數(shù)曲線f（x）在某點(diǎn)處的切線為y=kx+m，若除切點(diǎn)外曲線恒在切線的上方，則有f（x）≥kx+m；若曲線恒在切線的下方，則有f（x）≤kx+m，這類不等式我們稱之為切線不等式，利用切線不等式進(jìn)行放縮在導(dǎo)數(shù)綜合問題中應(yīng)用較多，下面通過舉例分析，探究切線放縮法的應(yīng)用.

1 知識儲備

例1 ????已知函數(shù)f（x）=ex-x2.

（1） 求曲線f（x）=ex-x2在x=1處的切線方程；

（2） 當(dāng)x＞0時(shí)，證明： ex+（2-e）x-1 x ≥ ln ?x+1.

本題第（1）問求曲線的切線方程，屬于基礎(chǔ)設(shè)問.第（2）問證明不等式的常規(guī)思路是構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最值.若直接作差構(gòu)造，極為繁瑣，甚至無法進(jìn)行.下面探究利用切線放縮法構(gòu)造函數(shù)來解決問題.

應(yīng)用切線不等式進(jìn)行放縮，首先我們要熟知一些基本初等函數(shù)的切線，如函數(shù)y=ex在點(diǎn)（x 0，ex ?0）處的切線方程為y-ex ?0=ex ?0（x-x 0），即y=ex ?0（x-x 0）+ex ?0.

令上式中的x 0=0，得切線方程為y=x+1.由曲線y=ex與直線y=x+1的位置關(guān)系可得ex≥x+1，當(dāng)x=0時(shí)，等號成立.

令上式中的x 0=1，得y=ex.由曲線y=ex與直線y=ex的位置關(guān)系可得ex≥ex，當(dāng)x=1時(shí)，等號成立.

同理，可得 ln ?x≤x-1（x＞0），當(dāng)x=1時(shí)等號成立； ln ?x≤ 1 e x（x＞0），當(dāng)x=e時(shí)，等號成立.

例2 ????求證：ex ln ?x-ex2-ex+2ex≤0.

解析： ???由ex≥ex得ex ln ?x-ex2-ex+2ex≤ex ln ?x-ex2-ex+2ex，當(dāng)x=1時(shí)，等號成立，因此只要證明ex ln ?x-ex2-ex+2ex≤0，將此不等式兩端同除ex，得 ln ?x-x+1≤0.

令f（x）= ln ?x-x+1，求導(dǎo)，得f ′（x）= 1 x -1= 1-x x ，則f ′（x）=0，得x=1，在區(qū)間（0，1）上，f ′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；在區(qū)間（1，+∞）上，f ′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，所以f（x）≤f（1）=0.

原不等式成立.

本題所給的不等式關(guān)系中有多處含有ex，因此想到利用不等式ex≥ex進(jìn)行放縮處理.另外，有些問題的求解中可借助上述切線不等式的變式進(jìn)行放縮.

例3 ????證明：1+ 1 2 + 1 3 +…+ 1 n ＞ ln ?（n+1）.

解析： ???由不等式x-1≥ ln ?x（x＞0），得x≥ ln ?（x+1）， 1 x ＞ ln ???1 x +1 ，所以 1 n ＞ ln ???1 n +1 = ln ??1+n n .

所以1+ 1 2 + 1 3 +…+ 1 n ＞ ln ?2- ln ?1+ ln ?3- ln ?2+…+ ln ?（n+1）- ln ?n= ln ?（n+1）- ln ?1= ln ?（n+1）.

問題得證.

本題的放縮借助了不等式x-1≥ ln ?x（x＞0）的變式，即 1 x ＞ ln ???1 x +1 ，因?yàn)?1 x ≠0，所以此處等號不成立.

另外，常見的還有三角函數(shù)的切線，例如正弦函數(shù)y= sin ?x在原點(diǎn)（0，0）處的切方程為y=x，當(dāng)x＞0時(shí)，不等式x＞ sin ?x恒成立，當(dāng)x＜0時(shí)，不等式x＜ sin ?x恒成立.類似地，余弦函數(shù)y= cos ?x與正切函數(shù)y= tan ?x等也具有相應(yīng)的切線.

例4 ????已知函數(shù)f（x）= 1 x - cos ?x+a（a＞0）在區(qū)間（0，2 π ）內(nèi)恰有一個(gè)變號零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析： ???易知在區(qū)間 ??π ?2 ， 3 π ?2 ?內(nèi) cos ?x≤0，所以f（x）= 1 x - cos ?x+a＞0，無零點(diǎn).下面討論f（x）在區(qū)間 0， ?π ?2 ?和 ?3 π ?2 ，2 π ?內(nèi)的零點(diǎn)情況.

在區(qū)間 0， ?π ?2 ?內(nèi)，y= cos ?x在x= ?π ?2 處的切線方程為y=-x+ ?π ?2 ，且 cos ?x＜-x+ ?π ?2 .下面只要證明-x+ ?π ?2 ＜ 1 x ，即x2- ?π ?2 x+1＞0，Δ= ??π ?2 ?2-4＜0，所以 cos ?x＜ 1 x ，所以f（x）= 1 x - cos ?x+a＞0，無零點(diǎn).

因此f（x）在區(qū)間 ?3 π ?2 ，2 π ?內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn).求導(dǎo)，得f ′（x）=- 1 x2 + sin ?x＜0，所以f（x）單調(diào)遞減，且 f ?3 π ?2 ?= 2 3 π ?+a＞0， f（2 π ）= 1 2 π ?-1+a＜0，所以0＜a＜1- 1 2 π ?.

綜上，滿足條件的a的取值范圍是 0，1- 1 2 π ??.

三角函數(shù)與冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)綜合的問題的常用解法是區(qū)間討論法，本題在分區(qū)間討論的過程中利用了三角函數(shù)的切線放縮，將三角式中的三角函數(shù)去掉，從而解決了問題的求解難點(diǎn).

2 命題分析

除了上面總結(jié)的幾種常用的切線不等式外，還有一種切線不等式，是由所證題目的前一問得到的切線方程，通過進(jìn)一步判斷曲線與該切線的位置關(guān)系，從而得到相應(yīng)的不等式.這種命題的設(shè)問方式體現(xiàn)了前后的關(guān)系性，有效地考查了學(xué)生靈活運(yùn)用所求結(jié)論分析解決問題的能力.

例1的解析： ???第（1）問求曲線f（x）=ex-x2在x=1處的切線方程，對函數(shù)f（x）求導(dǎo)，得f ′（x）=ex-2x，所以在x=1處的切線斜率為e-2，又f（1）=e-1，所以切線方程為y-（e-1）=（e-2）（x-1），即y=（e-2）x+1.

第2問，我們先來審視所證關(guān)系式： ex+（2-e）x-1 x ≥ ln ?x+1，即 ex-［（e-2）x+1］ x ≥ ln ?x+1，不難發(fā)現(xiàn)分子中“［ ?］”內(nèi)的一次函數(shù)即是我們第一問所得的曲線的切線，那么該切線與曲線f（x）=ex-x2具有何種位置關(guān)系？除切點(diǎn)外，曲線是恒在切線的上方還是下方？

不妨嘗試分析，若除切點(diǎn)外，曲線f（x）=ex-x2恒在切線y=（e-2）x+1的上方，即ex-x2≥（e-2）x+1，ex-［（e-2）x+1］≥x2，進(jìn)而可將所證不等式放縮為 ex+（2-e）x-1 x ≥ x2 x =x≥ ln ?x+1，而對于x≥ ln ?x+1，則是我們前面所得的結(jié)論了.下面的問題就是要判斷曲線f（x）=ex-x2與其在x=1處的切線y=（e-2）x+1之間是否存在我們所預(yù)測的關(guān)系.

3 難點(diǎn)突破

通過上面的分析，我們已經(jīng)得到了解決問題的方向，即只需要證明ex-x2≥（e-2）x+1.

此不等式的證明方法是通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)來求函數(shù)的最值.

令g（x）=ex-x2-（e-2）x-1，求導(dǎo)之前要注意觀察函數(shù)是否存在直觀的零點(diǎn)，不難發(fā)現(xiàn)g（0）=0，g（1）=0（備用）.

對g（x）求導(dǎo)，得g ′（x）=ex-2x-e+2，此函數(shù)仍為超越函數(shù)，可再次求導(dǎo).

令h（x）=ex-2x-e+2，則h ′（x）=ex-2，令ex-2=0，則x= ln ?2.在區(qū)間（0， ln ?2）上，h ′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減；在區(qū)間（ ln ?2，+∞）上，h ′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增.所以h ?min （x）=h（ ln ?2）=e ln ?2-2 ln ?2-e+2＜0，又h（0）=3-e＞0，h（1）=e-2-e+2=0，所以存在x 0∈（0， ln ?2），使得h（x 0）=0.其圖象如右圖所示.

據(jù)此可知，在區(qū)間（0，x 0）上，g ′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增；在區(qū)間（x 0，1）上，g ′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減；在區(qū)間（1，+∞）上，g ′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增.又g（0）=0，g（1）=0，所以在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)g（x）=ex-x2-（e-2）x-1≥0，即ex-x2≥（e-2）x+1.

所以g（x）＞g（0）=0，即ex-x2≥（e-2）x+1.

進(jìn)而問題得到圓滿解決.

上述證明不等式ex-x2≥（e-2）x+1的過程，雖然略顯繁瑣，但難度可控.其中g(shù)（0）=0，g（1）=0，部分學(xué)生在解題中可能會忽視，從而造成后續(xù)解題無法繼續(xù).這些點(diǎn)我們常稱之為關(guān)鍵點(diǎn)，也是解題的關(guān)鍵所在.在處理導(dǎo)數(shù)綜合問題時(shí)，不要盲目求導(dǎo)，在求導(dǎo)之前應(yīng)先觀察這些關(guān)鍵點(diǎn)，進(jìn)而可保證問題的順利求解.

綜上，切線放縮法是處理導(dǎo)數(shù)與函數(shù)綜合的不等式問題的重要方法，要善于總結(jié)常見的切線不等式，注意一題多問中前后問的關(guān)聯(lián)，尋找解題的突破口.