轉(zhuǎn)化思維：小學(xué)數(shù)學(xué)解題的“突破口”

冒文峰

摘 要： 學(xué)科素養(yǎng)下，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)不再是培養(yǎng)解題“工具人”，而是在學(xué)習(xí)中形成一種思維能力，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)中學(xué)會轉(zhuǎn)化，能夠靈活運(yùn)用各種數(shù)學(xué)知識點(diǎn)，解決常見的問題，不斷提升小學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力.本論文就以此作為研究視角，結(jié)合針對性的例題，針對轉(zhuǎn)化思維在小學(xué)數(shù)學(xué)解題中的具體應(yīng)用進(jìn)行了詳細(xì)地探究，具備一定的參考價值.

關(guān)鍵詞： 小學(xué)數(shù)學(xué)；解題教學(xué)；轉(zhuǎn)化思維；突破口

小學(xué)生在解答數(shù)學(xué)問題的時候，常常會遇到一些“攔路虎”，如：復(fù)雜的運(yùn)算、不規(guī)則的圖形、沒有明確解題思路等，如果一味地按照傳統(tǒng)的思路和方法解題，就會導(dǎo)致解題過程繁瑣，且頻頻出現(xiàn)解題錯誤，甚至憑借已有的知識和能力根本無法找到具體的解題思路等.面對這一現(xiàn)狀，為了幫助學(xué)生順利突破難題，提升數(shù)學(xué)解題能力，本文將引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會轉(zhuǎn)化，科學(xué)運(yùn)用轉(zhuǎn)化思維，尋找新的解題思路.

1 轉(zhuǎn)化思維在小學(xué)數(shù)學(xué)解題中的實(shí)踐

在小學(xué)數(shù)學(xué)解題中，轉(zhuǎn)化思維是一種非常重要的數(shù)學(xué)思維，即：將一個問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使其成為另一個問題，旨在通過轉(zhuǎn)化這一過程，解決數(shù)學(xué)問題.鑒于小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，轉(zhuǎn)化思維包含的內(nèi)容比較多，可結(jié)合不同的題目類型，靈活運(yùn)用各種轉(zhuǎn)化方式.

1.1 化繁為簡

鑒于數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，計(jì)算教學(xué)貫穿整個小學(xué)階段，占據(jù)十分重要的地位.在培養(yǎng)小學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力時，常常會遇到一些極為復(fù)雜的題目，如果按照常規(guī)的四則混合運(yùn)算順序，常常面臨著復(fù)雜的運(yùn)算過程，并且小學(xué)生還會在運(yùn)算過程中出現(xiàn)各種各樣的錯誤.鑒于此，就可充分借助轉(zhuǎn)化思維，對其進(jìn)行重新組合，使其變得更加簡單.

例1 ??計(jì)算

（1 000+998+996+…+906+904+902）-（2+4+6+……96+98+100）.

解析： ?在這一問題中，如果單純地按照常規(guī)的混合運(yùn)算順序，就要按照“先括號”的原則，之后并按照先乘除后加減的順序進(jìn)行.但如果按照這種方式進(jìn)行計(jì)算，將會面臨著極大的運(yùn)算量，并且計(jì)算過程十分復(fù)雜，稍不留神就會出現(xiàn)各種各樣的錯誤.鑒于此，在開展解題教學(xué)時，就可指導(dǎo)學(xué)生基于轉(zhuǎn)化思維，對上述的算式進(jìn)行觀察，找出其中存在的規(guī)律：1 000-100，998-98，996-96……，902-2結(jié)果都相等.因此，可將上述的算式進(jìn)行打破、重組，轉(zhuǎn)化成為一個新的算式：

（1 000-100）+（998-98）+（996-96）+…+（906-6）+（904-4）+（902-2）.

如此，學(xué)生即可迅速得出正確的答案.可見，在這一題目解答中，關(guān)鍵點(diǎn)就在于“轉(zhuǎn)化”，將帶有括號的四則混合運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使其成為相等差值的減法運(yùn)算.

1.2 化數(shù)字為圖形

在當(dāng)前小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，部分教師受到傳統(tǒng)教學(xué)理念的制約，常常人為地隔離代數(shù)和幾何內(nèi)容.但針對數(shù)學(xué)學(xué)科來說，數(shù)和形原本就相輔相成，屬于一個有機(jī)統(tǒng)一體中.經(jīng)過大量的解題教學(xué)實(shí)踐證明，將數(shù)學(xué)信息轉(zhuǎn)化為圖形信息，能夠幫助學(xué)生迅速形成明確的數(shù)量關(guān)系，找到問題的解答“突破口”.

例2 ??已知A，B兩地距離為16 ?km ，小明和小紅分別從同一個地方出發(fā)，以相同的速度，朝著相同的方向出發(fā).小明先出發(fā)，小紅過一段時間之后再出發(fā)，當(dāng)小紅出發(fā)3個小時之后，兩個人的距離為80 ?km ，此時小紅行走的路程是小明的 3 5 ，請問小明比小紅早走幾個小時？

解析： ?這是一道常見的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，如果按照常規(guī)的方式進(jìn)行解題，學(xué)生在審題的過程中，常常難以厘清題目中的數(shù)量關(guān)系，導(dǎo)致其出現(xiàn)解題錯誤.鑒于此，就可指導(dǎo)學(xué)生借助轉(zhuǎn)化思維，將上述題目進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即：假如兩個人同時從A地出發(fā)，前往B地，小明先出發(fā)一段時間，小紅出發(fā)3個小時之后，她行走的路成為小明的 3 5 ，那么小明比小紅早出發(fā)多久？

通過第一步轉(zhuǎn)化之后，題目就變得更加清晰了；接著，再次進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使其成為形象的圖形（如圖1所示）.如此，學(xué)生結(jié)合線段圖設(shè)，就能結(jié)合題目中的已知關(guān)系，利用分?jǐn)?shù)式得出：3÷ 3 5 -3=2（小時），高效完成了這一題目的解答任務(wù)［1］.

例3 ??計(jì)算 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 .

解析： ?在對這一分?jǐn)?shù)加法計(jì)算中，如果按照常規(guī)的思路，學(xué)生需要先進(jìn)行通分，并進(jìn)行計(jì)算.但這一過程存在一定的難度，并且極容易計(jì)算錯誤.面對這一現(xiàn)狀，在指導(dǎo)學(xué)生解題時，就可借助“轉(zhuǎn)化”思維，將分?jǐn)?shù)計(jì)算題目轉(zhuǎn)化為圖形涂色問題（如圖2所示），使得學(xué)生在圖形涂色中，順利作出正確答案，即 15 16 .

1.3 化不規(guī)則為規(guī)則

在小學(xué)數(shù)學(xué)解題中，常常會遇到一些求不規(guī)則的圖形面積的題目，如果按照常規(guī)的解題思路進(jìn)行解答，常常面臨諸多困難，難以完成其解答.鑒于此，就可借助轉(zhuǎn)化思維，將原本不規(guī)則的圖形進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使其成為規(guī)則圖形的和、差等，進(jìn)而順利完成其解答.

例4 ??如圖3所示，已知長方形ABCD，AB長6厘米，BC長4厘米，扇形ABE的半徑AE為6厘米，扇形BCF的半徑CF為4厘米，求：陰影部分的面積.

解析： ?在這一題目中，陰影部分是一個不規(guī)則的圖形，學(xué)生無法借助面積公式進(jìn)行直接求解.鑒于此，唯有借助轉(zhuǎn)化思維，將陰影部分面積轉(zhuǎn)化為幾個規(guī)則面積的和（差）.經(jīng)過圖形分析，可發(fā)現(xiàn)這一組合圖形中一共包含了三個規(guī)則圖形，長方形、大扇形、小扇形，并且這三個規(guī)則圖形的面積是可以求出來的.接著，對組合圖形進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)陰影部分面積就是大扇形面積-空白ABFD面積.而空白ABFD面積恰恰是長方形ABCD面積-小扇形面積.由此，就借助轉(zhuǎn)化思維，得出S 陰影=S 大扇形-（S 長方形-S 小扇形）

因?yàn)镾 大扇形=6×6× π ÷4=9 π ，S 小扇形=4×4× π ÷4=4 π ，S 長方形=6×4=24，

所以，S 陰影=S 大扇形-（S 長方形-S 小扇形）=9 π -（24-4 π ）=13 π -24=16.82（平方厘米）.由此可見，在本題目中，解題的關(guān)鍵就是“轉(zhuǎn)化”，將原本不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積差，進(jìn)而輕松解決這一問題［2］.

1.4 化難為易

在小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題中，常常會遇到一些難度系數(shù)比較高的題目，如果按照常規(guī)的思路進(jìn)行解題，不僅找不到“突破口”，甚至還會受到題目條件的干擾，產(chǎn)生錯誤的解題思路.鑒于此，必須要借助一定的轉(zhuǎn)化思維，將原本復(fù)雜、難度系數(shù)比較高的題目進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使其成為學(xué)生便于理解的題目進(jìn)行解答.

例5 ??甲乙在400米的跑道上，甲以每秒鐘6米的速度跑步，乙以每秒4米的速度跑步，二人同時從同一起跑線上起跑，如果沿著相反的方向跑步，二人從起跑到第三次相遇需要多少的時間？

解析： ?這是一道典型的“相遇”問題，是小學(xué)數(shù)學(xué)?？嫉念}目.在這一題目中，已知跑道400米，甲乙二人速度，以及跑步在反方向下的相對速度，以及二人同時同一點(diǎn)起跑；二人從起跑到第三次相遇時間相等；未知量是二人第三次相遇的時間.在對這一題目進(jìn)行解答時，如果按照常規(guī)的思路進(jìn)行解題，常常面臨著過程復(fù)雜、思路不清的現(xiàn)象，難以找到解題的突破點(diǎn). 鑒于此，在進(jìn)行解題的時候，就應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生借助“轉(zhuǎn)化”的方式，將二人在跑道上相遇一次視為一圈，那么題目中兩人相遇的三次，即跑了三圈，總長度為400×3=1 200（米）.如此，結(jié)合題目中已知條件得知，兩人反方向的相對速度是6+4=10米/秒， 即相遇三次的時間為400×3÷（4+6）=120（秒）.可見，在本題目中，解答的關(guān)鍵就是“轉(zhuǎn)化”，將相遇三次轉(zhuǎn)化為總長度，之后即可簡單解答這一問題.

1.5 化隱含為明顯

在小學(xué)數(shù)學(xué)解題中，常常會遇到一些隱含的條件，這些條件沒有明確給出，需要學(xué)生在解題的時候，通過分析深挖出來，才能在隱含條件的輔助下，順利解決相關(guān)問題.但具體解題時，這些隱含條件常常不易被發(fā)掘，需要借助一定的轉(zhuǎn)化思維，方可將其挖掘出來.

例6 ??有三筐水果，甲乙兩筐水果共重20 ?kg ，乙丙兩筐水果共重18 ?kg ，甲丙兩筐水果重12 ?kg ，求甲乙丙三筐水果共重多少？

解析： ?學(xué)生在解答這一問題時，初次解讀之后，常常感覺無從下手.因?yàn)樵陬}目中，已知條件分別是甲乙、乙丙、甲丙的重量；未知量則是甲乙丙三筐水果的重量分別是多少.在這一情況下，如果按照常規(guī)的思路進(jìn)行解題，就會發(fā)現(xiàn)根本無法套用已有的公式解答問題.鑒于此，必須要借助轉(zhuǎn)化思維，將甲乙、乙丙中共同含有的乙筐水果重量進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使其成為顯性的條件，本題即可變得明朗起來：已知甲乙兩筐水果共重20 ?kg ，乙丙兩筐水果共重18 ?kg ，那么甲筐水果比丙筐水果重20-18=2（ kg ）；又因?yàn)榧妆麅煽鹚?2 ?kg .因此，甲筐中水果的重量為（12+2）÷2=7（ kg ）；丙筐水果重量為12-7=5（ kg ），乙筐水果重量為20-7=13（ kg ）.可見，在本題目解答中，核心突破點(diǎn)在“從‘隱含條件到‘顯性條件的轉(zhuǎn)化”，充分借助轉(zhuǎn)化思維，對題目進(jìn)行分析，從中挖掘出隱含的條件，并以此作為切入點(diǎn)進(jìn)行解答［3］.

1.6 化特殊為一般

在小學(xué)數(shù)學(xué)解題中，常常存在一定的規(guī)律，學(xué)生在解答問題時，唯有掌握了其中蘊(yùn)含的規(guī)律，才能找到具體的解題方法.而要達(dá)到這一目標(biāo)，在日常解題教學(xué)中，就必須要引導(dǎo)學(xué)生借助轉(zhuǎn)化思想，將特殊的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使其成為一般性的問題，進(jìn)而運(yùn)用一般的規(guī)律解答問題.

例7 ??一條直線上有n個點(diǎn)，請問這條直線上有多少條線段？

解析： ?學(xué)生在解答這一問題時，常常疑問題目中沒有給出具體的數(shù)字，導(dǎo)致學(xué)生不知道如何下手，難以形成具體的解題思路.鑒于此，教師在開展教學(xué)時，就可借助轉(zhuǎn)化思維，通過舉例子的方法，引導(dǎo)學(xué)生思考：如果這一條直線上只有1個點(diǎn)，那么就沒有線段；如果線段上有2個點(diǎn)，則存在一條線段；如果有3個點(diǎn)，則存在2條線段；如果直線上有4個點(diǎn)，則存在3條線段.接著，引導(dǎo)學(xué)生以此類推，如果有n個點(diǎn)，那么則存在n-1條線段.之后，再次指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行畫圖驗(yàn)證.可以說，在這一問題的解答中，就是借助了轉(zhuǎn)化思維，將沒有數(shù)字的特殊題目進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使其成為具體的數(shù)字關(guān)系題目，便于學(xué)生在列舉中，總結(jié)出其中蘊(yùn)含的規(guī)律，進(jìn)而找到題目解答的方法.

1.7 化單一解法到多種解法

在小學(xué)數(shù)學(xué)解題中，學(xué)生常常會遇到一些復(fù)合型的問題，而這些復(fù)合型的問題常常存在多種解法.又是面對新課程改革下的要求，教師在開展解題教學(xué)時，不要僅僅局限于學(xué)生解題的結(jié)果，還應(yīng)關(guān)注學(xué)生在解題過程中的思維發(fā)展情況，旨在借助解題教學(xué)，幫助學(xué)生打破思維的束縛，使其在多角度思考和解題中，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展.鑒于此，數(shù)學(xué)教師在日常解題教學(xué)中，唯有堅(jiān)持轉(zhuǎn)化思維，促進(jìn)單一解答方法到多種解法的轉(zhuǎn)變.

例8 ??已知一根鋼管長2.7米，截下全長的 3 10 ，做了9個零件，剩下的還可以做多少個零件？

解析： ?這一題目難度系數(shù)比較小，學(xué)生在解答的時候，可從不同的角度進(jìn)行思考，并計(jì)算出正確的答案.鑒于此，在培養(yǎng)小學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力時，就應(yīng)立足于轉(zhuǎn)化思想的內(nèi)涵，引導(dǎo)學(xué)生對題目內(nèi)容進(jìn)行轉(zhuǎn)化，并從不同的角度進(jìn)行解答：① 將其轉(zhuǎn)化成為工程問題，將整個管長視為單位“1”，則可得出解題方案： 1- 3 10 ?÷ ?3 10 ÷9 =21；② 將其轉(zhuǎn)變成為倍比法，結(jié)合題目中已知條件，得出已經(jīng)做了3份，還余下7份未加工成零件，余下的份數(shù)是已做份數(shù)的7÷3= 7 3 倍，結(jié)合 3 10 做了9個零件，由此得出余下的還可以做7÷3×9=21；③ 將其轉(zhuǎn)化為歸一法，即3份做9個，即1份做3個零件；還余下7份，即可得出9÷3×7=21；④ 將其轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)對應(yīng)關(guān)系式，即9個零件占據(jù)全長（單位“1”）的 3 10 ，即可結(jié)合這一對關(guān)系，得出這根鋼管剩余的還可以做9÷ 3 10 -9=21.由此可見，在這一題目中，通過轉(zhuǎn)化思維的應(yīng)用，從不同的角度，利用不同的思維和數(shù)學(xué)知識進(jìn)行了解答，使得學(xué)生在轉(zhuǎn)化、解答的過程中，逐漸形成了極強(qiáng)的數(shù)學(xué)思維，真正滿足了小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)下的教學(xué)目標(biāo)［4］.

2 基于小學(xué)數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思維解題教學(xué)啟示

經(jīng)過課堂教學(xué)實(shí)踐得知，將轉(zhuǎn)化思維應(yīng)用到小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，彰顯出顯著的應(yīng)用價值，顯著提升了小學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，使其在轉(zhuǎn)化思維的輔助下，迅速攻克難題，并在解題分析中，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的發(fā)展.鑒于此，作為一名優(yōu)秀的小學(xué)數(shù)學(xué)教師，必須要轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)解題教學(xué)模式，遵循“熟練、簡明、典型”的原則，將其科學(xué)、合理地融入到解題教學(xué)中.

首先，從熟練性原則上來說，要求教師在引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)化題目時，應(yīng)堅(jiān)持從“陌生到熟悉”“從復(fù)雜到簡單”的原則，力求通過轉(zhuǎn)化，使得原本復(fù)雜、陌生的數(shù)學(xué)問題變得更加簡單、熟悉，學(xué)生可運(yùn)用已有的知識和方法進(jìn)行解答；

其次，從簡明性原則上來說，在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行轉(zhuǎn)化時，可通過拆解條件、分析題目的方式，將原本復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成為簡單的問題.而在這一過程中，必須要帶領(lǐng)學(xué)生對題目進(jìn)行深入分析，基于不同條件之間的聯(lián)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

最后，從典型性原則上來說，在借助解題教學(xué)訓(xùn)練學(xué)生轉(zhuǎn)化思維時，必須要選擇具備典型性、代表性的數(shù)學(xué)題目，以便于學(xué)生在典型的訓(xùn)練中，真正掌握這一數(shù)學(xué)思想和方法，是在日后遇到同類型題目時，可迅速進(jìn)行解答［5］.

3 結(jié)束語

綜上所述，轉(zhuǎn)化思維作為小學(xué)數(shù)學(xué)解題中常用的一種思維模式，不僅能夠促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解，還能強(qiáng)化小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，使其在轉(zhuǎn)化思維的引導(dǎo)下，促進(jìn)復(fù)雜問題、難題、特殊問題的轉(zhuǎn)化，以便于學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的知識，輕松進(jìn)行解答.同時，小學(xué)數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化的過程，也是學(xué)生思維發(fā)展的過程，小學(xué)生也在轉(zhuǎn)化中促進(jìn)了思維的發(fā)展，真正提升了小學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

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［2］ 薛祖佳.轉(zhuǎn)化思想在小學(xué)數(shù)學(xué)解題中的妙用［J］.數(shù)學(xué)大世界（上旬），2022（6）：62 64.

［3］ 徐建干.轉(zhuǎn)化思維在小學(xué)數(shù)學(xué)解題中的有效應(yīng)用［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2022（13）：69 70.

［4］ 劉俊彬.轉(zhuǎn)化思維：小學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)的突破口［J］.基礎(chǔ)教育論壇，2022（12）：82 83.

［5］ 雷維維.轉(zhuǎn)化策略在小學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用分析［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2021（28）：58 59.