城市地下嵌巖型和摩擦型雙層襯砌豎井結(jié)構(gòu)豎向地震響應(yīng)對(duì)比分析

張 卜,盧立東,鐘紫藍(lán),姬若愚,杜修力

(1. 北京工業(yè)大學(xué) 城市建設(shè)學(xué)部,北京 100124; 2. 北京工業(yè)大學(xué) 城市與工程安全減災(zāi)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100124)

0 引言

隨著城市深層地下空間的開發(fā)與發(fā)展,豎井結(jié)構(gòu)作為主體結(jié)構(gòu)被廣泛應(yīng)用于城市深層地下停車場(chǎng)、海綿城市防洪排澇豎井和地下調(diào)蓄池等市政工程領(lǐng)域,并呈現(xiàn)出大深度和大直徑的發(fā)展趨勢(shì)。已有震害經(jīng)驗(yàn)表明,地下結(jié)構(gòu)遭受嚴(yán)重的地震威脅[1-2],明確豎井結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)規(guī)律對(duì)提升和完善地下結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)具有重要意義[3-4]。

目前國(guó)內(nèi)外對(duì)城市豎井結(jié)構(gòu)的抗震研究處于起步階段,對(duì)豎井結(jié)構(gòu)抗震研究主要采用數(shù)值模擬和解析解方法,KIM等[5]采用動(dòng)力時(shí)程分析方法和擬靜力分析方法對(duì)豎井及其周圍土體之間的荷載傳遞機(jī)理和動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行了研究;GUERRA等[6]提出一種新的數(shù)值模型研究了大直徑混凝土襯砌豎井在地震激勵(lì)下的響應(yīng);MAYORAL等[7]采用三維動(dòng)力非線性分析方法研究了豎井響應(yīng)并建立了地震作用下豎井結(jié)構(gòu)的易損性曲線;ZHANG和CHEN等[8-10]對(duì)線彈性地層中文克勒地基模型下豎井的地震響應(yīng)提出了理論解析解,基于擬靜力法推導(dǎo)了名義柔度比公式評(píng)估豎井動(dòng)力響應(yīng)特征,并采用三維動(dòng)力時(shí)程分析方法研究了上海軟土大深度豎井地震響應(yīng);ZHANG等[11-13]提出了橫向荷載作用下豎井與隧道接頭節(jié)點(diǎn)動(dòng)力響應(yīng)解析解,推導(dǎo)了SH波下豎井-隧道接頭處的地震響應(yīng)解析解;陳向紅等[3]采用數(shù)值計(jì)算方法研究了水下隧道通風(fēng)豎井地震響應(yīng)規(guī)律。

常見的城市地下豎井結(jié)構(gòu)底部邊界條件有兩種:第一種為“嵌巖型”即豎井底部固定于場(chǎng)地下部堅(jiān)硬巖層中;第二種為“摩擦型”即豎井底部安置于場(chǎng)地土層中。然而,兩種類型豎井地震響應(yīng)區(qū)別及底部邊界對(duì)其初襯與二次襯砌響應(yīng)影響規(guī)律尚未明確,亟需開展豎井底部邊界條件對(duì)初襯及二次襯砌地震響應(yīng)影響研究。

為明確豎井底部邊界條件對(duì)其豎向地震響應(yīng)的影響,本文基于廣義位移法基本思想[14],分別建立了“嵌巖型”與“摩擦型”兩種豎井力學(xué)模型,采用分布傳遞函數(shù)法建立并推導(dǎo)力學(xué)平衡方程及地震響應(yīng)解析解[15]。通過數(shù)值模擬驗(yàn)證了解析解的準(zhǔn)確性和可行性。最后,基于解析解研究了兩種邊界條件下地基彈簧剛度、二次襯砌剛度和豎井外徑對(duì)豎井結(jié)構(gòu)初襯和二次襯砌豎向地震響應(yīng)的影響。

1 豎井模型與假定

本文通過將豎井結(jié)構(gòu)初襯及二次襯砌簡(jiǎn)化為兩根平行豎向振動(dòng)的桿研究其在兩種底部邊界下的地震響應(yīng),初襯周邊土層簡(jiǎn)化為文克勒粘彈性地基,其中均勻分布的彈簧和阻尼器分別模擬豎井周圍土體的動(dòng)切向剛度和輻射阻尼,假設(shè)初襯與二次襯砌之間切向?yàn)閺椥赃B接,忽略法向相互作用,將其簡(jiǎn)化為均勻分布的切向彈性連接層,豎井的初襯與二次襯砌構(gòu)成了一個(gè)文克勒地基桿系統(tǒng),兩種邊界條件下簡(jiǎn)化計(jì)算模型如圖1所示。其中:初襯簡(jiǎn)化為桿1;二次襯砌簡(jiǎn)化為桿2;初襯抗拉剛度為E1A1;等效線密度為ρ1;二次襯砌襯抗拉剛度為E2A2;等效線密度為ρ2;側(cè)向土層分布彈簧剛度為Ke;輻射阻尼系數(shù)為Cs;初襯與二次襯砌襯間切向彈簧剛度為K;豎井深度為L(zhǎng)。在地震動(dòng)激勵(lì)作用下,初襯豎向位移響應(yīng)為w1(z,t),二次襯砌豎向位移響應(yīng)為w2(z,t)。

圖1 簡(jiǎn)化計(jì)算力學(xué)模型示意圖Fig. 1 Diagram of simplified calculation mechanical modal

計(jì)算分析作出如下假定:1)豎井初襯和二次襯砌為各向同性并且均質(zhì)的線彈性體。2)初襯與二次襯砌頂部為自由端,即應(yīng)變?yōu)榱?。底部分別假設(shè)為固定端和彈性邊界,以模擬底部嵌巖和底部懸浮兩種工況。3)地震激勵(lì)為垂直入射的P波,在地震激勵(lì)作用下土層自由場(chǎng)產(chǎn)生豎向位移響應(yīng),豎井初襯和二次襯砌在自由場(chǎng)位移作用下隨之產(chǎn)生豎向位移響應(yīng)。

2 解析解推導(dǎo)

2.1 運(yùn)動(dòng)控制方程

取簡(jiǎn)化模型微元體作力平衡分析,可得微分控制方程[15]:

(1)

式中:f1(z,t)為等效荷載,其表達(dá)式為:

(2)

式中:uff(z,t)為自由場(chǎng)隨著深度方向的豎向位移。

2.2 兩種邊界條件下豎井地震響應(yīng)解析解

將式(1)進(jìn)行初始條件為零的拉普拉斯變換,得到下式:

(3)

其寫為狀態(tài)空間的形式為:

(4)

(5)

(6)

(7)

底部固定邊界條件滿足下式:

w′1(0,t)=w′2(0,t)=0w1(L,t)=w2(L,t)=0

(8)

底部彈性邊界條件滿足下式:

(9)

式中:kt為彈性邊界豎向剛度,c為彈性邊界輻射阻尼。

將兩種邊界條件進(jìn)行拉普拉斯變換并寫為矩陣的形式:

(10)

式中: 底部固定邊界條件Mb1和Nb1為:

(11)

底部彈性邊界條件下Mb2和Nb2分別為:

(12)

根據(jù)LIU等[15]的分布傳遞函數(shù)法,在s域內(nèi)式(4)的解可以表示為:

(13)

其中:

(14)

(z,s)=Φ(z,0,s)Z-1(s)Z(s)=Mb+NbΦ(L,0,s)

(15)

式中:Φ(z,ξ,s)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,其形式為:

Φ(z,ξ,s)=U(z,s)U-1(ξ,s)U(z,s)=ezF(s)

(16)

地震作用下頻域中自由場(chǎng)豎向位移可以表示為下式[16]:

u(z,t)=cos(ksz)u0eiwt

(17)

式中:u0為土體表面的簡(jiǎn)諧振動(dòng)位移幅值,w為圓頻率,Gs=Es/2(1+vs)為土層的剪切模量,Es、ρs、βs和vs是土層的彈性模量、密度、阻尼比和泊松比。將上式代入到荷載向量P(z,s)中并將s替換為iw,通過式(13)可以得到系統(tǒng)的解析解向量:

(18)

本文體現(xiàn)場(chǎng)地土層與豎井相互作用的分布彈簧剛度和輻射阻尼系數(shù)可以表達(dá)為[17]:

(19)

彈性邊界的彈簧剛度和輻射阻尼可以表示為[18]:

(20)

將自由場(chǎng)地震動(dòng)位移時(shí)程進(jìn)行快速傅里葉變換轉(zhuǎn)換為頻域位移幅值,代入上述公式可以計(jì)算出頻域下豎井結(jié)構(gòu)響應(yīng),再進(jìn)行快速逆傅里葉變換即可求得初襯和二次襯砌任意位置處時(shí)域地震響應(yīng)。

3 解析解數(shù)值驗(yàn)證

3.1 數(shù)值有限元模型

基于有限元軟件ABAQUS驗(yàn)證上述解析解的準(zhǔn)確性。在軟件中使用truss單元建模以模擬初襯和二次襯砌,采用直接穩(wěn)態(tài)動(dòng)力學(xué)分析得出數(shù)值模擬結(jié)果。

驗(yàn)證工況參數(shù)如下:豎井深度L=60 m,初襯和二次襯砌的彈性模量為E1=E2=34.5 GPa,密度為ρ1=ρ2=2 500 kg/m3,初襯外徑d=8 m,厚度為0.3 m,二次襯砌的厚度為0.4 m。豎井周圍土層密度ρs=1800 kg/m3,泊松比vs=0.2,阻尼比βs=0.05,彈性模量Es=160 MPa。切向彈性連接層的剛度K=4×107N/m2。地震激勵(lì)選用El-Centro波,其位移時(shí)程與相應(yīng)幅值譜曲線如圖2所示。

圖2 El-Centro波時(shí)程曲線Fig. 2 Time history curve of El-Centro

3.2 解析解與數(shù)值解對(duì)比

本文分別對(duì)兩種邊界條件下的豎井中部地震響應(yīng)解析解進(jìn)行數(shù)值驗(yàn)證,計(jì)算結(jié)果如圖3所示,圖中可以看出:本文解析解與數(shù)值解整體分布一致,吻合較好。為了進(jìn)一步驗(yàn)證解析解的正確性,分別提取解析解與數(shù)值解的位移應(yīng)變正向響應(yīng)最大值進(jìn)行誤差對(duì)比分析,結(jié)果見表1-表2,式(21)為表中誤差計(jì)算表達(dá)式。由表可得:除固定邊界條件應(yīng)變響應(yīng)最大值外,其余誤差均可控制在5%以內(nèi)。僅固定邊界條件下應(yīng)變響應(yīng)的最大值誤差達(dá)15.7%,通過其時(shí)程響應(yīng)曲線可以看出:應(yīng)變值分布規(guī)律一致,解析解準(zhǔn)確性可得到保證。

表1 固定邊界條件解析解數(shù)值解最大地震響應(yīng)值對(duì)比Table 1 Comparison of maximum seismic response values between analytical and numerical solutions with fixed boundary conditions

表2 彈性邊界條件解析解數(shù)值解最大地震響應(yīng)值對(duì)比Table 2 Comparison of maximum seismic response values between analytical and numerical solutions with elastic boundary conditions

圖3 豎井z=30 m處地震響應(yīng)對(duì)比驗(yàn)證Fig. 3 Shaft response of z=30 comparison verification

(21)

4 兩種邊界條件下的參數(shù)影響對(duì)比分析

4.1 地基彈簧剛度變化的影響

基于兩種豎井邊界條件,使用所推導(dǎo)解析解分析其在地基彈簧剛度變化時(shí)豎井結(jié)構(gòu)頂部初襯和二次襯砌的地震峰值位移響應(yīng)規(guī)律。通過改變土層彈性模量進(jìn)行對(duì)比,分別取Es=80、120、160、200和240 MPa進(jìn)行計(jì)算,其余參數(shù)與驗(yàn)證工況保持一致。對(duì)比結(jié)果如圖4所示,可以得出:隨著地基彈簧剛度增大,兩種邊界條件下初襯頂部峰值位移響應(yīng)均會(huì)增大,固定邊界條件下增大較顯著;二次襯砌頂部峰值響應(yīng)在固定邊界條件中略微增加,但在彈性邊界條件中甚至?xí)p小。這是因?yàn)槌跻r直接與土層相連,地基響應(yīng)較直接的傳遞在初襯上,當(dāng)?shù)鼗鶑椈蓜偠仍龃髸r(shí)對(duì)自由場(chǎng)振動(dòng)緩沖減小,引起其位移峰值增大。由此可得:在豎井抗震設(shè)計(jì)中,對(duì)于豎井頂部而言,若土層彈性模量較大,則需要著重考慮地震作用下初襯響應(yīng)的影響。在底部為摩擦型邊界的豎井設(shè)計(jì)中,土層彈性模量較小時(shí)可以重點(diǎn)關(guān)注二次襯砌的位移響應(yīng)。

圖4 地基彈簧剛度對(duì)峰值位移的影響Fig. 4 Effect of foundation spring stiffness on peak displacement

4.2 二次襯砌剛度變化的影響

本文通過改變二次襯砌彈性模量探究二次襯砌剛度對(duì)兩種邊界條件下豎井頂部峰值位移響應(yīng)的影響。圖5給出分別取E2=23、26.5、34.5、39.5和45 GPa時(shí)豎井頂部峰值響應(yīng)對(duì)比結(jié)果,從中可以看出:當(dāng)二次襯砌剛度增大時(shí),彈性邊界條件下的響應(yīng)大于固定邊界條件下的響應(yīng);兩種邊界條件下二次襯砌頂部峰值響應(yīng)有略微減小,但初襯位移響應(yīng)無明顯變化,二次襯砌剛度的變化對(duì)初襯頂部峰值位移影響不大。由分析可得:在修建摩擦型豎井時(shí)應(yīng)重點(diǎn)考慮其頂部豎向位移響應(yīng),尤其是初襯頂部位置處。

圖5 二次襯砌剛度對(duì)峰值位移的影響Fig. 5 Effect of secondary lining stiffness on peak displacement

4.3 豎井外徑變化的影響

通過改變豎井的外徑研究其對(duì)兩種邊界條件下頂部峰值位移響應(yīng)的影響。分別取外徑d=6、7、8、9和10 m進(jìn)行計(jì)算,結(jié)果如圖6所示,可以得出當(dāng)豎井外徑增大,豎井頂部峰值位移均呈減小趨勢(shì),無論是嵌巖型豎井還是摩擦型豎井初襯響應(yīng)均比二次襯砌響應(yīng)要大,其中嵌巖條件下初襯和二次襯砌位移響應(yīng)均小于摩擦型豎井的響應(yīng),在嵌巖條件下豎井二次襯砌頂部的響應(yīng)值非常小,可以忽略不計(jì)。因此,當(dāng)豎井外徑較小時(shí),摩擦型豎井其頂部豎向位移響應(yīng)較大,且在雙層襯砌抗震設(shè)計(jì)中,應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注摩擦型豎井的初襯頂部地震響應(yīng)。

圖6 豎井外徑對(duì)峰值位移的影響Fig. 6 Effect of shaft outer diameter on peak displacement

5 結(jié)論

本文為明確城市地下豎井結(jié)構(gòu)底部邊界條件對(duì)其地震響應(yīng)影響,采用分布傳遞函數(shù)法推導(dǎo)出豎井結(jié)構(gòu)在兩種底部邊界條件下的動(dòng)力響應(yīng)解析解,通過與數(shù)值模擬進(jìn)行對(duì)比,驗(yàn)證了本文解析解的準(zhǔn)確性。最后采用解析的方法分別從地基彈簧剛度、二次襯砌剛度和豎井外徑的角度開展了兩種邊界條件下豎井頂部峰值位移響應(yīng)對(duì)比分析,結(jié)果表明:

1)底部固定邊界條件下的豎井峰值位移響應(yīng)均小于底部彈性邊界條件下的響應(yīng)。

2)兩種邊界條件下地基彈簧剛度越大,初襯峰值位移響應(yīng)均會(huì)明顯增大,固定邊界下二次襯砌峰值響應(yīng)增大,而彈性邊界條件下二次襯砌峰值位移反而減小。在豎井抗震設(shè)計(jì)中,在土層彈性模量較大時(shí)應(yīng)著重考慮地震作用下初襯頂部響應(yīng)的影響。摩擦型豎井設(shè)計(jì)中,土層彈性模量較小時(shí)應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注二次襯砌頂部的位移響應(yīng)。

3)兩種邊界條件下二次襯砌剛度變化對(duì)初襯頂部峰值位移影響很小。在摩擦型豎井抗震設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)重點(diǎn)考慮其頂部豎向位移響應(yīng),尤其是初襯頂部位置處。

4)兩種邊界條件下豎井初襯和二次襯砌頂部峰值位移均隨豎井外徑增大而減小。當(dāng)豎井外徑較小時(shí)摩擦型豎井頂部豎向位移響應(yīng)較大,且應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注摩擦型豎井的初襯頂部地震響應(yīng)。

該研究得出的對(duì)比分析結(jié)論可為豎井抗震設(shè)計(jì)提供一定參考,并為今后豎井的抗震研究提供理論方法和科學(xué)依據(jù)。