剛構(gòu)橋隨機(jī)地震動(dòng)響應(yīng)的簡(jiǎn)明解析解及等效地震力計(jì)算

廖勇剛,張梨榮 ,葛新廣

(1. 廣西西江集團(tuán)紅花二線船閘有限公司,廣西 柳州 545100; 2. 柳州工學(xué)院 土木建筑學(xué)院, 廣西 柳州 545004)

0 引言

橋梁工程是各類交通工程的重要構(gòu)成,其在地震過(guò)程中震害突出,影響巨大[1-3]。剛構(gòu)橋適用于大跨高墩結(jié)構(gòu),廣泛應(yīng)用于市政、公路、鐵路及軌道交通工程中[4]。為了獲得更好的靜力學(xué)特性,剛構(gòu)橋構(gòu)造上采用強(qiáng)梁弱墩的布置形式,與其他類型橋梁相比,因采用梁-墩固結(jié),結(jié)構(gòu)剛度大,自振頻率較同跨度連續(xù)梁、簡(jiǎn)支梁高,動(dòng)力響應(yīng)顯著。近年來(lái),中國(guó)交通業(yè)的高速發(fā)展促進(jìn)了剛構(gòu)橋的工程應(yīng)用,全國(guó)各地建造了眾多剛構(gòu)橋項(xiàng)目,特別在一些震區(qū)。對(duì)剛構(gòu)橋地震動(dòng)特性和動(dòng)力響應(yīng)分析是近年來(lái)工程界的研究熱點(diǎn)[5-8]。單德山等[9]研究了斷層距對(duì)大跨高墩連續(xù)剛構(gòu)橋的響應(yīng)特點(diǎn),研究表明:不同斷層距的大跨高墩連續(xù)剛構(gòu)橋梁的地震響應(yīng)具有明顯差異,近斷層地震響應(yīng)明顯強(qiáng)烈;閆曉宇等[10]基于振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)研究了近斷層效應(yīng)對(duì)剛構(gòu)橋的動(dòng)力響應(yīng),研究表明:近斷層對(duì)剛構(gòu)橋橋墩和主梁的跨中內(nèi)力與位移具有顯著影響。以上研究主要關(guān)注時(shí)程地震動(dòng)激勵(lì)下對(duì)剛構(gòu)橋橋墩水平方向的動(dòng)力響應(yīng)分析,實(shí)際上地震動(dòng)具有顯著的隨機(jī)性[11-12],且在順橋向水平地震作用下,橋墩產(chǎn)生側(cè)移使墩頂產(chǎn)生動(dòng)彎矩進(jìn)而引起梁跨結(jié)構(gòu)的豎向震動(dòng)和水平震動(dòng)。因此,研究順橋向水平隨機(jī)地震動(dòng)作用下,剛構(gòu)橋順橋向和豎向耦合地震效應(yīng),對(duì)于確保剛構(gòu)橋抗震防災(zāi)具有理論意義。

工程上,利用功率譜密度函數(shù)描述地震激勵(lì)的隨機(jī)性是一種主要方法,如白噪聲譜、Kanai-Tajimi譜、Clough-Pezien譜和歐進(jìn)萍譜等[13-16]?；诠β首V模型的地震動(dòng)響應(yīng)分析,主要有時(shí)域法和頻域法[17-18]。時(shí)域法中結(jié)構(gòu)響應(yīng)的協(xié)方差由地震激勵(lì)協(xié)方差與脈沖響應(yīng)函數(shù)在時(shí)域的二重積分來(lái)表示,對(duì)于白噪聲激勵(lì)易于獲得響應(yīng)的簡(jiǎn)明解,但對(duì)于其他復(fù)雜地震動(dòng)譜則存在響應(yīng)計(jì)算復(fù)雜的問(wèn)題。頻域法中,結(jié)構(gòu)響應(yīng)的功率譜密度函數(shù)表示為地震動(dòng)功率譜密度函數(shù)與響應(yīng)量頻響函數(shù)模值平方的代數(shù)積,表達(dá)式簡(jiǎn)潔因而得到廣泛應(yīng)用,虛擬激勵(lì)法是其典型代表[18]。然而結(jié)構(gòu)安全評(píng)估和設(shè)計(jì)需要響應(yīng)量的方差和譜矩,是基于響應(yīng)量功率譜密度函數(shù)在頻域上的積分?，F(xiàn)行《公路橋梁抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》(JTJ/T 2231-01-2020)[19]采用功率譜法計(jì)算橋梁隨機(jī)地震動(dòng)響應(yīng),應(yīng)用時(shí)采用有效頻率區(qū)間的數(shù)值積分法進(jìn)行近似計(jì)算。近年來(lái),張俊等[12]和葛新廣等[21-22]針對(duì)傳統(tǒng)方法無(wú)法獲得封閉解的不足,提出了結(jié)構(gòu)響應(yīng)方差和譜矩計(jì)算的封閉解法,所提方法無(wú)需數(shù)值積分運(yùn)算。

針對(duì)多跨剛構(gòu)橋在順橋向水平地震作用下,墩梁固結(jié)處的墩頂部產(chǎn)生動(dòng)彎矩進(jìn)而使相連的橋跨結(jié)構(gòu)產(chǎn)生動(dòng)彎矩,從而引起橋梁水平與豎向耦合振動(dòng)的特征,提出了一種研究剛構(gòu)橋在順橋向隨機(jī)地震動(dòng)作用下,水平和豎向耦合振動(dòng)位移譜矩和等效地震力的新解析解法。首先,建立剛構(gòu)橋雙向地震動(dòng)方程,基于MIDAS有限元軟件對(duì)剛構(gòu)橋進(jìn)行離散化建模并獲得其豎向及順橋向振動(dòng)的振型、自振圓頻率和節(jié)點(diǎn)集中質(zhì)量的動(dòng)力參數(shù);其次,基于實(shí)模態(tài)解耦法,將整橋結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)位移表示為實(shí)模態(tài)振型的線性組合;再次,基于功率譜密度函數(shù)的二次化法[21-22],獲得了廣義變量及節(jié)點(diǎn)位移響應(yīng)譜矩和方差的解析解法;最后,基于動(dòng)力學(xué)等效原則獲得了剛構(gòu)橋節(jié)點(diǎn)等效地震力計(jì)算式。

1 剛構(gòu)橋地震動(dòng)位移響應(yīng)的頻域解

連續(xù)剛構(gòu)橋的結(jié)構(gòu)形式為邊墩與橋跨結(jié)構(gòu)采用支座連接而中墩與橋跨結(jié)構(gòu)采用剛性連接,動(dòng)力學(xué)上常采用集中質(zhì)量法進(jìn)行結(jié)構(gòu)離散化如圖1所示。順橋向地震動(dòng)作用下橋墩的墩頂會(huì)產(chǎn)生動(dòng)彎矩從而引起橋跨結(jié)構(gòu)產(chǎn)生動(dòng)彎矩,進(jìn)而引起橋跨結(jié)構(gòu)產(chǎn)生順橋向及豎向振動(dòng)。為此,考慮全橋結(jié)構(gòu)順橋向水平及豎向振動(dòng)自由度建立其動(dòng)力方程為:

圖1 剛構(gòu)橋動(dòng)力學(xué)簡(jiǎn)圖Fig. 1 Dynamic calculating diagram of rigid frame bridge

(1)

引入廣義坐標(biāo)向量q,則剛構(gòu)橋節(jié)點(diǎn)位移向量表示為[23]:

x=φq

(2)

式中:q={q1,…,qN}T, φ為剛構(gòu)橋結(jié)構(gòu)前N階振型,為n×N階矩陣。

把式(2)帶入式(1)并利用實(shí)模態(tài)振型分析法,則基于廣義坐標(biāo)地震動(dòng)方程為:

(3)

由虛擬激勵(lì)法[18],式(3)所表示的廣義坐標(biāo)的頻域解為:

(4)

由式(2)及式(4),剛構(gòu)橋i節(jié)點(diǎn)處位移xi的頻域解為:

(5)

式中:φi,l為結(jié)構(gòu)實(shí)模態(tài)振型φ的第i行和第l列元素。

2 剛構(gòu)橋響應(yīng)功率譜的二次分解式

由式(4)及虛擬激勵(lì)法[18],廣義坐標(biāo)響應(yīng)功率譜表示為:

(6)

由式(4)可知:對(duì)式(6)中的|Hql(ω)|2式進(jìn)行二次式分解,即:

(7)

把式(7)帶入式(6),則廣義坐標(biāo)的功率譜表示為:

(8)

由式(5)及虛擬激勵(lì)法[18],則位移響應(yīng)的功率譜表示為:

(9)

對(duì)式(9)進(jìn)行求和展開:

(10)

(11)

針對(duì)Hqlqk(ω)進(jìn)行二次式化,具體見(jiàn)附錄A,其二次式為:

(12)

由式(11)和式(12),結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)功率譜表示為:

(13)

(14)

式中:ξf,ξg,ωf,ωg分別為場(chǎng)地土的振動(dòng)特征值,S0為地震動(dòng)強(qiáng)度系數(shù)。

由留數(shù)定理,對(duì)式(14)進(jìn)行二次式分解為[23]:

(15)

3 結(jié)構(gòu)響應(yīng)譜矩和方差的簡(jiǎn)明封閉解

由隨機(jī)振動(dòng)理論[17-18],剛構(gòu)橋位移響應(yīng)和廣義變量的譜矩和方差表示為:

(16)

(17)

(18)

把式(8)帶入式(16)及式(13)帶入式(17)并進(jìn)行積分,譜矩表示為:

(19)

(20)

式中:

(21)

(22)

對(duì)式(21)和式(22)進(jìn)行積分,可獲得其解析解為:[23],

(23)

(24)

(25)

(26)

4 等效地震力的計(jì)算

工程設(shè)計(jì)常需要獲得結(jié)構(gòu)地震動(dòng)作用下的內(nèi)力,以便與靜荷載工況結(jié)構(gòu)內(nèi)力進(jìn)行荷載組合。在獲得隨機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)位移方差的基礎(chǔ)上,利用慣性力和動(dòng)力學(xué)原理可獲得等效的節(jié)點(diǎn)地震力,是一種擬靜荷載,便于獲得地震作用下結(jié)構(gòu)的內(nèi)力值。

由結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)可知[24]:線彈性結(jié)構(gòu)實(shí)模態(tài)解耦時(shí),滿足下式:

(27)

基于式(27)、式(28)、式(29)和式(30),可獲得結(jié)構(gòu)體系無(wú)阻尼自振圓頻率ω和實(shí)模態(tài)振型φ。

由隨機(jī)振動(dòng)理論[17-18],廣義變量二階導(dǎo)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差與廣義變量標(biāo)準(zhǔn)差存在關(guān)系為:

(28)

由式(2)和式(28)可知: 第i階振型的節(jié)點(diǎn)位移標(biāo)準(zhǔn)差向量可表示為:

(29)

式中:σxi和φi分別為第i階振型節(jié)點(diǎn)位移方差向量和第i階振型。

慣性力可表示為質(zhì)量與加速度的乘積,故節(jié)點(diǎn)慣性力向量可表示為:

(30)

在結(jié)構(gòu)體系確定時(shí),由結(jié)構(gòu)力學(xué)的位移法可知,節(jié)點(diǎn)力可使結(jié)構(gòu)體系產(chǎn)生確定性節(jié)點(diǎn)位移;反之,當(dāng)確定性節(jié)點(diǎn)位移已知,可反推出確定的節(jié)點(diǎn)力,

σFi=Kσxi

(31)

由式(27)、式(30)及式(31),結(jié)構(gòu)體系節(jié)點(diǎn)力標(biāo)準(zhǔn)差可表示為:

(32)

工程設(shè)計(jì)時(shí),結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)響應(yīng)值取峰值因子與響應(yīng)量標(biāo)準(zhǔn)差的乘積,故第i振型的剛構(gòu)橋等效地震力可取:

(33)

式中,FE,i,cf為節(jié)點(diǎn)等效節(jié)點(diǎn)地震力向量,cf為峰值因子,《公路橋梁抗震設(shè)計(jì)》規(guī)范(JTJ/T 2231-01-2020)[19]取2.5。

利用式(33)可結(jié)構(gòu)實(shí)模態(tài)振型對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)等效地震力,并利用有限元軟件獲得結(jié)構(gòu)等效內(nèi)力,可SRSS法獲得多振型下的地震等效內(nèi)力設(shè)計(jì)值。

5 算例

某3跨預(yù)應(yīng)力混凝土連續(xù)剛構(gòu)橋(跨度布置為60 m+110 m+60 m),采用變高度單箱單室截面,最大梁高7.0 m,最小梁高3.0 m,如圖2所示。1#墩和4#墩采用矩形實(shí)心墩(2 m×9 m),高分別為16.5 m和17.5 m;2#墩和3#墩采用凈距為1.3 m的雙薄壁墩(1.3 m×9 m),高分別為20.5 m和21.0 m。按8度設(shè)防,場(chǎng)地土為中硬土,雙過(guò)濾白噪聲激勵(lì)參數(shù):ωg=15.71 rad/s,ωf=0.4ωg,ξg=ξf=0.72,S0=111.34×10-4m2s-3。

圖2 剛構(gòu)橋動(dòng)力學(xué)簡(jiǎn)圖Fig. 1 Dynamic calculating diagram of rigid frame bridge

利用Midas軟件對(duì)剛構(gòu)橋進(jìn)行有限元離散化可獲得剛構(gòu)橋的實(shí)模態(tài)振型和圓頻率。邊墩1#墩和4#墩與橋跨結(jié)構(gòu)采用球形橡膠支座進(jìn)行連接,模擬時(shí)邊墩與主梁采用彈性連接,側(cè)向剛度取值為450 kN/m。剛構(gòu)橋結(jié)構(gòu)阻尼采用瑞雷阻尼,阻尼比取5%。

5.1 所提方法驗(yàn)證

虛擬激勵(lì)法廣泛應(yīng)用于各類工程的隨機(jī)動(dòng)力響應(yīng)分析[18],是目前分析隨機(jī)激勵(lì)下結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)最常用的方法。該方法在計(jì)算結(jié)構(gòu)響應(yīng)0～2階譜矩和方差時(shí),需要數(shù)值積分。為了驗(yàn)證本文方法的正確性,利用虛擬激勵(lì)法及數(shù)值積分進(jìn)行驗(yàn)證。

圖3-8為采用虛擬激勵(lì)法和本文方法計(jì)算橋跨結(jié)構(gòu)豎向地震動(dòng)和橋墩結(jié)構(gòu)水平向地震動(dòng)的0～2階譜的對(duì)比圖。虛擬激勵(lì)法的ωu經(jīng)過(guò)試算取1000 rad/s,而Δω經(jīng)過(guò)試算分別取2.5 rad/s,1.0 rad/s,和0.1 rad/s。

圖3 橋跨結(jié)構(gòu)豎向位移0階譜Fig. 3 Zero-order spectral moments of bridge displacement in vertical direction

圖4 橋跨結(jié)構(gòu)豎向位移1階譜Fig. 4 First-order spectral moments of bridge displacement in vertical direction

從圖3-8可知:隨著虛擬激勵(lì)法中積分步長(zhǎng)的變小,其計(jì)算結(jié)果越來(lái)越接近本文方法,從而說(shuō)明了本文方法的正確性。虛擬激勵(lì)法中Δω=0.1 rad/s與本文方法的結(jié)算結(jié)果十分吻合,在相同的計(jì)算機(jī)環(huán)境下,耗時(shí)為36.38 s;而本文方法耗時(shí)為1.06 s,說(shuō)明本文方法無(wú)需試算且具有較高的效率。

從圖3至圖5可知:橋跨結(jié)構(gòu)豎向地震動(dòng)位移0～2譜矩,中跨的跨中最大;1#墩和4#墩處位移譜矩比邊跨跨中位移譜矩大很多。

圖5 橋跨結(jié)構(gòu)豎向位移2階譜>Fig. 5 Second-order spectral moments of bridge displacement in vertical direction

從圖6至圖8可知:2#和3#薄壁墩的兩分支墩順橋向位移譜基本相同,說(shuō)明在橋墩構(gòu)件高度相同時(shí),可認(rèn)為結(jié)構(gòu)的地震動(dòng)響應(yīng)相同;對(duì)比0～2階譜中邊墩與中墩的位移譜矩關(guān)系,發(fā)現(xiàn)邊墩0～1階譜矩相對(duì)中墩較小,而2階譜矩的邊墩接近中墩,由于位移的2階譜矩代表節(jié)點(diǎn)地震動(dòng)速度響應(yīng)量,說(shuō)明邊墩地震動(dòng)位移較小,但其振動(dòng)的速度可能會(huì)很大。

圖6 橋墩結(jié)構(gòu)順橋向位移0階譜Fig. 6 Zero-order spectral moments of longitudinal bridge displacement of piers

圖7 橋墩結(jié)構(gòu)順橋向位移1階譜Fig. 7 First-order spectral moments of longitudinal bridge displacement of piers

圖8 橋墩結(jié)構(gòu)順橋向位移2階譜Fig. 8 Second-order spectral moments of longitudinal bridge displacement of piers

5.2 等效地震力計(jì)算

利用式(33)計(jì)算剛構(gòu)橋橋跨基于前50階實(shí)模態(tài)振型的水平及豎向等效地震力,如圖9-10所示。

圖9 基于實(shí)模態(tài)橋跨結(jié)構(gòu)順橋向等效地震力Fig. 9 Horizontal equivalent seismic forces of bridge span structure based on real model

圖9及圖10分別列出了對(duì)梁跨結(jié)構(gòu)順橋向震動(dòng)起主導(dǎo)作用的16個(gè)實(shí)模態(tài)振型對(duì)應(yīng)的等效地震力,順橋向震動(dòng)與水平向震動(dòng)的主動(dòng)振型各不相同,其中順橋向最高階主導(dǎo)振型為第40階,豎向最高階振型為第28階,說(shuō)明剛構(gòu)橋橋跨結(jié)構(gòu)地震動(dòng)響應(yīng)分析均需要考慮高階振型。對(duì)比分析圖10,橋梁結(jié)構(gòu)豎向地震力數(shù)值較大,不能忽略。

圖10 基于實(shí)模態(tài)的橋跨結(jié)構(gòu)豎向等效地震力Fig. 10 Vertical equivalent seismic forces of bridge span structure based on real model

綜上所述,針對(duì)剛構(gòu)橋地震響應(yīng)的分析,需考慮多振型的影響,且橋跨結(jié)構(gòu)的豎向振動(dòng)不能忽略。

6 結(jié)論

論文研究了大跨度剛構(gòu)橋在順橋向地震動(dòng)作用下,雙向地震動(dòng)響應(yīng)譜矩和方差的解析解及等效地震力的計(jì)算方法,取得了如下結(jié)論:

1)在獲得各節(jié)點(diǎn)等效地震力方差后,利用結(jié)構(gòu)力學(xué)的方法獲得全橋結(jié)構(gòu)的彎矩、剪力及軸力等內(nèi)力,然后利用SRSS方法可獲得剛構(gòu)橋構(gòu)件等效地震力作用下的內(nèi)力值,并可與作用在橋梁上的其他荷載作用下的內(nèi)力進(jìn)行組合,從而可開展基于隨機(jī)振動(dòng)理論的橋梁結(jié)構(gòu)抗震分析及動(dòng)力可靠度分析。

2)針對(duì)剛構(gòu)橋在順橋向地震動(dòng)作用下會(huì)產(chǎn)生順橋向水平和豎向地震動(dòng)效應(yīng),兩種振動(dòng)必須都要考慮;若采用實(shí)模態(tài)分解法進(jìn)行地震動(dòng)響應(yīng)分析時(shí),必須考慮多振型才能獲得正確解。

附 錄AHqlqk(ω)的二次式分解

針對(duì)Hqlqk(ω)進(jìn)行整理:

(34)

由留數(shù)定理,式(34)可改寫為:

(35)

(36)

由于pl1是Hql(pl1)的根,所以式(36)改寫為:

(37)

對(duì)式(37)進(jìn)一步簡(jiǎn)化為:

(38)

(39)

(40)

對(duì)式(40)進(jìn)一步簡(jiǎn)化為:

(41)

(42)

由式(42)及式(35)改寫為:

(43)

對(duì)式(43)整理后,則式(35)的二次式表示為:

(44)