水平非均勻土層基本周期的解析解答

羅江龍,陳卓識,袁曉銘

(1. 中國地震局工程力學(xué)研究所,地震工程與工程振動重點(diǎn)實(shí)驗室,黑龍江 哈爾濱 150080;2. 地震災(zāi)害防治應(yīng)急管理部重點(diǎn)實(shí)驗室,黑龍江 哈爾濱 150080)

0 引言

在場地地震反應(yīng)分析發(fā)展過程中,國內(nèi)外學(xué)者普遍遵循了從簡單到復(fù)雜,由粗糙到精細(xì)的原則[1]。因此水平場地是分析最多的場地,同時水平場地在現(xiàn)實(shí)中也是最為常見的場地。在水平場地中,將覆蓋土層和下臥基巖簡化為力學(xué)性質(zhì)沿豎向成層變化、橫向均勻的半無限空間體系是最早被提出的水平非均勻土層地震反應(yīng)分析模型。盡管這種一維模型無法考慮橫向不均勻和局部地形等因素的影響,但因其滿足了常規(guī)工程場地地震動分析的基本要求,并為繼續(xù)研究場地的二維和三維土層地震反應(yīng)分析奠定了基礎(chǔ),這一思路,受到了國內(nèi)外的廣泛認(rèn)可。

場地地震反應(yīng)分析中,基本周期作為場地固有特性是評價場地條件的重要參數(shù)之一,本文中具體定義為場地一維模型在無阻尼情況下第一振型對應(yīng)的周期。場地基本周期的計算方法包括簡化法、數(shù)值法和解析法。其中典型的簡化法有子層周期求和法[2],逐層單自由度法[3],子層周期加權(quán)累加法[4];數(shù)值法則有集中質(zhì)量法[5]、直接法[6]、Rayleigh法[7]和簡化Rayleigh法[8]。對于實(shí)際工程,雖然數(shù)值法可以直接給出結(jié)果,但解析解不僅可以作為檢驗數(shù)值方法可靠性的參照,還可以明確給出場地基本周期的變化規(guī)律。因此場地基本周期的解析解答對認(rèn)識場地固有特性具有重要意義。黃保榮[9]將場地簡化為雙質(zhì)點(diǎn)體系和三質(zhì)點(diǎn)體系,推導(dǎo)出場地基本周期,其研究目標(biāo)是其中某個質(zhì)點(diǎn)剛度顯著軟化后場地周期較軟化前的相對變化,并在這方面給出了很好的解析結(jié)果,首次取得了地震等動荷載作用后一個場地中土層局部軟化下場地周期變化規(guī)律的較為全面的理論認(rèn)識。但采用的有限質(zhì)點(diǎn)體系還不能代表土層結(jié)構(gòu)和特性的一般情況,也并非針對不同地表剪切波速、不同場地覆蓋層厚度以及不同土層剛度非均勻情況下場地基本周期的變化問題。

既有水平場地基本周期解析解研究,局限于土層剛度沿深度為定值的均勻情況。在實(shí)際場地中,土層剛度沿深度是增長的,且研究表明多為指數(shù)增長的非均勻情況[3,10]。但目前這種水平非均勻場地基本周期的解析認(rèn)知近乎空白。本文針對地震反應(yīng)初邊值問題,采用分離變量法給出該類場地基本周期解析解答,并通過數(shù)值分析提出主控參數(shù)對場地基本周期的影響,針對水平場地土層剛度隨深度指數(shù)變化這一常規(guī)情況,為該類場地基本周期數(shù)值解提供對比標(biāo)準(zhǔn),增強(qiáng)對非均勻場地基本周期規(guī)律的認(rèn)知。

1 解析解的推導(dǎo)

1.1 基本假定

在研究中:假定土為線性粘彈體,在水平方向上的性質(zhì)是均勻的,基巖或相對硬層與其上土層的接觸面為水平面,基巖或相對硬層只做水平運(yùn)動。在這種情況下,水平土層只產(chǎn)生水平的剪切運(yùn)動,并且只與豎向坐標(biāo)有關(guān)而與水平坐標(biāo)無關(guān)。這樣,水平場地土層的地震反應(yīng)分析就可簡化成一維問題?，F(xiàn)取一個深度為H的單位面積的土柱來研究,如圖1所示。

圖1 單位面積土柱示意圖Fig. 1 Schematic diagram of soil column per unit area

土的非均勻性質(zhì):根據(jù)波傳播理論,土的動剪切模量與剪切波速具有如下關(guān)系:

(1)

依照既有研究,冪函數(shù)是表示土體剪切波速與埋深間關(guān)系的常用函數(shù)模型。若剪切波速用冪函數(shù)式(2)形式給出:

Vs=Vs0zβ

(2)

則可直接根據(jù)式(1)導(dǎo)出剪切模量表達(dá)式:

(3)

若沿土層深度指定一系列點(diǎn)的剪切波速已知時,可根據(jù)式(2)擬合出剪切波速表達(dá)式。然后,將這些點(diǎn)的剪切模量G隨深度的變化用下式表達(dá):

G=Kzp

(4)

1.2 地震反應(yīng)分析方程

由微元土柱體的動力平衡得:

(5)

將式(4)代入動力平衡方程式(5):

(6)

一維水平土層地震反應(yīng)的定解條件如下:

邊界條件:

(7)

初始條件:

(8)

1.3 分離變量法求解

為求解式(6),本文了采用分離變量法,具體過程如下:

(9)

式中:bi為將1在區(qū)間[0,H]按振型函數(shù)Zi展開的系數(shù)。將式(9)代入式(6)可得:

(10)

(11)

求解式(10)。引用坐標(biāo)變換:

(12)

(13)

式中:C、θ和α為待定常數(shù)。

一階求導(dǎo)得:

(14)

二階求導(dǎo)得:

(15)

將式(14)和式(15)代入式(10)得:

(16)

令

(17)

則式(16)簡化為:

(18)

上式為α階貝塞爾方程式,其解形式如下:

(19)

由邊界條件式(7)第一式以及貝塞爾函數(shù)的遞推公式得d1=0,再由邊界條件式(7)第二式得:

(20)

設(shè)β-α,i為貝塞爾函數(shù)J-α的零點(diǎn),則得:

(21)

最終得到Zi的表達(dá)式:

(22)

令:

(23)

將式(23)代入式(11)整理后得:

(24)

由式(24)得ωi為振動圓頻率。由式(23)第一式、式(21)以及式(17)第三式得ωi表達(dá)式 :

(25)

則基本周期為:

(26)

需注意:

(27)

時才能借助數(shù)學(xué)工具貝塞爾函數(shù)進(jìn)行上述求解。

2 基本周期與地表剪切波速關(guān)系

將式(3)代入式(26)得:

(28)

由式(28)得土層基本周期與地表剪切波速成反比。

本文建立不同類別場地模型參照了劉紅帥等[10]給出的剪切波速與場地類別的對應(yīng)關(guān)系。依據(jù)這一原則,計算厚度為100 m,非均勻系數(shù)為0.5,密度取1 800 kg/m3的土層其對應(yīng)的場地基本周期,如圖2所示。

圖2 地表剪切波速與基本周期關(guān)系Fig. 2 Relationship between the surface shear wave velocity and fundamental period

由圖2可知:計算厚度為100 m,非均勻系數(shù)為0.5,密度取1 800 kg/m3的土層,當(dāng)取Ⅱ類場地時基本周期最小值為0.98 s,最大值為1.45 s;當(dāng)?、箢悎龅貢r基本周期最小值為1.23 s,最大值為1.59 s;當(dāng)取Ⅳ類場地時基本最小值為1.27 s,最大值為5.67 s。依據(jù)上述模型,隨場地類別變大,基本周期最小值和最大值均相應(yīng)提高。

3 基本周期與場地覆蓋層厚度關(guān)系

由式(17)第二式可得:

(29)

由式(27)、式(28)及式(29)可得土層基本周期與覆蓋層厚度成凸函數(shù)關(guān)系,覆蓋層厚度增加,基本周期增加變緩;同時可得土層基本周期與土層剛度非均勻系數(shù)為減函數(shù)關(guān)系,非均勻系數(shù)增大,土層基本周期減小。

根據(jù)我國《建筑抗震設(shè)計規(guī)范》(GB 50011—2010)[11]2016年版,Ⅱ類場地覆蓋層厚度應(yīng)大于3 m,Ⅲ類場地覆蓋層厚度應(yīng)大于15 m,Ⅳ類場地覆蓋層厚度應(yīng)大于80 m。計算K=18 000 000,即Vs0=100 m/s,非均勻系數(shù)為0.5,密度取1 800 kg/m3,厚度從3 m到100 m的土層其對應(yīng)的場地基本周期,如圖3所示。

圖3 覆蓋層厚度與基本周期關(guān)系Fig. 3 Relationship between the thickness of the cover layer and the fundamental period

由圖3可知:計算K=18 000 000,即Vs0=100 m/s,非均勻系數(shù)為0.5,密度取1 800 kg/m3的3～100 m厚土層,在Ⅱ類場地時基本周期最小值為0.10 s,最大值為1.42 s;在Ⅲ類場地時基本周期最小值為0.34 s,最大值為1.42 s;在Ⅳ類場地時基本周期最小值為1.2 s,最大值為1.42 s。在上述計算條件下,隨場地類別變大,基本周期的最小值提高,場地類別從Ⅱ類變化到Ⅳ類,基本周期最小值提高了1.1 s。

4 結(jié)論

針對水平場地土層剛度隨深度指數(shù)變化這一常規(guī)情況,本文建立了地震反應(yīng)模型,采用分離變量法給出其基本周期的解析解答,并研究了基本周期隨主控參數(shù)的變化規(guī)律。對該類場地,本文研究的主要結(jié)論為:

1) 土層基本周期是地表剪切波速、場地覆蓋層厚度以及土層剛度非均勻系數(shù)的函數(shù)。

2)土層基本周期與地表剪切波速成反比。

3)土層基本周期與土層剛度非均勻系數(shù)為減函數(shù)關(guān)系,非均勻系數(shù)增大,土層基本周期減小。

4) 土層基本周期與覆蓋層厚度成凸函數(shù)關(guān)系,覆蓋層厚度增加,基本周期增加變緩。