利用彈性升階變換求解一階非線性微分方程

李順初, 劉 盼*, 付雪倩, 邵東鳳, 范 林, 桂欽民

1.西華大學(xué) 理學(xué)院, 四川 成都 610039;2.北京東潤科石油技術(shù)股份有限公司, 北京 100029

眾所周知,微分方程對于理解生物學(xué)、物理學(xué)、工程技術(shù)等領(lǐng)域有著十分重要的作用[1-3]。在實(shí)際問題中,若能求出常微分方程的解析解會對理解和解決實(shí)際工程和科學(xué)問題有著重要的意義。迄今為止,許多求解微分方程的方法已被提出[4-5]。其中,第二種Weber方程作為特殊函數(shù)中的重要一類,已有許多學(xué)者進(jìn)行了通解、邊值問題求解等內(nèi)容的研究[6-7]。

彈性在經(jīng)濟(jì)學(xué)、數(shù)學(xué)等學(xué)科中具有十分重要的地位,自1920年需求彈性的概念被阿爾弗雷德·馬歇爾[8]提出后,肖人俊等[9]給出了供給與需求的價(jià)格彈性公式。之后,Woods等[10]提出了彈性及彈性系數(shù)的概念,彈性在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用逐漸廣泛。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域,李順初等[11]提出彈性外邊界的概念,簡化了求解微分方程的彈性邊值問題的計(jì)算過程。彈性、彈性系數(shù)、彈性外邊界等概念在工程學(xué)、物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)[12-15]等各個(gè)學(xué)科得到了廣泛應(yīng)用。

彈性理論擁有著濃厚的科學(xué)背景,基于彈性的特征,本文提出一種微分變換——彈性升階變換,并用于求解可化為第二種Weber方程的一階非線性微分方程的解析解,是求解微分方程解析解的一個(gè)重要擴(kuò)展。

1 預(yù)備知識

1.1 彈性的定義

定義1 如果函數(shù)y=f(x)可微并且f(x)≠0,則彈性函數(shù)可以定義成[10]

(1)

這種將y轉(zhuǎn)化為u的變換就稱為彈性升階變換。

1.2 彈性的意義

1.3 彈性的導(dǎo)數(shù)

引理1 如果函數(shù)y=f(x)二階可微并且y≠0,則

1.4 第二Weber方程

引理2 第二Weber方程[16]為

它的本征值為λ=2n+1(n=0,1,2,…),它的通解可以表示為

z=ADn(x)+BEn(x),

2 利用彈性升階變換求解一類一階非線性微分方程

2.1 主要定理及其證明

定理1 一類一階非線性微分方程

(2)

式中,λ=2n+1(n=0,1,2,…),通解存在且

(3)

式中,C、F為任意常數(shù),Dn(x)、En(x)分別為n次的第一類、第二類Weber函數(shù)。

證明設(shè)y為z的彈性函數(shù),由彈性的定義式(1)得到當(dāng)z≠0時(shí),有

(4)

再由引理1,得

從而可由方程(2)、(4)變形為

此為參數(shù)λ的第二種Weber方程。利用引理2,可以得到解為

z=ADn(x)+BEn(x),

(5)

式中,A、B為任意常數(shù)且A2+B2≠0,Dn(x)、En(x)分別稱為n次的第一類、第二類Weber函數(shù)。再根據(jù)式(4)求出式(5)的彈性,即可得出方程(2)的解為

當(dāng)A2+B2≠0時(shí),可得

式中,C、F為任意常數(shù)。因此得到式(3)。

最后,將式(3)代入式(2),經(jīng)驗(yàn)證定理1成立。

2.2 利用彈性升階變換求解微分方程的步驟

步驟1 利用彈性的定義及引理1,將一階非線性微分方程轉(zhuǎn)化為第二種Weber方程;

步驟2 利用引理2求得第二種Weber方程的解;

步驟3 求步驟2中得到的解的彈性,即可得此一階微分方程的解析解。

求解流程如圖1所示。

圖1 求解流程

2.3 舉例

研究如下一階非線性微分方程

(6)

的通解為

(7)

式中,C、F為任意常數(shù)。

解可以看出式(6)符合式(2)形式。

步驟1 設(shè)y為z的彈性函數(shù),由彈性的定義式(1)得到當(dāng)z≠0時(shí),有

(8)

再由引理1,得

從而可將方程(6)轉(zhuǎn)化為

步驟2 根據(jù)引理2,求第二種Weber方程的解為

式中,A、B為任意常數(shù)且A2+B2≠0。D1(x)、E1(x)分別稱為一次的第一類、第二類Weber函數(shù)。易得z二階可微。

步驟3 利用式(8)求z的彈性,即可得此一階非線性微分方程的解析解為

式中,C、F為任意常數(shù)。由此得到式(7)。最后,將式(7)代入微分方程(6),經(jīng)驗(yàn)證為微分方程(6)的解。

3 結(jié)論與認(rèn)識

彈性是任何一個(gè)函數(shù)相對于其自變量所特有的性質(zhì),由此,本文提出了彈性升階變換這一概念并將其應(yīng)用于非線性微分方程的求解中。彈性升階變換能解出可化為第二種Weber方程的一類一階非線性微分方程的解析解。實(shí)際上,若通過彈性升階變換能將微分方程轉(zhuǎn)化為任意可求解的微分方程,那么都可用彈性升階變換法求其解析解。彈性升階變換法擴(kuò)大了非線性微分方程的可求解類,是求解微分方程解析解的一個(gè)重要擴(kuò)展。