線性Volterra-Fredholm積分方程的Touchard多項式配置解法

楊謹僮, 陳 沖

1.西華師范大學 數(shù)學與信息學院, 四川 南充 637002;2.西華師范大學 公共數(shù)學學院, 四川 南充 637002

為了解決物理學中關(guān)于彈性理論的相關(guān)問題,研究者發(fā)現(xiàn)了積分方程。積分方程不僅在數(shù)學、物理學中有著重要的作用,在工程、生物等其他科學領(lǐng)域建模[1]中也有著不小的貢獻。本文考慮如下線性Volterra-Fredholm積分方程:

(1)

(2)

近年來,多種數(shù)值方法被用于求解線性和非線性Volterra-Fredholm積分方程[4-15]。文獻[4-6]中采用了最小二乘法求解線性Volterra-Fredholm積分方程,此外求解線性Volterra-Fredholm積分方程還有泰勒展開方法[7-8]、皮卡徳迭代方法[9]、伯努利矩陣方法[10]等。Wazwaz[11]應用了改進的分解方法對非線性Volterra-Fredholm積分方程進行數(shù)值研究,得到了近似解。配置法是常用的一種數(shù)值方法,該方法能夠方便有效地求出該方程的近似解,且靈活多變,不僅可以求解Volterra型積分方程[16]和Fredholm型積分方程[17],還可以求解Volterra-Fredholm積分方程[12-15]。Toucahrd多項式相比于文獻[12-15]中的函數(shù)而言,其形式簡單且計算方便。因此,本文提出Touchard多項式配置法求解形如式(1)和式(2)的Volterra-Fredholme積分方程,并對該方法進行收斂性分析。

1 Touchard多項式

圖沙多項式(Touchard polynomials)也被稱為指數(shù)多項式[18-19],是由法蘭西數(shù)學家Jacque Touchard在1939年首先研究的多項式。Kuzmin和Leonova利用Touchard多項式及相關(guān)性質(zhì)解決了單服務器排隊系統(tǒng)和循環(huán)排列問題[20]。Touchard多項式由二項型多項式序列所構(gòu)成,形式為

(3)

T0(x)=1,

T1(x)=1+x,

T2(x)=1+2x+x2,

T3(x)=1+3x+3x2+x3。

2 方法構(gòu)造

考慮形如方程(1)的線性Volterra-Fredholm積分方程求近似解的算法構(gòu)造。用Touchard多項式構(gòu)造函數(shù)un(x),即

(4)

其中,n是任意非負整數(shù),ti是未知的Touchard多項式系數(shù),Ti(x)(i=0,1,…,n-1)是由方程(3)定義的Touchard多項式。

用un(x)近似代替u(x),將式(4)代入方程(1),令

(5)

方程(5)化簡為

(6)

(7)

令

方程(7)可表示為矩陣形式

CH=F,

(8)

其中,矩陣C、H、F定義為

C=[t0,t1,…,tn-1],H=(hij)n×n,F=[f(x1),f(x2),…,f(xn)]。

由方程(8)解得向量C,代入方程(4)中得到方程(1)的近似解。

3 解的存在唯一定理

1)k(s,t)∈C([a,b]×[a,b]),

定理1 如果條件1)和2)成立,則積分方程(1)存在唯一解。

證明?u(x),v(x)∈C[a,b],有

即

因為0<α<1,故P:C[a,b]→C[a,b]是壓縮映射,由巴拿赫不動點定理可得方程(1)的解存在且唯一。

3) 當x∈[a,b]時,u(βx+γ)∈C([a,b]×[a,b]),

定理2 如果條件3)和4)成立,則方程(2)存在唯一解。

其證明過程在文獻[3]中有詳細介紹。

4 收斂性分析

證明由范數(shù)定義可得

由上式可得

當α滿足條件2)時,可得

即收斂性得證。

其證明過程與定理3相同。

5 基本算例

本節(jié)將應用第2節(jié)介紹的Touchard多項式配置法計算Volterra-Fredholm積分方程的近似解。通過算例驗證該方法的可行性和有效性。

例1[3]求解形如方程(2)的線性Volterra-Fredholm積分方程

的近似解,其中,A(x)=1/10,a=-1,b=1,β=1/2,γ=-1/4,q(x,t)=x,g(x,t)=t,且f(x)隨著λ1、λ2的變化而變化。該方程的精確解為u(x)=x2+x。

表1 例1中Touchard多項式配置法與最佳平方逼近法誤差對比

表2 例1誤差計算表

在本算例中,該誤差的計算公式為error=|un(xi)-u(xi)|,x∈[a,b],其中un(x)和u(x)分別是例2中的近似解和精確解。

通過表3和表4的結(jié)果可以看出,當n=3、4時,隨著n的增大,所得到的近似解與精確解之間的誤差在縮小。但是當n=5、6時得到的近似解與精確解之間的誤差雖然比n=3時小很多,但明顯比n=4時變大了。這說明并不是n取值越大越好。對比n取不同的值時近似解跟精確解之間的誤差,發(fā)現(xiàn)n=4的近似效果比n=3、5、6的近似效果要好很多。

表3 例2中n=4時Touchard多項式配置法誤差跟T-F方法誤差對比

表4 例2中n=3、5、6時方程的近似解與精確解的誤差

通過圖1的幾條曲線對比,發(fā)現(xiàn)當n=4時得到的逼近函數(shù)更加逼近真實函數(shù),反觀當n=3、5、6時的逼近效果較n=4差一些。在本算例中,因為該方程的精確解是多項式的形式且最高次是3次方,因此當n=4時比n=3、5、6得到的近似解效果更好。通過表3的結(jié)果可以看出,當n=4時應用本文中的Touchard多項式配置法得到的近似解相比文獻中的T-F方法[21]效果較好。

圖1 例2中n=3、4、5、6時的近似解和精確解

6 結(jié)語

本文提出了用Touchard多項式配置法求解形如方程(1)和方程(2)的線性Volterra-Fredholm積分方程。并通過算例驗證了該方法的可行性和有效性。如果想要獲得精度更高的近似解,可以通過增加基函數(shù)個數(shù)n的值來得到較好的結(jié)果,但并非n越大越好。通過具體算例分析,可發(fā)現(xiàn)當方程的真實解是以多項式的形式出現(xiàn),應用本文中的方法得到的近似解與精確解的誤差較小,效果較好。當方程的精確解是以其他形式出現(xiàn),則應用本文方法得到的逼近解與精確解的逼近效果較前述情況差一些。結(jié)合例1和例2中的表、圖分析,發(fā)現(xiàn)當n的值較大時,應用本方法獲得逼近函數(shù)比n取較小的值的逼近效果好。但如果得到的逼近函數(shù)已經(jīng)足夠貼近真實函數(shù),即使增大n的值,其逼近效果改變不大。