管絞車筒體動(dòng)力學(xué)分析及響應(yīng)面優(yōu)化研究

萬光海, 王全龍,2, 武美萍,2, 繆小進(jìn),2, 韓志平

(1. 江南大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,江蘇無錫 214122;2. 江南大學(xué) 江蘇省食品先進(jìn)制造裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,江蘇無錫 214122;3. 法爾勝集團(tuán)泓昇重工有限公司,江蘇江陰 214400)

管絞車作為鋼絲繩制造的主要設(shè)備,如圖1所示,其運(yùn)轉(zhuǎn)性能對(duì)鋼絲繩的捻制性能有極大影響,特別是筒體部件,其回轉(zhuǎn)的穩(wěn)定性直接決定了鋼絲繩的疲勞強(qiáng)度和壽命。且筒體的可靠性還直接決定著鋼絲繩制造工作效率,也決定著管絞車設(shè)備的安全可靠性。受工作環(huán)境影響,筒體在高速運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)會(huì)產(chǎn)生很大的離心力,同時(shí)還受到內(nèi)部其他零件施加的載荷影響。如果在這種復(fù)雜工況下,引起的振動(dòng)頻率與筒體自身的固有頻率接近時(shí),筒體易發(fā)生大幅度振動(dòng),從而破壞整個(gè)設(shè)備的安全可靠性,影響工作效率和鋼絲繩生產(chǎn)質(zhì)量。故研究管絞車筒體振動(dòng)問題,探索動(dòng)力學(xué)仿真及優(yōu)化方法,是提高筒體甚至管絞車可靠性和安全性亟待解決的關(guān)鍵問題。

圖1 管絞車實(shí)物圖Fig. 1 Physical diagram of the pipe winch

機(jī)械設(shè)備的共振問題是機(jī)械裝備設(shè)計(jì)研發(fā)不可避免的關(guān)鍵問題,一直受到相關(guān)學(xué)者的廣泛關(guān)注。目前,國(guó)內(nèi)外學(xué)者主要通過有限元仿真的方法分析結(jié)構(gòu)共振問題,常晉雷[1]研究了礦用氣動(dòng)絞車的模態(tài)分析,發(fā)現(xiàn)前6階固有頻率相對(duì)較高,遠(yuǎn)離絞車工作頻率,且振型主要發(fā)生在制動(dòng)圈上。為驗(yàn)證塔機(jī)的穩(wěn)定性,付石等[2]分析了塔機(jī)動(dòng)力學(xué)模態(tài),發(fā)現(xiàn)變形主要發(fā)生在平衡臂和起重臂。Xia等[3]測(cè)試了京廣鐵路列車作用下東、西、南、北塔的響應(yīng)和微地震作用,建立數(shù)值模型并利用有限元分析,結(jié)果發(fā)現(xiàn)振動(dòng)前3階寶塔的頻率相似,其中1階振動(dòng)模態(tài)是彎曲的,第2和第3階模態(tài)為剪切彎曲,且最大載荷處的振動(dòng)對(duì)寶塔的安全性影響不大。宗榮[4]研究梳棉機(jī)錫林機(jī)構(gòu)的模態(tài),并進(jìn)行了分析和評(píng)價(jià),驗(yàn)證了錫林機(jī)構(gòu)中振動(dòng)的安全性。Zhang等[5]研究了車橋耦合振動(dòng)對(duì)車輛平順性的影響,基于動(dòng)平衡原理和有限元方法,分析了多輛車輛通過斜拉橋時(shí)不同鋪裝水平下的車輛動(dòng)力響應(yīng)及平順性。分析結(jié)果表明,隨著路面平整度的提高,車輛的動(dòng)力響應(yīng)減小,車輛的平順性得到改善,降低了車橋耦合振動(dòng)響應(yīng)。

也有些學(xué)者針在分析振動(dòng)問題的基礎(chǔ)上,對(duì)振動(dòng)問題提出各種優(yōu)化。張夏琦等[6]研究了采煤機(jī)聯(lián)結(jié)架的動(dòng)力學(xué)分析,發(fā)現(xiàn)1階固有頻率對(duì)聯(lián)結(jié)架影響較大,易引起共振,并通過增加壁厚來增加固有頻率,以此優(yōu)化結(jié)構(gòu)。白穎等[7]為降低柴油機(jī)的振動(dòng)問題,對(duì)機(jī)體開展了模態(tài)分析和瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析,從振動(dòng)劇烈部位改進(jìn)結(jié)構(gòu),通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了改進(jìn)的有效性。房建斌等[8]針對(duì)電子設(shè)備托架疲勞損壞的問題,研究了托架在約束、構(gòu)型方面的協(xié)同優(yōu)化,并基于仿真分析驗(yàn)證了托架優(yōu)化的準(zhǔn)確性。Rubio等[9]研究了一種安裝在鏜桿上的被動(dòng)動(dòng)力吸振器(DVA)參數(shù)的優(yōu)化選擇,采用了無約束優(yōu)化問題的經(jīng)典方法,結(jié)果表明,穩(wěn)定性明顯改善。Zhang等[10]對(duì)了研究金屬鏜桿顫振問題,基于AMDM建立了一種錐形復(fù)合鏜桿的模型,研究發(fā)現(xiàn)通過選擇合適的錐度比、鋪層角、L/ratio和碳基復(fù)合材料等,可提高錐形模型的固有頻率和顫振穩(wěn)定性。此外,針對(duì)優(yōu)化設(shè)計(jì)還有學(xué)者采用響應(yīng)面優(yōu)化,王欣欣等[11]等為最小化鉆孔支撐結(jié)構(gòu)的變形和質(zhì)量,建立了反映鉆孔支撐結(jié)構(gòu)關(guān)鍵尺寸與優(yōu)化目標(biāo)之間關(guān)系的兩目標(biāo)響應(yīng)面模型,并采用非支配排序遺傳算法(NSGA-II)求解,使結(jié)構(gòu)得到大幅度優(yōu)化。Wang等[12]等對(duì)框架結(jié)構(gòu)特性進(jìn)行了靜力分析和動(dòng)力分析,基于響應(yīng)面法找到了在滿足許用應(yīng)力條件下使質(zhì)量最小的優(yōu)化方案。米男男和李光[13]研究了緩沖墊的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì),以緩沖墊的加速度、最大變形量和包體質(zhì)量為目標(biāo)函數(shù),進(jìn)行響應(yīng)面優(yōu)化設(shè)計(jì)。通過響應(yīng)面優(yōu)化分析,提高了封裝的性能,獲得了高性能、輕量化緩沖墊。由此可見,響應(yīng)面優(yōu)化設(shè)計(jì)在結(jié)構(gòu)性能和輕量化優(yōu)化方面具有一定優(yōu)勢(shì)。

通過開展管絞車筒體動(dòng)力學(xué)分析及優(yōu)化實(shí)現(xiàn)抗振性能提升,首先建立筒體的有限元模型,并對(duì)筒體進(jìn)行模態(tài)分析和諧響應(yīng)分析,分析筒體的固有頻率及其與變形和振幅的關(guān)系。然后基于靈敏度分析篩選設(shè)計(jì)變量,通過面心復(fù)合設(shè)計(jì)獲得試驗(yàn)設(shè)計(jì)點(diǎn),并建立Kriging響應(yīng)模型對(duì)筒體振動(dòng)性能進(jìn)行優(yōu)化,獲得性能優(yōu)異且輕量化的筒體。

1 有限元模型和方法

以管絞車筒體為研究對(duì)象,采用Solidworks建模軟件建立筒體的三維模型,如圖2所示。將該模型以x-t格式保存,并導(dǎo)入到Ansys Workbench中,進(jìn)行有限元仿真分析。

圖2 筒體三維模型 Fig. 2 Three-dimensional model of the cylinder

1.1 定義材料屬性

根據(jù)管絞車實(shí)際工作環(huán)境及性能要求,設(shè)置筒體厚度為16 mm,材料為20#鋼,其具體性能參數(shù)見表1。

表1 筒體材料的基本性能Tab. 1 Basic properties of cylinder material

1.2 網(wǎng)格劃分

網(wǎng)格質(zhì)量的好壞會(huì)直接決定有限元計(jì)算的效率和精確性,網(wǎng)格尺寸過大會(huì)致使計(jì)算精度差,網(wǎng)格尺寸過小又會(huì)降低計(jì)算效率,因此要根據(jù)模型尺寸和計(jì)算所需精度來確定網(wǎng)格尺寸。針對(duì)多個(gè)網(wǎng)格尺寸進(jìn)行模擬分析,得出網(wǎng)格尺寸大小與模態(tài)分析所得頻率之間的關(guān)系如圖3所示。網(wǎng)格尺寸與單元節(jié)點(diǎn)的關(guān)系如表2所示。

表2 網(wǎng)格尺寸與單元節(jié)點(diǎn)的關(guān)系Tab. 2 The relationship between mesh size and element nodes

圖3 模態(tài)分析得到的網(wǎng)格尺寸與頻率的關(guān)系Fig. 3 Relationship between mesh size and frequency obtained from modal analysis

從圖3和表2中可以看出,隨著網(wǎng)格尺寸的減小,所得到的各階頻率也在減小,但減小十分緩慢,趨于穩(wěn)定。同時(shí)隨著網(wǎng)格尺寸的減小,單元個(gè)數(shù)和節(jié)點(diǎn)數(shù)也在不斷增加即計(jì)算精度在增加,但求解所需時(shí)間也在增加。本文在保證計(jì)算精度的前提下,選擇網(wǎng)格尺寸40 mm來進(jìn)行網(wǎng)格劃分并求解。網(wǎng)格劃分后的模型如圖4所示,該模型有69 712個(gè)節(jié)點(diǎn),35 204個(gè)單元,單元類型采用Solid186網(wǎng)格單元。

圖4 網(wǎng)格劃分模型Fig. 4 Mesh partition model

2 仿真結(jié)果及分析

2.1 模態(tài)分析

模態(tài)分析是動(dòng)力學(xué)分析的基礎(chǔ),用于確定模型結(jié)構(gòu)的固有振動(dòng)特性,對(duì)機(jī)體進(jìn)行約束模態(tài)分析可獲得機(jī)體的固有頻率和振型[14]。通過模態(tài)分析所得到的固有頻率對(duì)裝備設(shè)計(jì)中的避免共振具有指導(dǎo)性作用。此外,模態(tài)分析的結(jié)果可用于其他基于模態(tài)疊加法的動(dòng)力學(xué)分析中,如諧響應(yīng)分析。由牛頓力學(xué)理論可得到動(dòng)力學(xué)通用方程,即

(1)

由于常見結(jié)構(gòu)的阻尼比小于10%,對(duì)結(jié)構(gòu)固有頻率的影響很小,故一般不做考慮。所以模態(tài)分析的有限元方程可直接寫成

(2)

當(dāng)筒體運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí),發(fā)生簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)即

u=φisin(ωi+θi)

(3)

與之相對(duì)應(yīng)的加速度向量可以表示為

(4)

將式(2)和式(3)代入式(1)中可得到

(5)

式中:ωi為結(jié)構(gòu)的第i階固有頻率;φi為結(jié)構(gòu)的第i階振型向量。

理論上,結(jié)構(gòu)的固有頻率有n階,階次越高固有頻率值也越大。對(duì)于低階固有頻率研究更有意義, 因?yàn)閷?duì)于高階固有頻率,自振時(shí)間較短,自振周期較低,對(duì)結(jié)構(gòu)造成的破壞影響不大[15],而且系統(tǒng)的工作頻率或者環(huán)境激勵(lì)頻率一般情況下都比較低,因此通常情況下,只需取前幾階固有頻率進(jìn)行研究即可滿足要求。三孔筒體前6階固有頻率及變形如表3所示,模態(tài)振型如圖5所示。

表3 筒體前6階固有頻率及變形Tab. 3 First six-order natural frequencies and deformations of the cylinder

從圖5和表3可知固有頻率最小為325.26 Hz,最大固有頻率為3 043.3 Hz,前兩階固有頻率較小,但從第2階之后固有頻率間隔變化較大,尤其第3、第4和第5階相差較大。此外,第1階固有頻率325.26 Hz以及第2階固有頻率380.85 Hz時(shí),筒體變形最大,分別為6.421 mm和7.085 mm,其他各階振型相對(duì)較小;由此,再結(jié)合圖5振型可看出筒壁開口處最易發(fā)生共振和變形。

2.2 諧響應(yīng)分析

諧響應(yīng)分析是用來確定線性結(jié)構(gòu)在已知幅值和頻率的正弦載荷作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。輸入載荷一般是力、應(yīng)力或位移,輸出一般是節(jié)點(diǎn)位移、應(yīng)力、應(yīng)變等。采用諧響應(yīng)方程分析管絞車筒體在已知載荷作用下的動(dòng)態(tài)響應(yīng),其簡(jiǎn)諧載荷作用下的諧響應(yīng)方程為

(-ω2M+iωC+K)(u1+iu2)=F1+iF2

(6)

式中:F1+iF2為施加的簡(jiǎn)諧載荷;u1+iu2為穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)。

以模態(tài)分析為基礎(chǔ),通過模態(tài)疊加的方法對(duì)管絞車筒體進(jìn)行諧響應(yīng)計(jì)算分析,得到了X,Y,Z方向上頻率和振幅的關(guān)系,如圖6所示。

圖6 X,Y,Z方向上振幅和頻率的關(guān)系Fig. 6 Relationship between amplitude and frequency in the X, Y, and Z directions

從圖6可以看到,在X軸方向上,頻率在338.28 Hz處出現(xiàn)了極值,此時(shí)的幅值達(dá)到1.074 6×10-3mm;在Y軸方向上,頻率也在380.85 Hz處出現(xiàn)極值,幅值達(dá)到7.441×10-3mm;在Z軸方向上,頻率同樣在353.06 Hz處出現(xiàn)了極值,幅值達(dá)到6.700 9×10-3mm,且這3個(gè)頻率分別在模態(tài)的第1、2階固有頻率附近。此外,在Y軸方向和Z軸方向上的振幅幅值相比于X軸大得多,故可知筒體在振動(dòng)極值點(diǎn)處發(fā)生彎曲。因此該階模態(tài)固有頻率對(duì)管絞車筒體的振動(dòng)有較大影響,易引起共振現(xiàn)象,在設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)盡可能避免。

3 管絞車筒體動(dòng)力學(xué)優(yōu)化

3.1 筒體初步結(jié)構(gòu)優(yōu)化

管絞車筒體原設(shè)計(jì)從輕量化考慮將筒體每個(gè)周向設(shè)計(jì)三孔,每節(jié)筒體共九孔,但依照原設(shè)計(jì),筒體固有頻率較低,經(jīng)過前面模態(tài)分析和諧響應(yīng)分析發(fā)現(xiàn)易產(chǎn)生共振和變形?，F(xiàn)設(shè)計(jì)兩孔筒體,通過對(duì)比兩孔的模態(tài)和振型,探究開孔數(shù)量對(duì)筒體振動(dòng)的影響,并以此對(duì)筒體進(jìn)行初步結(jié)構(gòu)優(yōu)化。原三孔筒體每孔開孔寬度為193.7 mm,為保證開孔總寬度相同,設(shè)置兩孔筒體每孔開孔寬度為290.6 mm。其變形云圖如圖7所示。

將兩孔筒體和三孔筒體模態(tài)頻率及變形進(jìn)行對(duì)比如表4所示。

表4 兩孔和三孔筒體模態(tài)頻率及變形對(duì)比Tab. 4 Modal frequency and deformation comparison between two-hole and three-hole cylinders

從表4可以看出兩孔筒體比三孔筒體的各階固有頻率要高,尤其是前3階,兩孔各階固有頻率的增幅分別達(dá)到249%、387%和112%。這表明:外界激勵(lì)要使筒體共振所需頻率更大,即兩孔筒體結(jié)構(gòu)要比三孔筒體結(jié)構(gòu)抗振性能更好。此外,在工作中發(fā)生共振時(shí),兩孔筒體的變形也比三孔筒體變形相對(duì)小許多。

此外,從輕量化方面考慮,原設(shè)計(jì)的三孔筒體質(zhì)量為368.67 kg,而兩孔筒體質(zhì)量為339.64 kg,質(zhì)量上降低了7.8%,更加輕量化,以此可見,兩孔筒體比三孔筒體抗振和變形方面都更好些。

3.2 模態(tài)頻率關(guān)于筒體參數(shù)靈敏度分析

(7)

(8)

式中:I為單位矩陣;λi為系統(tǒng)第i階特征值。

假定第j個(gè)影響結(jié)構(gòu)形態(tài)的參數(shù)為Sj,對(duì)式(7)關(guān)于Sj進(jìn)行求導(dǎo),可得

(9)

基于向量原理,可推導(dǎo)出結(jié)構(gòu)的固有頻率對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)的靈敏度關(guān)系式為

(10)

據(jù)上式可知:當(dāng)結(jié)構(gòu)參數(shù)Sj發(fā)生變化時(shí),將會(huì)直接影響質(zhì)量矩陣與剛度矩陣的取值,從而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的固有頻率發(fā)生改變。對(duì)于管絞車筒體,可通過優(yōu)化筒體材料參數(shù)以及結(jié)構(gòu)參數(shù)來提高筒體結(jié)構(gòu)的固有頻率并降低筒體質(zhì)量,其中材料參數(shù)包括彈性模量、泊松比、密度,結(jié)構(gòu)參數(shù)包括筒壁厚度(通過筒體內(nèi)徑來體現(xiàn))和開孔寬度。在優(yōu)化筒體參數(shù)之前,首先探究筒體固有頻率和質(zhì)量相對(duì)于筒體各項(xiàng)結(jié)構(gòu)參數(shù)的靈敏度。通過靈敏度分析法,揭示結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)變量對(duì)其性能的影響程度,使獲取的設(shè)計(jì)變量更具有針對(duì)性,可極大提高結(jié)構(gòu)優(yōu)化效率。

為此,開展管絞車筒體前兩階模態(tài)以及質(zhì)量關(guān)于筒體材料參數(shù)和結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)的靈敏度研究,以泊松比P1、彈性模量P2、密度P3、筒體內(nèi)徑P4、開孔寬度P5為初選變量,計(jì)算筒體質(zhì)量P6及前兩階固有頻率P7和P8關(guān)于筒體參數(shù)的靈敏度結(jié)果如圖8所示。

圖8 筒體參數(shù)靈敏度條形圖 Fig. 8 Bar chart of cylinder parameter sensitivity

由圖8可知,筒體質(zhì)量關(guān)于筒體內(nèi)徑P4的靈敏度最大,其次是質(zhì)量密度和筒體開孔寬度,而且P4的靈敏度值為負(fù)即呈負(fù)相關(guān),這表明隨著筒體內(nèi)徑的增加即壁厚的減小,筒體質(zhì)量P6在減小;而筒體第1階固有頻率P7關(guān)于筒體彈性模量P2靈敏度最大且呈正相關(guān)而泊松比P1、密度P3、內(nèi)徑P4呈負(fù)相關(guān),即表明,隨著筒體材料彈性模量的增加,泊松比、密度的減小及壁厚的增加,其第1階固有頻率增加。針對(duì)第2階固有頻率P8,各初選設(shè)計(jì)變量對(duì)其影響順序?yàn)?彈性模量>質(zhì)量密度>開孔寬度>泊松比>內(nèi)徑,其中彈性模量對(duì)第2階固有頻率呈正相關(guān),其余呈負(fù)相關(guān),即表明筒體材料隨著彈性模量增加、其余變量的減小,第2階固有頻率增加。綜合看來,泊松比相比其他幾個(gè)初選變量對(duì)這幾項(xiàng)輸出變量影響最小。故通過以上對(duì)筒體質(zhì)量、前兩階固有頻率關(guān)于筒體各項(xiàng)參數(shù)靈敏度研究,從五個(gè)初選變量中選擇彈性模量、密度、筒體內(nèi)徑以及開孔寬度這四個(gè)靈敏度較高的變量作為優(yōu)化的設(shè)計(jì)變量,使其更有針對(duì)性,并降低了待優(yōu)化模型的規(guī)模。

3.3 筒體響應(yīng)面模型

響應(yīng)面方法是基于統(tǒng)計(jì)學(xué)和試驗(yàn)設(shè)計(jì)技術(shù)通過DOE點(diǎn)插值或擬合形成的輸出變量(筒體質(zhì)量、第1階固有頻率、第2階固有頻率)關(guān)于設(shè)計(jì)變量(篩選出來的彈性模量、密度、筒體內(nèi)徑以及開孔寬度)的數(shù)學(xué)函數(shù)關(guān)系。在可接受的誤差范圍內(nèi),運(yùn)用構(gòu)建響應(yīng)面模型代替筒體有限元模型開展分析和優(yōu)化,響應(yīng)面的構(gòu)建包括設(shè)計(jì)變量、試驗(yàn)設(shè)計(jì)和模型構(gòu)建三部分[16]。

3.3.1 設(shè)計(jì)變量

考慮到常用金屬材料的材料參數(shù)范圍和筒體結(jié)構(gòu)加工要求,筒體參數(shù)設(shè)計(jì)如表5所示。

表5 筒體參數(shù)設(shè)計(jì)表Tab. 5 Table for cylinder parameter design

3.3.2 面心復(fù)合設(shè)計(jì)

通過設(shè)計(jì)一系列樣本試驗(yàn),運(yùn)用盡量少的資源和計(jì)算時(shí)間,獲得可反映設(shè)計(jì)目標(biāo)的高度相關(guān)信息數(shù)據(jù)。試驗(yàn)設(shè)計(jì)中,好的樣本點(diǎn)選取,能降低計(jì)算成本又提高響應(yīng)面精度,所以在設(shè)計(jì)域內(nèi)選取一組好的樣本點(diǎn)很重要。DOE技術(shù)(Design of experiment)是用來擬合響應(yīng)面的試驗(yàn)樣點(diǎn)的選取技術(shù)。目前,常用的取點(diǎn)方法的共同之處是用盡量少的樣本點(diǎn)對(duì)設(shè)計(jì)空間進(jìn)行填充,且試驗(yàn)樣本點(diǎn)的位置滿足一定的對(duì)稱性和均勻性要求。本DOE取點(diǎn)方法采用面心復(fù)合設(shè)計(jì),在中心復(fù)合設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上,采用Face-Centered填充。面心復(fù)合設(shè)計(jì)的軸點(diǎn)數(shù)被設(shè)置為±1的水平,是一種三水平試驗(yàn)取樣方法,而且面心復(fù)合設(shè)計(jì)在不影響精度的基礎(chǔ)上所需樣本點(diǎn)數(shù)更少,故本文采用該方法獲取樣本點(diǎn)。求得25組樣本點(diǎn)對(duì)應(yīng)的各輸出變量結(jié)果如表6所示。

表6 面心復(fù)合設(shè)計(jì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)表Tab. 6 Table for the face-centered composite design and experimental data

3.3.3 基于Kriging響應(yīng)面模型建立

Kriging響應(yīng)面技術(shù)是一種多維插值技術(shù),同時(shí)考慮全局和局部的共同影響因素[17]。實(shí)際工程問題往往是復(fù)雜且非線性的,而Kriging響應(yīng)面通過所有設(shè)計(jì)點(diǎn),擬合度較好,適用于高度非線性的復(fù)雜工程優(yōu)化問題。Kriging響應(yīng)面擬合既可以解決各向同性以及各向異性問題。同時(shí)可避免一次響應(yīng)面,二次響應(yīng)面等擬合度較差、且可能陷入局部最優(yōu)等問題。Kriging模型是空間插值模型,由多項(xiàng)式響應(yīng)面近似模型和局部偏差結(jié)合而成[18],其表達(dá)式為

y(x)=F(β,x)+z(x)=fT(x)β+z(x)

(11)

式中:y(x)是待擬合的響應(yīng)函數(shù);β是基函數(shù)回歸系數(shù);f(x)是變量x的多項(xiàng)式響應(yīng)面模型,提供設(shè)計(jì)空間的全局近似模型;z(x)是期望為0,方差為σ2的高斯隨機(jī)函數(shù)。其協(xié)方差矩陣為

cov[z(xi),z(xj)]=σ2R(xi,xj)

(12)

式中R為相關(guān)矩陣。選擇高斯相關(guān)函數(shù)

(13)

式中:θk是相關(guān)函數(shù)參數(shù),用于衡量?jī)蓸颖军c(diǎn)之間相關(guān)性隨兩點(diǎn)間的距離增加的衰減度,相關(guān)性越小,生成的響應(yīng)面越光滑;xi,k和xj,k分別是樣本點(diǎn)xi和xj的第K個(gè)元素。

基于上述Kriging響應(yīng)面模型理論,根據(jù)前面生成的試驗(yàn)設(shè)計(jì)點(diǎn),利用Workbench軟件中的Response Surface模塊,建立Kriging響應(yīng)面,得到各設(shè)計(jì)變量對(duì)3個(gè)輸出變量的多個(gè)響應(yīng)面模型。

評(píng)價(jià)響應(yīng)面合理性,檢驗(yàn)擬合程度常采用R2和RMSE相對(duì)均方根誤差及相對(duì)最大絕對(duì)誤RMAE等指標(biāo)。同時(shí),還可在Workbench的響應(yīng)面模塊內(nèi)查看計(jì)算值與預(yù)測(cè)值關(guān)系圖,可更直觀的判斷響應(yīng)面擬合的合理性和準(zhǔn)確性,預(yù)測(cè)值與計(jì)算值的關(guān)系曲線越接近于45°的直線,則證明預(yù)測(cè)的越準(zhǔn)確,擬合精度越高。由于采用Kriging模型建立的響應(yīng)面會(huì)通過所有試驗(yàn)點(diǎn),因此需添加驗(yàn)證點(diǎn)驗(yàn)證響應(yīng)面模型的準(zhǔn)確性。添加驗(yàn)證點(diǎn)后,根據(jù)Kriging模型擬合結(jié)果和實(shí)際計(jì)算數(shù)值,得到Kriging模型合理性評(píng)價(jià)指標(biāo),如表7所示。

表7 Kriging模型合理性評(píng)估Tab. 7 Rational evaluation of the Kriging model

由表7可看出,添加驗(yàn)證點(diǎn)后,驗(yàn)證點(diǎn)處的筒體質(zhì)量、1階頻率和2階頻率的均方根誤差分別為0.068、3.416和0.321,且其相對(duì)最大絕對(duì)誤差分別為0.113 5、1.028 7和0.153 4,擬合度誤差在95%以上。從圖9更可直觀看出,Kriging響應(yīng)面模型擬合度較高。

圖9 Kriging模型計(jì)算值和預(yù)測(cè)值關(guān)系Fig. 9 Relationship between calculated and predicted values in the Kriging model

根據(jù)所建立的響應(yīng)面模型,如圖10a)材料設(shè)計(jì)變量以及圖10b)尺寸設(shè)計(jì)變量對(duì)第1階固有頻率的響應(yīng);如圖11a)材料設(shè)計(jì)變量及圖11b)尺寸設(shè)計(jì)變量對(duì)筒體質(zhì)量的影響。

圖10 設(shè)計(jì)變量對(duì)頻率的響應(yīng)Fig.10 Response of the design variable to frequency

圖11 設(shè)計(jì)變量對(duì)質(zhì)量的響應(yīng)Fig.11 Response of design variables to quality

從圖10a)可看出隨著材料設(shè)計(jì)變量數(shù)值的增加,第1階固有頻率存在兩個(gè)極大值;從圖10b)中可發(fā)現(xiàn),隨著尺寸設(shè)計(jì)變量的增加,固有頻率先增后減,也存在著極大值。而從圖11a)中可以看到隨著材料設(shè)計(jì)變量的增加,筒體質(zhì)量是呈線性增加的,從圖11b)中可發(fā)現(xiàn)隨著開孔寬度的增加,筒體質(zhì)量線性遞減,而隨著筒體內(nèi)徑增加即壁厚的減小,筒體質(zhì)量在減小。綜上,該筒體設(shè)計(jì)變量將存在一個(gè)最優(yōu)化使固有頻率達(dá)到極大的同時(shí),又使筒體質(zhì)量達(dá)到最小。

3.4 筒體多目標(biāo)優(yōu)化

要實(shí)現(xiàn)多目標(biāo)優(yōu)化,需先確定本次優(yōu)化的優(yōu)化目標(biāo)和約束函數(shù),本文在實(shí)際工況的合理范圍內(nèi),以前兩階固有頻率最大化,筒體質(zhì)量最小化為優(yōu)化目標(biāo),以筒體材料屬性范圍、筒體尺寸范圍為約束。其優(yōu)化具體定義如下:

(14)

式中:f1(x)為第1階固有頻率;f2(x)為第2階固有頻率;m(x)為筒體質(zhì)量;x∈[xL,xU]為設(shè)計(jì)變量,其中xL為xU分別為設(shè)計(jì)變量x的下限值和上限值。

建立的優(yōu)化模型為

minf(P2P3P4P5)=w1×P6

maxf(P2P3P4P5)=w2×P7+w3×P8

(15)

式中:P6、P7和P8均為P2、P3、P4和P5的函數(shù);w(i=1,2,3)為各優(yōu)化目標(biāo)所占權(quán)重,表達(dá)對(duì)應(yīng)目標(biāo)相對(duì)于其他目標(biāo)的重要性,在Workbench中設(shè)置各優(yōu)化目標(biāo)重要性分別為default、higher、higher。

采用MOGA方法優(yōu)化即多優(yōu)化目標(biāo)的迭代遺傳算法對(duì)響應(yīng)面進(jìn)行優(yōu)化,迭代100次,得到3組最優(yōu)方案,優(yōu)化方案如表8所示,及結(jié)果對(duì)比如表9所示。這3種優(yōu)化方案各項(xiàng)設(shè)計(jì)變量參數(shù)相差很小,其結(jié)果也相差不大,其中優(yōu)化結(jié)果最好的是方案2。雖然方案2的質(zhì)量略高于另外兩個(gè)方案。但微乎其微,而頻率上,1階頻率和2階頻率要明顯高于另外兩方案。相比于原三孔筒體設(shè)計(jì),方案2在質(zhì)量上從368.67 kg下降到223.77 kg,降低了39%;在頻率上,1階固有頻率f1從325.26 Hz上升到940.08 Hz,2階固有頻率f2從380.83 Hz上升到1 750.7 Hz,其增幅分別達(dá)到189%和359.7%。此外,在方案2情況下,此時(shí)前6階變形和原三孔筒體對(duì)比如表10所示,可以發(fā)現(xiàn)前6階變形在經(jīng)過優(yōu)化后,相對(duì)于原設(shè)計(jì)的三孔筒體,其最易發(fā)生共振的前兩階變形在一定程度上減小。由此可見,通過多目標(biāo)優(yōu)化,不僅改進(jìn)了筒體結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)性能,還節(jié)省了材料。實(shí)現(xiàn)了輕量化,同時(shí)在大大提高了防振性能。

表8 3組優(yōu)化方案Tab. 8 Three sets of optimization solutions

表9 各方案及原設(shè)計(jì)頻率對(duì)比Tab. 9 Comparison of each solution to the original design frequency

表10 最優(yōu)方案與原設(shè)計(jì)振型變形量對(duì)比Tab. 10 Comparison between the optimal solution and the original design

4 結(jié)論

1) 不同材料屬性和結(jié)構(gòu)尺寸對(duì)筒體振動(dòng)性能都有影響,通過考查各個(gè)初選變量的靈敏度的方法,以篩選出彈性模量、質(zhì)量密度以及內(nèi)徑大小、開孔寬度為設(shè)計(jì)變量,使筒體模態(tài)頻率和質(zhì)量?jī)?yōu)化更有針對(duì)性。

2) 運(yùn)用面心復(fù)合設(shè)計(jì)獲取一組樣本點(diǎn),基于構(gòu)建筒體前兩階固有頻率和質(zhì)量的Kriging響應(yīng)面模型。此響應(yīng)面模型擬合度較好,而且顯著提高了計(jì)算效率,節(jié)省了計(jì)算時(shí)間。

3) 建立多目標(biāo)優(yōu)化模型,通過Ansys提供的多目標(biāo)遺傳算法,對(duì)筒體模態(tài)頻率和質(zhì)量進(jìn)行了優(yōu)化,獲得最優(yōu)優(yōu)化方案,不僅實(shí)現(xiàn)了筒體固有頻率的大幅度提升,同時(shí)大大降低了筒體質(zhì)量,實(shí)現(xiàn)了輕量化。

采用彈性模量為196 GPa,質(zhì)量密度為7 335 kg/m3,內(nèi)徑為397.85 mm,開孔寬度為307.22 mm的二孔筒體相比于三孔筒體,大幅度提升了管絞車筒體的抗振性能,同時(shí)更加輕量化,對(duì)整個(gè)管絞車設(shè)備的抗振性能更是顯著性提升,也增加了設(shè)備的可靠性。