低溫閥門無失效數(shù)據(jù)環(huán)節(jié)可靠性建模方法研究

盧毅, 鄭建明, 趙晨

(西安理工大學 機儀學院,西安 710048)

對于現(xiàn)在出現(xiàn)的越來越多的高可靠性產(chǎn)品,想要獲得其失效數(shù)據(jù),不但要花費相當長的試驗時間,對于那些材料昂貴或者結(jié)構(gòu)復雜的產(chǎn)品,進行破壞性試驗也是不可能的,在此情形下,更容易出現(xiàn)無失效數(shù)據(jù)。低溫截止閥具有要求高、壽命長和價格昂貴的特點,通過試驗或?qū)嶋H調(diào)研所獲取的失效數(shù)據(jù)都集中于密封面泄露失效,對其填料環(huán)節(jié)卻無失效數(shù)據(jù)可尋,從而對低溫截止閥的整體可靠性評估或驗收條件的制定造成困擾。

無失效數(shù)據(jù)情形常出現(xiàn)在可靠性試驗的定時截尾試驗中,屬于一種特殊情況。利用當前的無失效數(shù)據(jù)可靠性評估方法得到可接受的產(chǎn)品壽命分布的相關(guān)參數(shù)點估計并不難[1-3]。若要得到壽命分布的真值就變得十分困難,為了提高可靠性評估的效果而引入?yún)?shù)的區(qū)間估計是十分必要的。

對于無失效數(shù)據(jù)條件下如低溫閥門等機械產(chǎn)品進行可靠性評估,經(jīng)國內(nèi)外大量學者研究其壽命分布服從威布爾分布[4-5]。無失效數(shù)據(jù)情況下,在低溫閥門的壽命分布參數(shù)估計中,bayes方法因其能夠充分利用產(chǎn)品的先驗信息,可以更好的提高其可靠性評估的精度而得到廣泛應(yīng)用[6-7]。茆詩松等[8]通過E-bayes的方法將產(chǎn)品的各個截尾時間處的失效概率配處一條產(chǎn)品壽命分布曲線,再得到產(chǎn)品可靠度的點估計;Han等[9]在指數(shù)分布條件下,利用bayes法和多層bayes法估計出各個截尾時間的失效概率,進而得到無失效數(shù)據(jù)情況下可靠度的估計;劉海濤等[10]在威布爾分布條件下,利用分布函數(shù)自身凹凸性的特點,結(jié)合bayes方法得到產(chǎn)品的可靠性參數(shù)估計;韓明等[11-12]將beta分布作為先驗分布,在bayes基礎(chǔ)上,提出了E-bayes和多層bayes方法的求解過程;蔡國梁等[13]通過控制樣本量的變化,對比分析了多層bayes和E-bayes兩種方法,結(jié)果表明:在樣本量足夠大時,兩種方法的結(jié)果極為接近;傅惠民等[14]在威布爾分布的條件下,假設(shè)形狀參數(shù)已知,得出產(chǎn)品壽命可靠度的置信下限;Han等[15-17]在不同的壽命分布類型中,提出了最優(yōu)置信限方法,并得出可靠度的單側(cè)置信限;賈祥等[18]通過改進配分布曲線法,提高了可靠性評估結(jié)果的可靠性;羅巍等[19]運用bootstrap方法在無失效數(shù)據(jù)的可靠性分析中,得出可靠性函數(shù)的區(qū)間估計;李東兵等[20]考慮失效率的先驗分布為Gamma分布,在失效率的超參數(shù)均服從一定的均勻分布時,提出了失效率的多層Bayes和期望Bayes(Expected Bayes,E-Bayes)估計方法,建立了失效率的多層Bayes和E-Bayes估計模型;結(jié)合某型裝備發(fā)動機的無失效儲存數(shù)據(jù),計算了失效率的多層Bayes和E-Bayes估計值,推導了可靠度的多層Bayes和E-Bayes估計值。

綜上所述,對無失效數(shù)據(jù)情形下的可靠度估計問題,現(xiàn)有的研究大多只能得到參數(shù)的點估計,或者只能得到參數(shù)的單置信區(qū)間,很難同時得到參數(shù)的點估計和置信區(qū)間估計。本文結(jié)合實驗,利用多層bayes方法確定取值上限參數(shù)c的值,得到各個截尾時間處的產(chǎn)品失效概率估計,并得到低溫閥門填料環(huán)節(jié)可靠度的點估計。引入bootstrap法從已經(jīng)得到的產(chǎn)品壽命概率分布曲線中重新抽取樣本,運用矩法得出低溫閥門可靠度的置信區(qū)間估計,與置信限法得到的區(qū)間對比分析得出,bootstrap法抽樣法得到的區(qū)間優(yōu)于置信限法。

1 低溫閥門的壽命分布模型

雖然低溫閥門的應(yīng)用廣泛,運行工況特殊,但其也是機械產(chǎn)品的一種,根據(jù)文獻[21]可知,其壽命分布的概率密度曲線既不符合指數(shù)分布的概率密度呈現(xiàn)函單調(diào)遞減的趨勢,也與正態(tài)分布和對數(shù)分布呈現(xiàn)單個凸起的規(guī)律不相符,所以低溫截止閥的可靠性模型符合Weibull分布,其可靠度函數(shù)為

(1)

式中:m為形狀參數(shù);γ為位置參數(shù);η為尺度參數(shù)。

式(1)所示的Weibull分布中位置參數(shù)γ決定的是分布曲線的位置,當位置參數(shù)γ為0時代表從t=0時刻對失效狀態(tài)進行描述,一般引入位置參數(shù)不僅對結(jié)果的精度影響很小,而且會使求解過程復雜許多。因此將三參數(shù)Weibull分布可簡化為二參數(shù)Weibull分布,即

(2)

則其累計失效概率為

F(t)=1-R(t)

(3)

2 基于多層Bayes的可靠度模型建立

2.1 失效概率的多層bayes估計

失效概率pi的估計精度對產(chǎn)品的可靠度模型精度具有決定性的作用。目前關(guān)于無失效數(shù)據(jù)pi的估計主要方法包括經(jīng)典法、Bayes法、多層Bayes法等。經(jīng)典法和Bayes法都存在參數(shù)精度較差的問題。經(jīng)過大量學者的研究認為,選取共軛先驗分布不僅可以使計算過程簡單方便,而且能提高后驗分布的精度。所以本文選取與二項分布共軛的Beta分布作為pi的先驗分布,其密度函數(shù)為

(4)

式中:a,b分別為Beta分布的未知參數(shù);B(a,b)為Beta函數(shù),表示為

(5)

在確定先驗分布后就需要利用主觀信息對先驗分布進行參數(shù)區(qū)間的確定。由于機械產(chǎn)品在使用過程中隨著時間的增加,失效率應(yīng)該成遞減的趨勢。因此需要估算出使π(pi|a,b)遞減的a、b的值。對式(4)求導可得:當01時滿足條件。但如果要準確的給出a,b的值是不可能的,則將a、b定義為區(qū)間上的均勻分布,即有

(6)

式中c為參數(shù)b的取值上限。

多層Bayes將參數(shù)a,b視為超參數(shù),需要對a,b進行兩次積分,即需要使用兩次Bayes定理,根據(jù)式(4)可知,pi的多層先驗密度函數(shù)為

(7)

其中0

(8)

2.2 可靠度的點估計

(9)

對式(9)左右兩邊取對數(shù)可得

(10)

yi=u+σxi+δi

(11)

根據(jù)加權(quán)最小二乘法原理使誤差δi的平方和最小求解σ和u的估計值分別為:

(12)

(13)

(14)

(15)

3 可靠度的置信區(qū)間估計

對于本文利用多層Bayes法所計算的結(jié)果受可靠性試驗因素和求解方法的限制,只是該環(huán)節(jié)可靠度的近似模型,并不精確。因此有必要在完成點估計的基礎(chǔ)上對建立的可靠度模型的置信區(qū)間進行研究。利用Bootstrap抽樣法完成可靠度置信區(qū)間的估計,并對比不同可靠度區(qū)間評估方法的優(yōu)劣性,確定低溫截止閥的區(qū)間估計方法。Bootstrap抽樣理論是一類虛擬增廣樣本計算方法[22-23],如圖1所示。

圖1 Bootstrap抽樣原理示意圖Fig.1 Schematic diagram of bootstrap sampling principles

(16)

運用上述步驟需要注意的是:

1) 抽樣所得的樣本在進行累計失效率計算時,不能再使用多層Bayes方法,一般應(yīng)采取統(tǒng)計理論對參數(shù)進行估計,根據(jù)文獻[24]得到其分布函數(shù)估計為:

(17)

(18)

(19)

4 低溫截止閥無失效環(huán)節(jié)數(shù)據(jù)分析

4.1 低溫閥門的無失效實驗數(shù)據(jù)樣本

結(jié)合現(xiàn)有試驗條件,參照GJB899A-2009《可靠性鑒定和驗收試驗》與GB/T 24925-2016《低溫閥門技術(shù)條件》的相關(guān)要求,對低溫閥門進行低溫密封性能試驗與常溫加壓試驗。

對于試驗樣品要滿足隨機抽樣的原則,并根據(jù)相關(guān)標準對所抽取的樣品進行強度檢驗和密封檢驗,檢驗合格后方可進入到低溫閥門可靠性試驗當中。運用閥門壽命試驗臺,對閥門進行常溫加壓試驗,根據(jù)DN65低溫截止閥的工況性能,試驗壓力為其許用壓力的1.5倍。設(shè)定角度為從完全開啟到達到密封扭矩所需要閥桿回轉(zhuǎn)的角度,為2 160°,設(shè)定次數(shù)為閥桿啟閉循環(huán)的次數(shù),為4 100次。由于閥門開啟或關(guān)閉速度不宜過快,則選取速度參數(shù)為40 °/s,并且為了防止意外造成扭矩過大的現(xiàn)象需要設(shè)定安全扭矩為999 Nm,一旦出現(xiàn)扭矩大于安全扭矩,則試驗自動停止。具體試驗過程如圖2所示。

圖2 閥門啟閉與加壓試驗臺Fig.2 Valve opening and closing and pressurization test bed

試驗過程中首先將閥門通過卡盤安裝在加壓試驗臺上,連接好相應(yīng)的液壓系統(tǒng)與氣路系統(tǒng),最后啟動啟閉裝置,使其通過卡具實現(xiàn)對閥門的開啟與關(guān)閉。試驗數(shù)據(jù)分為10組,其中兩個試驗樣品為一組進行可靠性試驗。根據(jù)密封填料壽命在開閉3 500次的可靠度須達到98%以上的指標要求,選取截尾次數(shù)為2 750～4 100次。而根據(jù)低溫閥門啟閉試驗臺的性能,試驗開啟和關(guān)閉一次大約需要1 min,每天不間斷運行7 h,那么開閉4 100次則大約需要運行10 d。試驗過程中,對試驗樣品的工作性能進行檢查。試驗完成后發(fā)現(xiàn)試驗期間試驗樣品的密封面存在部分泄露失效,而填料環(huán)節(jié)及其他環(huán)節(jié)均與預(yù)期一致均未發(fā)生失效。

根據(jù)低溫閥門可靠性試驗方案步驟,當閥門在常溫密封試驗無失效時,則對閥門進行在低溫工況下的泄露試驗。該試驗系統(tǒng)主要由氣源、控制加壓系統(tǒng)、真空系統(tǒng)、檢測系統(tǒng)以及保溫箱組成。其中為了將低溫截止閥閥體溫度保持在-163 ℃以下,采用液氮作為冷卻介質(zhì)模擬工況溫度,如圖3所示。

圖3 低溫性能測試系統(tǒng)原理Fig.3 Principles of low-temperature performance test system

低溫實驗用液氮作為冷卻介質(zhì),用浸漬的方法達到低溫試驗環(huán)境,運用加壓系統(tǒng)控制壓力,提供實驗所需壓力,控制及檢測系統(tǒng)用來設(shè)置試驗參數(shù),實驗時,向低溫試驗槽中加入足量液氮,保證液氮蓋住閥體與閥蓋,對閥門進行降溫,在閥門冷卻至試驗溫度后,對閥門慢慢施加壓力,直至達到其許用壓力的1.5倍即7.5 MPa,保持30 min。待溫度變化穩(wěn)定在±5 ℃后,觀察閥門是否泄露。

經(jīng)過常溫與低溫密封試驗以后,得出低溫閥門填料環(huán)節(jié)無失效試驗數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 低溫截止閥填料環(huán)節(jié)無失效試驗數(shù)據(jù)Tab.1 Test data of low-temperature stop valve filling failur

4.2 多層Bayes法取值上限參數(shù)c值及可靠度模型參數(shù)的確定

通過上述對多層Bayes理論的分析與建?？芍?在確定產(chǎn)品的似然函數(shù)與先驗分布后要對可靠度參數(shù)進行求解,就首先需要對先驗分布中的c值進行確定,從而得到滿足產(chǎn)品可靠性指標要求的c值。

相關(guān)文獻普遍認為,先驗分布中參數(shù)b的取值會影響B(tài)eta函數(shù)的尾部取值范圍,b的取值越大則導致Bayes估計的結(jié)果穩(wěn)健性越差。因此b的上限值c不能過大,一般認為取2～7為宜。根據(jù)式(8)對試驗所得的無失效數(shù)據(jù)c在取2～7的范圍內(nèi)進行計算處理,得到多層Bayes下各啟閉次數(shù)的失效概率估計值如表2所示。

表2 不同c值下的多層Bayes累計失效率Tab.2 Cumulative failure rate of multilayer Bayes under different C values

由表2中的計算結(jié)果可知,填料環(huán)節(jié)在啟閉3 500次的累計失效概率在c值取2～7時的失效區(qū)間為[0.064 9,0.079 7]。而根據(jù)低溫截止閥的填料的指標要求,其在開閉3 500次左右的最大故障概率為pl=0.01至pu=0.02之間,顯然與實際的低溫截止閥的失效情況不相符。這說明按常規(guī)方法選取c值并不合適.

圖4 多層Bayes下參數(shù)c與p6的關(guān)系Fig.4 The relationship between c and p6 parameters under the multilayer Bayes

結(jié)合圖4可知,在滿足第6次截尾時件時的累計失效概率不高于0.020的指標要求,其上限參數(shù)c的取值在多層Bayes的條件下分別為c=92。但根據(jù)Bayes估計時在參數(shù)c的值在取[2,7]時才具有良好的穩(wěn)健性,因此必須對上述計算的c值進行穩(wěn)健性分析。

關(guān)于c值的穩(wěn)健性分析,以c值附近區(qū)間的累計失效率的極差進行度量,極差越小其穩(wěn)健性越好。則根據(jù)式(8)分別求解c1±2與c2±2區(qū)間內(nèi)的多層Bayes累計失效率如表3所示。

表3 多層Bayes下各截尾時刻的累計失效率Tab.3 Cumulative failure rate of each truncated time under the multi-layer Bayes

從表3可知,多層Bayes下的極差分別為0.001 0。參考相關(guān)文獻極值在0.002 3附近時就代表已經(jīng)有良好的穩(wěn)健性,說明多層Bayes的取值都能滿足Bayes估計的穩(wěn)健性要求。綜上,將采用多層Bayes估計取c=92對可靠度模型的未知參數(shù)進行求解分析。

(20)

因此填料環(huán)節(jié)的可靠度模型為

(21)

則低溫截止閥填料環(huán)節(jié)可靠度隨啟閉次數(shù)變化規(guī)律如圖5所示。

圖5 可靠度隨啟閉次數(shù)變化規(guī)律Fig.5 Variation of reliability with opening and closing times

從圖5中可以看出,使用多層Bayes點估計的可靠度呈單調(diào)遞減的趨勢,在開啟次數(shù)4 000次左右,可靠度保持90%以上,隨著開啟次數(shù)不斷增大,其可靠度減小速度增大。

4.3 Bootstrap抽樣法與置信限法可靠度置信區(qū)間對比

根據(jù)Bootstrap抽樣法求解流程,將上述所得的累計分布曲線作為總體的分布曲線對樣本進行抽樣。首先為了清楚的觀察抽樣次數(shù)B對參數(shù)估計效果的影響,在不同抽樣次數(shù)時估計可靠度區(qū)間隨抽樣次數(shù)B的波動情況,當可靠度區(qū)間穩(wěn)定時則說明B已經(jīng)滿足要求。其中新抽取的樣本數(shù)量需與原始樣本的數(shù)量保持一致,即n=20。本文選擇抽樣次數(shù)為0～4 000次,可得置信度為90%時可靠度區(qū)間寬度的變化情況如圖6所示。

圖6 Bootstrap抽樣次數(shù)與區(qū)間波動關(guān)系Fig.6 Relationship between bootstrap sampling times and interval fluctuation

從圖6可以看出在抽樣次數(shù)在1 000次以內(nèi)時,可靠度區(qū)間的上下限存在明顯的波動。抽樣次數(shù)在1 000～2 000次之間時,區(qū)間上下限的波動逐漸減小。當抽樣次數(shù)在2 000次以上時,區(qū)間上下限基本趨于收斂。為了得到精確的可靠性評估區(qū)間,確定采取抽樣次數(shù)B=2 500次。

采用上述確定的參數(shù)并利用MATLAB同時可以得到填料環(huán)節(jié)可靠度的區(qū)間估計隨開啟次數(shù)關(guān)系表達式和變化規(guī)律為

(22)

將式(22)得到的區(qū)間估計與多層Bayes得出的點估計進行對比,如圖7所示。

圖7 可靠度隨啟閉次數(shù)變化規(guī)律Fig.7 Variation law of reliability with opening and closing times

從圖7中可以看出,隨著開閉次數(shù)的增加,該環(huán)節(jié)的可靠度呈單調(diào)遞減的趨勢,其中在開閉次數(shù)較短時,使用多層Bayes的點估計包含于Bootstrap的區(qū)間估計之中且區(qū)間的寬度很小,即誤差較小。隨著閥門開閉次數(shù)的不斷延長,可靠度的區(qū)間雖始終包含多層Bayes的點估計值,但區(qū)間寬度卻明顯變大。而造成這種問題的主要原因是可靠性試驗中試驗樣本的數(shù)量過少所導致的,因為樣本量越大則區(qū)間估計的越窄,點估計的值越準確,但該現(xiàn)象區(qū)間求解方法是無關(guān)的。綜上,采用該方法能完全滿足低溫截止閥無失效數(shù)據(jù)環(huán)節(jié)的可靠性評估。

由于產(chǎn)品的無失效數(shù)據(jù)很難計算產(chǎn)品可靠度參數(shù)的真值,因此本文引入置信限法求解參數(shù)的置信區(qū)間,并通過對比置信限法與Bootstrap法所計算的可靠度區(qū)間結(jié)果的精度,確定適合填料環(huán)節(jié)的置信區(qū)間求解方法。傅惠民對壽命服從weibull分布條件的產(chǎn)品進行了研究,在形狀參數(shù)確定的條件下,推導出尺度參數(shù)雙側(cè)置信區(qū)間的估計方法,得到可靠度區(qū)間估計。根據(jù)文獻[17,26-27]可得置信限法尺度參數(shù)η的估計區(qū)間上限和下限為:

(23)

根據(jù)可靠度的點估計公式,將式(23)代入式(15)可得置信水平在1-α下可靠度估計的區(qū)間上限和下限為:

(24)

同樣選取置信限法的置信水平與Bootstrap抽樣法的置信水平相同,即取90%的置信度進行計算。兩種區(qū)間估計方法的可靠度區(qū)間隨開閉次數(shù)的變化規(guī)律如圖8所示。并且為了研究不同區(qū)間估計方法下的區(qū)間寬度變化情況,令D=|Ru(t)-Rl(t)|,因此可得兩種方法下的區(qū)間寬度如圖9所示。

圖8 不同模型下的可靠度區(qū)間估計Fig.8 Interval estimation of reliability under different models

圖9 不同模型可靠度區(qū)間寬度的變化規(guī)律Fig.9 Variation of reliability interval width of different models

從圖8可以分析得到Bootstrap抽樣法的區(qū)間寬度明顯優(yōu)于置信限法,在開閉次數(shù)較大時,置信限估計法便失去了統(tǒng)計意義。同時從圖9中可知,在開閉次數(shù)小于1 000次時,置信限法與Bootstrap抽樣法的區(qū)間寬度均保持一致,且區(qū)間寬度小于0.05。但隨著開閉次數(shù)的增加,置信限法的區(qū)間寬度為0.8明顯大于Bootstrap抽樣法的0.2。所以證明采用Bootstrap抽樣法對填料環(huán)節(jié)置信區(qū)間的估計是比較準確的。

5 結(jié)論

本文結(jié)合實驗,利用多層bayes方法得到各個截尾時間處的產(chǎn)品失效概率估計,并得到低溫閥門可靠度的點估計;并引入bootstrap法從已經(jīng)得到的產(chǎn)品壽命概率分布曲線中重新抽取樣本,結(jié)合矩法得出低溫閥門可靠度的置信區(qū)間估計,最終與置信限法得到的區(qū)間進行對比分析,結(jié)論如下:

1) 分析了多層Bayes方法中先驗分布中參數(shù)c值的選取,結(jié)合填料相關(guān)指標信息,給出了低溫截止閥填料中參數(shù)c確定值。通過分析多層Bayes下c對應(yīng)取值的穩(wěn)健性,選取多層Bayes對失效率進行估計,獲得了填料環(huán)節(jié)的可靠度模型。

2) 在無失效數(shù)據(jù)情況下,通過對低溫截止閥的填料環(huán)節(jié)進行可靠性分析可知,通過多層bayes方法得出低溫閥門填料環(huán)節(jié)的可靠度點估計,運用Bootstrap抽樣法和矩法的結(jié)合得出填料環(huán)節(jié)可靠度的區(qū)間估計,使填料環(huán)節(jié)的可靠性評估更加精確。

3) 采用Bootstrap抽樣法對可靠度曲線進行了多次抽樣,并根據(jù)樣本獲得了填料環(huán)節(jié)可靠度的置信區(qū)間。通過與置信限法的參數(shù)區(qū)間估計法進行對比,確定該方法在填料環(huán)節(jié)的無失效數(shù)據(jù)可靠性處理上其精度明顯高于置信限法,滿足無失效環(huán)節(jié)可靠性評估的相關(guān)要求。