三角代數(shù)上的可乘映射

劉 磊, 李開鵬, 王緒迪

(1.西安電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 陜西 西安 710071; 2.西安理工大學(xué) 理學(xué)院, 陜西 西安 710054)

多年來,如何刻畫代數(shù)上在某點(diǎn)可導(dǎo)的映射受到許多數(shù)學(xué)家的關(guān)注。對(duì)于某些代數(shù),幾位作者討論了G分別為零、單位元、非平凡冪等元、可逆元素的情況[1-6]。

受可導(dǎo)映射啟發(fā),如果對(duì)S,T∈A使得ST=G時(shí)就有φ(ST)=φ(S)φ(T),則稱可加映射φ在G處可乘。對(duì)于可乘映射的研究也有相關(guān)結(jié)果。Zhu等[7]研究了矩陣代數(shù)上在可逆元和單位元處可乘的映射。Gong等[8]研究了矩陣代數(shù)上某些點(diǎn)Jordan可乘的映射。Li等[9]刻畫了在含有單位元的Banach代數(shù)上分離點(diǎn)和單位元點(diǎn)處可乘的映射。Burgos等[10]在研究了C*-代數(shù)上在零點(diǎn)、單位元點(diǎn)和投影點(diǎn)上可乘的映射。

如何刻畫三角代數(shù)上在任一固定點(diǎn)可乘的映射是一個(gè)很自然的問題。但是,到目前為止,還未見到此方向上的研究成果。本文描述了在三角代數(shù)上任一固定點(diǎn)可乘映射的結(jié)構(gòu),將結(jié)果應(yīng)用到了套代數(shù)上。

1 預(yù)備知識(shí)

2 主要結(jié)論與證明

(i) 對(duì)任意的a∈A,存在某個(gè)正整數(shù)n滿足nIA-a在A中是可逆的;

(ii) 對(duì)任意的b∈B,存在某個(gè)正整數(shù)n滿足nIB-b在B中是可逆的。

則對(duì)任意的A,B∈T,φ(AB)=φ(A)φ(B)成立,即φ是T到U上的同態(tài)映射。

斷言1對(duì)任意的a∈A,有f12(a)=0,f22(a)=0。

(1)

其中:

由式(1)可得,對(duì)于任意可逆的a∈A,有:

由此可知,對(duì)于任意可逆的a∈A,有f12(a)=0,f22(a)=0。

由假設(shè) (i)得,對(duì)于任意a∈A,存在正整數(shù)n,使得nIA-a在A中可逆。因此,對(duì)任意的a∈A,有f12(nIA-a)=0,f22(nIA-a)=0。又由于nIA在A中可逆,故對(duì)于任意a∈A,f12(a)=0,f22(a)=0。

斷言2對(duì)任意的b∈B,h11(b)=0,h12(b)=0。

斷言3對(duì)任意的m∈M,g11(m)=0,g22(m)=0。

(2)

其中Δ=(g22(m0-λm)+h22(b0))(ID+g22(m))。

由式(2)可知,對(duì)任意的m∈M,有:

(3)

g22(m0)+h22(b0)=

(g22(m0-λm)+h22(b0))(ID+g22(m))

(4)

由式(3)、(4)可得:

g11(m)+g11(m)g11(m)=0

(5)

g22(m)+g22(m)g22(m)=0

(6)

將等式(5)和等式(6)中的m用-m替換,有:

-g11(m)+g11(m)g11(m)=0

(7)

-g22(m)+g22(m)g22(m)=0

(8)

對(duì)任意的m∈M,比較等式(5)和等式(7),有g(shù)11(m)=0。類似地,比較等式(6)和等式(8),有g(shù)22(m)=0

(9)

斷言4對(duì)任意的a∈A和m∈M,g12(am)=f11(a)g12(m)成立。

(10)

由式(10)可得:

g12(m0)=λf11(a)g12(m)+g12(m0)-λg12(am)

因此有g(shù)12(am)=f11(a)g12(m)。 由假設(shè) (i)可知,對(duì)任意的a∈A,存在一個(gè)整數(shù)n使得nIA-a在A中是可逆的。所以對(duì)任意的a∈A和m∈M,有g(shù)12((nIA-a)m)=f11(nIA-a)g12(m)。注意到nIA是可逆的,最終推斷出對(duì)任意的a∈A和m∈M,有g(shù)12(am)=f11(a)g12(m)。

斷言5對(duì)任意的b∈B和m∈M,有:g12(mb)=g12(m)h22(b)。

斷言6對(duì)任意的a1,a2∈A,f11(a1a2)=f11(a1)f11(a2)。

對(duì)任意的a1,a2∈A和m∈M,應(yīng)用斷言 4,一方面,有:

g12(a1a2m)=f11(a1a2)g12(m)

另一方面,再一次使用斷言 4,有:

g12(a1a2m)=f11(a1)g12(a2m)=

f11(a1)f11(a2)g12(m)

比較這兩個(gè)等式可知:

(f11(a1a2)-f11(a1)f11(a2))g12(m)=0

由于φ是滿射并且N是忠實(shí)的,所以從上式可得對(duì)任意的a1,a2∈A,f11(a1a2)=f11(a1)f11(a2)。

對(duì)任意的b1,b2∈B和m∈M,應(yīng)用斷言 5,一方面,有:

g12(mb1b2)=g12(m)h22(b1b2)

另一方面,再一次應(yīng)用斷言 5,有:

g12(mb1b2)=g12(mb1)h22(b2)=g12(m)h22(b1)h22(b2)

通過和斷言6類似地討論,易得如下斷言。

斷言7對(duì)任意的b1,b2∈B,等式

h22(b1b2)=h22(b1)h22(b2)成立。

斷言8定理1成立。

由等式(9)及斷言 4～7可知,對(duì)任意的

直接計(jì)算可得:

即φ是T到U上的同態(tài)映射。

3 應(yīng) 用

令H是實(shí)或復(fù)的Hilbert空間。眾所周知,H上的套是H上的正交投影鏈,在強(qiáng)算子拓?fù)渲惺欠忾]的,并且包含0和單位算子I。如果一個(gè)套包含至少一個(gè)非平凡投影,則稱其為非平凡的套。由algN表示與N關(guān)聯(lián)的套代數(shù),它是由所有保持N不變的有界線性算子組成的算子代數(shù)。很明顯,每個(gè)非平凡的套代數(shù)都是三角代數(shù)。所以有以下推論。

證明由條件易知與N關(guān)聯(lián)的套代數(shù)可以用H=ran(P)⊕ran(P)⊥和H=ran(Q)⊕ran(Q)⊥表示為兩種三角代數(shù),并且滿足定理1中的條件。因此由定理1可得φ是algN上的自同構(gòu)。又因?yàn)樘状鷶?shù)上的每個(gè)自同構(gòu)都是空間的(參見文獻(xiàn)[12]),所以存在可逆算子S∈algN滿足對(duì)任意的A∈algN,有φ(A)=SAS-1。

4 結(jié) 論

本文刻畫了三角代數(shù)上在固定點(diǎn)可乘的可加映射,證明了在任一固定點(diǎn)可乘的可加滿射一定是同態(tài)映射。作為應(yīng)用,證明了套代數(shù)上在固定點(diǎn)可乘的可加雙射在一定條件下一定是自同構(gòu)。