關(guān)注問(wèn)題梯度,提升解題能力
——以“一次函數(shù)面積問(wèn)題”教學(xué)設(shè)計(jì)為例

秦 哲

?廣東省深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校初中部

面積問(wèn)題一直是中考的重點(diǎn)和難點(diǎn),平面直角坐標(biāo)系中的面積問(wèn)題往往是幾何與函數(shù)的綜合問(wèn)題,一般考查學(xué)生邏輯思維能力和數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合應(yīng)用.學(xué)生遇到這類問(wèn)題,通常無(wú)法將面積問(wèn)題進(jìn)行有效轉(zhuǎn)化.本文中以八年級(jí)“一次函數(shù)面積問(wèn)題”復(fù)習(xí)課的教學(xué)設(shè)計(jì)為例,闡述如何通過(guò)優(yōu)化問(wèn)題結(jié)構(gòu),以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)課堂,以問(wèn)題變化提高學(xué)生解題的熱情,引導(dǎo)學(xué)生從多角度和全方位進(jìn)行思考,形成解題策略,深化解決平面直角坐標(biāo)系中面積問(wèn)題常用的方法.

1 問(wèn)題引入,方法歸納

在平面直角坐標(biāo)系中,直線l1:y=x+2與y軸相交于點(diǎn)A,l1上點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為5.(文中的變式都使用此條件.)

問(wèn)題1如圖1,連接OB求點(diǎn)B的坐標(biāo)和△OAB的面積.

圖1

解略.

點(diǎn)評(píng)：在平面直角坐標(biāo)系中,若三角形的一邊在坐標(biāo)軸上或平行于坐標(biāo)軸(通常稱之為“橫平豎直三角形”),則可以直接利用三角形面積公式求出其面積.如問(wèn)題1中△OAB的邊OA在y軸上,它是一個(gè)“橫平豎直三角形”.“橫平豎直三角形”是解決一次函數(shù)面積問(wèn)題的突破口.

問(wèn)題2如圖2,若點(diǎn)C(1,0),連接AC和BC,求△ABC的面積.

圖2

方法1：如圖3,過(guò)點(diǎn)B分別作x軸和y軸的垂線,垂足分別為F,E,從而把△ABC的面積轉(zhuǎn)化為矩形的面積與三個(gè)三角形的面積之差,即

圖3

S△ABC=S矩形BFOE-S△AOC-S△BCF-S△EAB.

△ABC的面積由矩形的面積減去三個(gè)三角形的面積求得,這種方法稱之為“割補(bǔ)法”.

方法2：如圖4,過(guò)點(diǎn)C作y軸的平行線交AB于點(diǎn)D,則

圖4

S△ABC=S△ADC+S△BDC

方法3：如圖5,過(guò)點(diǎn)C作直線AB的平行線交y軸于點(diǎn)E,連接BE.因?yàn)椤鰽BC與△ABE同底,且它們的高為兩條平行線之間的距離,因此S△ABC=S△ABE,△ABE為前面所說(shuō)的“橫平豎直三角形”.由于AB∥CE,因此直線AB和直線CE的斜率相等,可求出直線CE的解析式,進(jìn)而求出△ABC的面積.

圖5

利用“平行線間的距離處處相等”,將△ABC的面積轉(zhuǎn)化為△ABE(“橫平豎直三角形”)的面積,此方法稱之為“平行面積轉(zhuǎn)化法”.

點(diǎn)評(píng)：?jiǎn)栴}2中的△ABC不是問(wèn)題1中的“橫平豎直三角形”,因此不能通過(guò)三角形的面積公式直接求解,需進(jìn)行轉(zhuǎn)化.問(wèn)題2的解決引出解決面積問(wèn)題的三種方法——“割補(bǔ)法”“鉛垂法”和“平行面積轉(zhuǎn)化法”,為解決后續(xù)復(fù)雜的面積問(wèn)題提供了基本思路和出發(fā)點(diǎn).

2 變式訓(xùn)練,鞏固提升

圖6

圖7

圖8

由于AB∥CD,因此kCD=kAB=1,則直線CD的解析式為y=x-3.

點(diǎn)評(píng)：變式1中的點(diǎn)C由“定點(diǎn)”變?yōu)橹本€上的“動(dòng)點(diǎn)”,題目雖變復(fù)雜了,但仍可使用問(wèn)題2提及的方法來(lái)解決,讓學(xué)生體驗(yàn)方法應(yīng)用的廣泛性.方法1關(guān)注“方程思想”,使用“未知數(shù)”表示動(dòng)點(diǎn)C的坐標(biāo),利用“鉛垂法”表示三角形的面積并利用面積的等量關(guān)系構(gòu)建方程求解;方法2關(guān)注“轉(zhuǎn)化思想”,使用“平行線”將△ABC的面積轉(zhuǎn)化為△ABD(“橫平豎直三角形”)的面積,將點(diǎn)C看成是兩條直線的交點(diǎn).

變式2如圖9,在變式1的條件下,P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn),若直線CP平分四邊形OABC的面積,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

圖9

圖10

圖11

方法3：“平行面積轉(zhuǎn)化法”.如圖12,過(guò)點(diǎn)O作AC的平行線,交AB于點(diǎn)D.由△ADC與△AOC同底等高,可得S△AOC=S△ADC.則S四邊形AOCB=S△ABC+S△AOC=S△ABC+S△ADC=S△BDC.

圖12

將四邊形AOCB的面積則轉(zhuǎn)化為△BDC的面積,又直線CP平分四邊形AOCB的面積,可知CP平分△BDC的面積,故P為線段BD的中點(diǎn).

點(diǎn)評(píng)：變式2為動(dòng)直線平分不規(guī)則四邊形的面積問(wèn)題,綜合性和難度都有提升,學(xué)生通過(guò)分析問(wèn)題情境,運(yùn)用已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)將陌生的新問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知問(wèn)題,精選方法進(jìn)行解決.方法1以“分割法”為載體,經(jīng)由“橫平豎直三角形”求解;方法2利用“未知數(shù)”表示動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo),利用面積的等量關(guān)系構(gòu)建方程;方

法3“平行面積轉(zhuǎn)化法”最巧妙,利用平行將四邊形AOCB的面積轉(zhuǎn)化為△BDC的面積,符合條件的點(diǎn)P即為線段BD的中點(diǎn).將不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為我們熟悉的三角形面積,由“陌生”到“熟悉”,“一題多解”提高了學(xué)生思維的靈活性,拓寬了解題思路,更增加了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

3 反思與小結(jié)

3.1 關(guān)注問(wèn)題的設(shè)置

復(fù)習(xí)課常常以問(wèn)題為導(dǎo)向,解題為驅(qū)動(dòng).有層次、有梯度、系統(tǒng)化的問(wèn)題能激發(fā)學(xué)生的求知欲,引發(fā)學(xué)生深度思考.在“一次函數(shù)面積問(wèn)題”的變式訓(xùn)練中,筆者利用相同的問(wèn)題背景,對(duì)條件進(jìn)行重新配置與組合,創(chuàng)設(shè)有層次的問(wèn)題,這些問(wèn)題雖各不相同,但相互聯(lián)系.從“問(wèn)題1”到“變式2”層層遞進(jìn),由簡(jiǎn)單的“橫平豎直三角形”求面積,到“動(dòng)點(diǎn)”的面積問(wèn)題,再到平分不規(guī)則四邊形的面積問(wèn)題,由“靜”至“動(dòng)”,從“簡(jiǎn)單”到“復(fù)雜”.學(xué)生深入思考,使用多種方法解決問(wèn)題,體驗(yàn)成就感,不斷加深對(duì)解題思路和技巧的理解,為后續(xù)二次函數(shù)面積問(wèn)題的學(xué)習(xí)作鋪墊.

3.2 關(guān)注數(shù)學(xué)思想的滲透

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》要求“能夠回顧解決問(wèn)題的思考過(guò)程,反思解決問(wèn)題的方法和結(jié)論,形成批判性思維和創(chuàng)新意識(shí)”.從“變化的”問(wèn)題中提煉出“不變的”方法,促進(jìn)數(shù)學(xué)思想的內(nèi)化.“模型思想”:問(wèn)題1促使學(xué)生關(guān)注“橫平豎直三角形”,后續(xù)變式題中的三角形都可通過(guò)“分割”或“平行”轉(zhuǎn)化為“橫平豎直三角形”來(lái)求面積.“方程思想”:利用“未知量”表示動(dòng)點(diǎn),利用“等量關(guān)系”構(gòu)建方程,這是解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的基本思路.“轉(zhuǎn)化思想”:將“普通三角形”的面積轉(zhuǎn)化為“橫平豎直三角形”的面積;將“不規(guī)則四邊形的面積”轉(zhuǎn)化為“三角形的面積”,化“繁”為“簡(jiǎn)”,化“陌生”為“熟悉”.“轉(zhuǎn)化思想”不僅是有效的思維方式,更在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中扮演著重要的角色.

3.3 關(guān)注有針對(duì)性的專題訓(xùn)練

“雙減”政策對(duì)初中課后作業(yè)的設(shè)計(jì)與優(yōu)化提出了更高的要求.我們要改變當(dāng)前過(guò)量的、低效的、機(jī)械的作業(yè)訓(xùn)練,提高課后作業(yè)質(zhì)量.筆者認(rèn)為教師首先要“下題海”,“見(jiàn)識(shí)”更多的題目,而僅僅靠做題是不夠的,還要對(duì)題目進(jìn)行歸納和整理,將題目的技巧、方法和思路進(jìn)行總結(jié).課前精選例題,并對(duì)例題進(jìn)行分析、整合、挖掘與拓展,讓學(xué)生進(jìn)行有針對(duì)性的專題訓(xùn)練,而非盲目地“多做題”;課堂中進(jìn)行“變式教學(xué)”,用問(wèn)題的多種變式組織課堂架構(gòu),將解題方法和數(shù)學(xué)思想作為貫穿課堂的主線,幫助學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí),提升解題技巧,內(nèi)化數(shù)學(xué)思想.Z