基于核心素養(yǎng)的課堂教學(xué)案例研究
——以“空間向量基本定理”為例

安徽省宿州市第二中學(xué) 杜文偉 (郵編:234000)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(2017年版2020年修訂版)》明確指出數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué),數(shù)學(xué)源于對現(xiàn)實世界的抽象,基于抽象結(jié)構(gòu),通過符號運算,形成推理和模型建構(gòu)等,明確高中數(shù)學(xué)課程要以學(xué)生發(fā)展為本,落實立德樹人根本任務(wù),培養(yǎng)科學(xué)精神和創(chuàng)新意識,提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng),要優(yōu)化課程結(jié)構(gòu),突出主線,精選內(nèi)容．在教學(xué)中,要把握數(shù)學(xué)本質(zhì),啟發(fā)思考,改進教學(xué),要聚焦數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析等六大核心素養(yǎng),提升學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實際問題的能力．不斷引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值、文化價值和審美價值．

1 基于核心素養(yǎng)的教材分析

本節(jié)教材從空間中三個兩兩垂直的不共面的向量這一特殊情況出發(fā),類比平面向量基本定理,給出空間向量基本定理．“空間向量基本定理”揭示出空間任一向量都可以用三個不共面的向量表示,因此空間中三個不共面的向量就構(gòu)成了三維空間的一個“基底”,是立體幾何問題代數(shù)化的基礎(chǔ),教科書將這一內(nèi)容單列一節(jié),正是因為“空間向量基本定理”的重要作用,不僅讓學(xué)生掌握空間向量基本定理,還應(yīng)用向量方法解決立體幾何的一些問題．突出了空間向量基本定理在本章內(nèi)容中承上啟下的作用,而且可以使學(xué)生更好地掌握用空間向量解決立體幾何問題的基本方法,也為后續(xù)學(xué)習空間向量及其運算的坐標表示奠定堅實基礎(chǔ)．

2 基于核心素養(yǎng)的教學(xué)分析

2.1 數(shù)學(xué)抽象的分析

數(shù)學(xué)抽象是通過對數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象,得到數(shù)學(xué)研究對象的素養(yǎng)．數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想,是從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu),并用數(shù)學(xué)語言予以表征,它反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)．本節(jié)課,從學(xué)生已學(xué)的向量共線定理、平面向量基本定理出發(fā),從一維角度、二維角度,上升到三維角度,通過對問題的猜想、探究,在具體情景中抽象出命題即得到“空間向量基本定理”,以簡馭繁,運用數(shù)學(xué)抽象的思維方式思考并解決問題．

2.2 直觀想象的分析

直觀想象是借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化,利用空間形式特別是圖形,理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)．直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的重要手段,是探索和形成論證思路、進行數(shù)學(xué)推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ)．本節(jié)課,在平面向量基本定理的基礎(chǔ)上,利用類比的方法探究理解空間向量基本定理,經(jīng)歷由平面向量推廣到空間向量的過程體驗,體會平面向量和空間向量的共性和差異,感悟向量是研究幾何問題的有效工具．由于恰當選擇基底依賴于對立體圖形基本元素及其基本關(guān)系的把握,需要學(xué)生有較強的空間想象能力,這對學(xué)生而言存在一定的困難,教學(xué)時需注意引導(dǎo)學(xué)生從幾何圖形的組成元素及其基本關(guān)系上加強分析．

本節(jié)課還涉及到數(shù)學(xué)運算、邏輯推理核心素養(yǎng),在此不作贅述．

3 教學(xué)目標及重難點

3.1 教學(xué)目標

(1)了解空間向量基本定理及其意義,掌握空間向量的正交分解;

(2)掌握空間向量的線性運算,會選用空間三個不共面的向量為基底表示其它的向量;

(3)空間向量基本定理的簡單應(yīng)用．

3.2 重難點

重點:空間向量基本定理;

難點:基底的恰當選擇．

4 教學(xué)設(shè)計

4.1 設(shè)置情景,探索本質(zhì)

問題1平面內(nèi)的任意一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示,這是平面向量基本定理.那么在空間中,如何選擇向量,可以表示空間中的任意一個向量呢?

請同學(xué)們思考:

圖1

設(shè)計意圖使學(xué)生從已學(xué)習過的向量共線定理、平面向量基本定理出發(fā),運用類比思想,探索空間中的任意一個向量如何用已知向量表示,并且已知向量須滿足哪些條件,探索空間向量基本定理,為空間向量的正交分解埋下伏筆．

4.2 層次遞進,形成概念

問題2如圖2,設(shè)i,j,k是空間中三個兩兩垂直的向量,且表示它們的有向線段有公共起點O,對于任意一個空間向量p,如何用i,j,k表示?

圖2

追問1在空間中,如果用任意三個不共面的向量a,b,c代替兩兩垂直的向量i,j,k,你能得出類似的結(jié)論嗎?

學(xué)生:由向量共線定理和平面向量基本定理,類比是可以得到類似結(jié)論的.

追問2類比平面向量基本定理,你能總結(jié)空間向量基本定理的內(nèi)容嗎?

學(xué)生:如果三個向量a,b,c不共面,那么對任意一個空間向量p,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.

我們稱{a,b,c}為空間的一個基底,a,b,c都叫做基向量．

追問3類比向量共線定理和平面向量基本定理,如何證明空間向量基本定理?(學(xué)生小組合作探究)

教師總結(jié)要證明空間向量基本定理,既要證明唯一性,也要證明存在性．

(1)唯一性的證明(反證法)

假設(shè)除(x,y,z)外,還存在另一有序?qū)崝?shù)組(x′,y′,z′),使得p=x′a+y′b+z′c,則x′a+y′b+z′c=xa+yb+zc．

①若x′=x,則y′b+z′c=yb+zc,即(y′-y)b=(z-z′)c,由向量共線定理知b//c,這與已知三個向量a,b,c不共面矛盾;

②若x′≠x,則(x′-x)a=(y-y′)b+(z-z′)c,兩邊同除以x′-x,得

(2)存在性的證明

圖3

綜上(1)(2)即得出空間向量基本定理的證明．

追問4通過空間向量基本定理及其證明過程,你能提煉出空間向量基本定理的核心內(nèi)容嗎?

學(xué)生:(1)任意性:用空間三個不共面的向量可以線性表示出空間中任意一個向量.(2)唯一性:基底確定后,空間向量基本定理中的實數(shù)組(x,y,z)是唯一的.

追問5關(guān)于空間向量基本定理中的基底和基向量,你有哪些認識?(學(xué)生小組合作探究,小組代表總結(jié))

學(xué)生代表總結(jié)(1)一個基底是由三個不共面的向量組成的一個向量組,一個基向量是指基底中的某一個向量,二者是相關(guān)聯(lián)的不同概念.(2)基底的選擇一般有兩個條件:①基底必須是不共面的非零向量;②在進行基底選擇時要盡量選擇已知角度和長度的向量,這樣在進行相關(guān)運算時會更方便.(3)因為零向量與任意一個向量共線,與任意兩個不共線的向量共面,所以如果三個向量不共面,則它們均不是零向量.(4)單位正交基底:如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直,且長度都為1,那么這個基底叫做單位正交基底,常用{i,j,k}表示.(5)正交分解:把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量,叫做把空間向量進行正交分解.

思考(1)已知{a,b,c}是空間的一個基底,從a,b,c選哪一個向量,一定能與向量p=a+b,q=a-b構(gòu)成空間的另一個基底?(答案:c)

設(shè)計意圖通過課堂及時反饋,進一步加深學(xué)生對定理的理解,提高學(xué)生解決問題的能力．空間向量正交分解與平面向量的正交分解類似,區(qū)別僅在于基底中多了一個向量,從而分解結(jié)果中也多了一“項”,教學(xué)中,不僅要引導(dǎo)學(xué)生利用平面向量的正交分解得到空間向量的正交分解,還要引導(dǎo)學(xué)生注意這種差異,通過引導(dǎo)學(xué)生比較兩者的差異,從而得到定理證明思路的啟發(fā),培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

4.3 典例解析,拓展延伸

圖4

設(shè)計意圖基底選定后,空間任意一向量由基底唯一表示,但基底不是唯一的,選擇不同的基底,同一向量的表示則不同,本例是用不同的三個不共面的向量作為基底表示一個具體空間向量,目的是加深學(xué)生對空間向量基本定理的理解.

例2如圖5,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=4,AA1=5,∠DAB=60o,∠BAA1=60o,∠DAA1=60o,M,N分別為D1C1,C1B1的中點,求證:MN⊥AC1.

圖5

設(shè)計意圖本例是利用空間向量基本定理證明兩條線段互相垂直,即只需證明兩直線的方向向量的數(shù)量積為0即可,在平行六面體中,通常用同一頂點的三條棱對應(yīng)的向量作為一個空間基底,將相關(guān)向量用該基底表示,進而求解證明,培養(yǎng)了學(xué)生在空間圖形中如何選擇恰當?shù)娜齻€不共面的向量作為基底,從而方便進一步求解論證.

例3如圖6,正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為1,E,F,G分別為C′D′,A′D′,DD′的中點.

圖6

(1)求證:EF//AC;

(2)求CE與AG所成角的余弦值.

設(shè)計意圖本例是利用空間向量基本定理證明兩條直線互相平行和計算兩條直線所成角的余弦值,指導(dǎo)學(xué)生在證明平行的問題上一般轉(zhuǎn)化為兩向量共線的問題,在問題(1)中,主要是引導(dǎo)學(xué)生利用正方體的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造正交基底,并用基向量表示相關(guān)的向量,在問題(2)的求解上,主要是引導(dǎo)學(xué)生用基向量表示向量數(shù)量積運算中所涉及的向量,培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化和化歸的數(shù)學(xué)思想,提升學(xué)生直觀想象和邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

5 教學(xué)反思,提高認識

(1)課堂教學(xué)要注重提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

本節(jié)的主要內(nèi)容是空間向量基本定理,空間向量基本定理是立體幾何問題代數(shù)化的基礎(chǔ),有了這個定理,整個向量空間可以用三個不共面的基向量確定,空間結(jié)構(gòu)變得簡單明了．在教學(xué)中,應(yīng)使學(xué)生能借助平行六面體理解空間向量的求和與分解,培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng),能基于基底進行空間向量的線性運算,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng),能類比平面向量基本定理并從具體特殊情形抽象概括,獲得空間向量基本定理,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．

(2)課堂教學(xué)要注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法

本節(jié)課在教學(xué)活動上,注重了學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng),借助空間向量基本定理,將空間直線與直線,直線與平面等位置關(guān)系證明及角度、距離計算等問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題,培養(yǎng)學(xué)生化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法;能理解從平面向量基本定理上升到空間向量基本定理,能借助已知幾何體的結(jié)構(gòu)特征建立向量基底,從而表示空間中的任意一個向量,培養(yǎng)學(xué)生的特殊到一般和數(shù)形結(jié)合的思想方法．

(3)課堂教學(xué)要注重突出學(xué)生的主體地位

本節(jié)課,在教學(xué)方法上,采用問題驅(qū)動,以學(xué)生為主體進行合作交流和探究,將課堂的主動權(quán)真正交給學(xué)生,使學(xué)生思維高度運轉(zhuǎn),真正讓學(xué)生成為課堂的主人,教師只是輔助引導(dǎo),通過一些問題的設(shè)計及學(xué)生的交流探究,最終達成共識,從而使學(xué)生能深刻理解并掌握本節(jié)課的所學(xué)內(nèi)容．