例說(shuō)分類討論思想在解答函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用

湯蘊(yùn)慧

分類討論思想是數(shù)學(xué)中的一種重要思想方法和解題策略，在解答函數(shù)問(wèn)題中也有著廣泛的應(yīng)用.對(duì)此，筆者就函數(shù)問(wèn)題中的分類討論思想的應(yīng)用方法進(jìn)行了剖析，以期對(duì)同學(xué)們解答函數(shù)問(wèn)題有所幫助.

一、因函數(shù)的增減性不確定需分類討論

增減性是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì).在比較函數(shù)值的大小，解不等式或求函數(shù)最值等函數(shù)問(wèn)題中，常常需要借助函數(shù)的增減性.然而有的函數(shù)解析式中含有參變量，具有不確定性，無(wú)法直接明確函數(shù)的增減性，此時(shí)同學(xué)們要注意根據(jù)參變量的情況，對(duì)函數(shù)的增減性進(jìn)行分類討論.

例1

分析

解

評(píng)注：函數(shù)增減性的確定與自變量前面系數(shù)的符號(hào)有密切關(guān)系.在正比例函數(shù)y=kx（k≠0）與一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）中，當(dāng)k>0時(shí)，此時(shí)y隨x的增大而增大；當(dāng)k<0時(shí)，此時(shí)y隨x的增大而減小.

二、因函數(shù)的類型不確定需分類討論

初中階段的函數(shù)問(wèn)題主要涉及到一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù).若題目中未指出函數(shù)的類型，而函數(shù)中最高項(xiàng)系數(shù)是含字母的不確定代數(shù)式，則要注意根據(jù)參變量的取值情況，對(duì)函數(shù)的類型進(jìn)行分類討論，全方位思考問(wèn)題，從而避免漏解.

例2已知函數(shù)y=（4-k）x2+4x+k與坐標(biāo)軸只有兩個(gè)交點(diǎn)，則k的值為.

分析：本題函數(shù)類型不明確，當(dāng)4-k=0時(shí)，即k=4時(shí)，該函數(shù)為一次函數(shù)，它與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)4-k≠0時(shí)，即k≠4時(shí)，該函數(shù)為二次函數(shù).若△=0，此時(shí)拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，與y軸有一個(gè)交點(diǎn)；若圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，此時(shí)拋物線與坐標(biāo)軸也有兩個(gè)交點(diǎn).所以，要想求出k的值，需要先進(jìn)行分類討論.

解：

評(píng)注：本題主要考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的情況.由于題中沒(méi)有直接指出該函數(shù)是一次函數(shù)還是二次函數(shù)，因此解答時(shí)需用分類討論思想對(duì)字母系數(shù)的取值情況展開(kāi)討論，然后確定函數(shù)的類型.

三、因函數(shù)圖象的位置不確定需分類討論

我們可以根據(jù)函數(shù)解析式得到函數(shù)圖象，但函數(shù)解析式中的系數(shù)不確定，則函數(shù)圖象在平面直角坐標(biāo)系中的位置也將不明確.一般地，若題目沒(méi)有提供圖形，而根據(jù)題意，圖形的位置又有多種可能，為了避免出現(xiàn)漏解的情況，就要求我們根據(jù)題意對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分類討論來(lái)解答.

例3已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為15，且過(guò)點(diǎn)（0，5），求該一次函數(shù)的解析式.

分析：根據(jù)題意，畫出草圖，如圖所示，很容易看出一次函數(shù)圖象與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形可能是△MOP，也可能是△NOP，因此需要進(jìn)行分類討論.

解：

評(píng)注：由于題中一次函數(shù)與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的位置不確定，因此需要利用分類討論思想對(duì)所圍成三角形的位置情況予以分析，全面考慮，這樣才能保證解答的完整性.