宜用反證法證明的幾類問(wèn)題

陳溪

反證法是一種間接證明方法.它著眼于問(wèn)題的反面，先假設(shè)命題結(jié)論的反面成立，再根據(jù)假設(shè)的反面結(jié)論和題設(shè)條件進(jìn)行縝密的推理論證，推導(dǎo)出與已知條件、定理、公理等相矛盾的結(jié)果，得出假設(shè)不成立，最后判定原命題為真命題.那么，什么情況下適合運(yùn)用反證法解題呢？下面介紹幾種宜用反證法解題的命題形式.

一、唯一型命題

唯一型命題是指所要求證的結(jié)論中含有“唯一”“只有一個(gè)”等字眼的命題.由于唯一就是“獨(dú)一無(wú)二”，解題時(shí)一般不好直接論證，常常需借助反證法來(lái)予以證明.此類問(wèn)題中結(jié)論的反面是“不是唯一的”“至少有兩個(gè)不同的”，由此推出矛盾，來(lái)否定不唯一，從而肯定唯一.

例1

分析

證明

評(píng)注：在利用反證法解題時(shí)，同學(xué)們特別要注意反面假設(shè)的正確性，否則會(huì)使整個(gè)反證過(guò)程出錯(cuò).對(duì)于唯一性命題而言，“唯一”，即“有且只有一個(gè)”，其假設(shè)的反面為“不止一個(gè)”，也就是“至少有兩個(gè)”.

二、否定型命題

否定型命題是指命題的結(jié)論以“無(wú)”“沒(méi)有”“不是”“不能”“不等于”“不存在”等否定形式出現(xiàn).因?yàn)槲覀兯莆盏慕^大部分概念、公理、定理、法則、公式等都是肯定性的斷言，所以直接證明較難，故采用反證法可把否定性的斷言轉(zhuǎn)化為某種肯定性的斷言，從而找到推理的途徑.

例2

分析

證明

評(píng)注：對(duì)于否定型命題而言，它的反面往往為肯定性判斷，運(yùn)用肯定性的斷言去推理一個(gè)命題要比運(yùn)用否定性的斷言去推證一個(gè)命題更直觀、容易.

三、至少（多）型命題

至少（多）型命題的結(jié)論中經(jīng)常出現(xiàn)“至少”“至多”“最少”“最多”等這樣的詞語(yǔ)，由于結(jié)論涉及的對(duì)象往往不止一個(gè)，我們能找到直接論證的理論依據(jù)很少，故常用反證法.通過(guò)添加否定結(jié)論這個(gè)新的假設(shè)，就可以推出更多的結(jié)論，從而使命題容易獲證.

例3若a1a2=2（b1+b2），試證明：方程x2+a1x+a2=0與x2+b1x+b2=0至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根.

分析：題目中出現(xiàn)“至少”的字眼，因此可以借助“反證法”進(jìn)行求證.

證明：

例4試證明：任給m，n，p三個(gè)實(shí)數(shù)，則下列三個(gè)不等式中至多有兩個(gè)不等式同時(shí)成立：|m|<|n-p|，|n|<|p-m|，|p|<|m-n|.

分析：題目中出現(xiàn)“至多”一詞，因此可以利用反證法予以證明.

證明：根據(jù)實(shí)數(shù)的性質(zhì)，不妨設(shè)實(shí)數(shù)m，n，p在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的三點(diǎn)如圖2中M、N、P所示：

評(píng)注：若題目中的結(jié)論詞是“至少有一個(gè)”，則反設(shè)結(jié)論詞為“一個(gè)也沒(méi)有”；結(jié)論詞是“至少有n個(gè)”，則反設(shè)結(jié)論詞為“至多有（n-1）個(gè)”；結(jié)論詞是“至多有一個(gè)”，則反設(shè)結(jié)論詞為“至少有兩個(gè)”；結(jié)論詞是“至多有n個(gè)”，則反設(shè)結(jié)論詞為“至少有（n+1）個(gè)”.

總之，對(duì)于某些數(shù)學(xué)命題，若直接證明行不通，同學(xué)們要注意以退為進(jìn)，逆向思考，巧用反證法，從而出奇制勝.