“四美”：數(shù)學實驗教學目標達成的支持系統(tǒng)*

孫朝仁

(江蘇省蘇州市教育科學研究院 215004)

朱桂鳳

(江蘇省連云港市鳳凰學校 222006)

數(shù)學實驗作為數(shù)學課程實施的一種有效方式，具有強烈的“各美其美”的美育知性特征，為“生活—數(shù)學”“活動—思考”范疇審美目標的實現(xiàn)起到支撐性作用．在美學辯證形態(tài)下，任何事物總是由“正題—反題—合題”[1]成分組成的，其中，正題是美的基值，反題是美的變異，合題是美的派生．數(shù)學實驗體現(xiàn)無限傾向性美育特征，在“正、反、合”思考行為的監(jiān)控調(diào)節(jié)下，成就了美的一般觀念，即以思考為美，最終統(tǒng)一到“變”，達到“無限的審美傾向”．數(shù)學思考是最樸素的美的行為，基本經(jīng)驗是美的集成行為，而“探—索”作為過程目標的承擔“腳本”[2]則是美的執(zhí)行對象，基于這樣的屬性意義，可以確認，“數(shù)學思考”中所反映出來的美的一般觀念就是數(shù)學實驗課程的“位格”[3]目標(“位格”是指一個智慧生命的存在顯現(xiàn)，也可以稱之為“生命中心”，這里借指數(shù)學實驗的“中心目標”或者說是最核心目標)．

《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》(下稱《課標2011》)基于“數(shù)學思考”這一目標的四個層面，突出數(shù)學實驗美的自然狀態(tài)：一是數(shù)學抽象和數(shù)學運算；二是數(shù)據(jù)分析；三是數(shù)學推理；四是基本思想和思維方式．其中，“基本思想”替代數(shù)學建模，“思維方式”替代直觀想象．這樣，在美的一般觀念作用下，初中段數(shù)學教育素養(yǎng)目標與高中數(shù)學課程標準修訂組提出的6種核心素養(yǎng)成分[4]具有內(nèi)部關系的一致性．為此，研究正題美、反題美、合題美以及變題美等美的一般觀念，正是體現(xiàn)和反映有素養(yǎng)數(shù)學實驗教學的現(xiàn)實意義和前瞻影響．

東方美的本質(zhì)是圍繞生命的體驗與探索展開的．數(shù)學實驗美的一般觀念，就是在審美知覺的支配下，通過“做”的正題美，顯化經(jīng)驗目標的層次屬性；通過“思”的反題美，投射思維目標的高階屬性；通過“用”的合題美，反射方法目標的系統(tǒng)屬性；通過“元認知”的變題美，外化素養(yǎng)目標的本質(zhì)屬性，終于數(shù)學實驗美的一般觀念的定性把握．

數(shù)學求真，美學求善，數(shù)學實驗與美相遇，則求有素養(yǎng)“教—學”目標的圓滿實現(xiàn)．

1 正題美：實現(xiàn)數(shù)學實驗教學的經(jīng)驗目標

中國傳統(tǒng)哲學認為“里仁為美”，現(xiàn)代教學論有“思考為美”“美益求美”的論點．《課標2011》從“數(shù)學思考”的審美動機出發(fā)，反映過程目標動詞“探—索”的常識意義，即獨立或與他人合作參與特定的數(shù)學活動，理解或提出問題，尋求解決問題的思路，發(fā)現(xiàn)對象的特征及其與相關對象的區(qū)別和聯(lián)系，獲得一定的理性認識．這里的“理性認識”是一種大美，而美是感性經(jīng)驗的緩存狀態(tài)，因此“正題美”的價值直指經(jīng)驗目標的元目標屬性，數(shù)學實驗的實施是經(jīng)驗目標得以實現(xiàn)的“思考事件”的審美共識．數(shù)學實驗具有美的無限傾向性選擇特征，實驗主題的確定、實驗目標的確認、實驗方法的確立以及實驗內(nèi)容的選擇和組織等，都充滿美的直覺思考行為，使得數(shù)學實驗教學具有正題美的一般意義．

進行數(shù)學創(chuàng)造的最主要驅(qū)動力是對美的思考追求．羅素，這位抽象數(shù)學思想大師曾直言不諱地說，“提出問題”是有創(chuàng)造認知思考的開始，是正題美的直接思考的結(jié)果狀態(tài)．在美的一般觀念范疇，數(shù)學審美創(chuàng)造的基本途徑是“還原—建?！保瓦@一意義來說，還原事物的本來概貌是數(shù)學實驗“做與思”的必然產(chǎn)物．數(shù)學建模是提出問題的先決審美條件，因此，數(shù)學實驗經(jīng)驗目標的達成狀態(tài)就是正題美的直觀對象．為此，美學表達形態(tài)的數(shù)學實驗，必須在先行組織行為范疇做好三個層面的審美工作：一是實驗主題“有趣”，引發(fā)做數(shù)學的驅(qū)動力；二是實驗內(nèi)容“向美”，引發(fā)數(shù)學建模的情感沖動；三是實驗目標“悟道”，知其數(shù)學本源的所以然．

數(shù)學實驗研究組為提升學生對“二元一次方程組”的建模能力和直觀審美想象能力，開發(fā)了主題為“測量硬幣的厚度和質(zhì)量”的數(shù)學實驗，意在突出正題美的經(jīng)驗析取目標，落實數(shù)學實驗教育的審美意義．該實驗的審美目標確立為：通過測量硬幣的厚度與質(zhì)量，體會二元一次方程組是解決實際問題的一般通用數(shù)學模型．實驗審美線索是：首先，讓學生用尺子和天秤測量出分別疊放在一起的10枚5角硬幣和10枚1元硬幣的厚度和質(zhì)量，讓學生分別說出1枚5角硬幣和1枚1元硬幣的厚度和質(zhì)量；其次，讓學生將一把5角和1元硬幣混合在一起疊起來，用尺量出它的厚度．由此設問：能否知道分別有多少枚5角硬幣和1元硬幣?為什么?再次，讓學生用天秤稱出這把硬幣的質(zhì)量，利用二元一次方程組算出5角硬幣和1元硬幣的數(shù)量．最后，讓學生合作提出類似問題，利用二元一次方程組加以解決，并對結(jié)論作出合理的解釋．

美如同情感經(jīng)驗一樣，也是一種心理感受．希臘人將美看作是秩序、一致、完整和明晰[5]．上述范例中的“尺子量”“天秤稱”就是數(shù)學情感經(jīng)驗得以領悟的表現(xiàn)，后續(xù)的“方程建模—應用解釋”則是秩序?qū)徝?、完整認知的通用技術．就這一層面來說，任何數(shù)學實驗開發(fā)的初衷都是美的念頭得以產(chǎn)生，反映數(shù)學實驗美的一般價值．如果說，測量硬幣本身就是正題美的知覺表現(xiàn)，那么“二元一次方程的整數(shù)解”與“二元一次方程組的解”的關系建立是經(jīng)驗目標得以實現(xiàn)的集大成者，而提出類似問題的擬經(jīng)驗行為則是正題美的集中表現(xiàn)，投射了“有趣—向美—悟道”現(xiàn)象背后的數(shù)學建模力量，落實人人獲得審美形態(tài)的數(shù)學思考目標．

任何事物的發(fā)展都會走向其對立面，數(shù)學實驗美的一般觀念亦不例外．由于正題美的感性局限性，還需要反題美的一般理性，才能讓數(shù)學實驗目標的位格屬性得以充分顯化．

2 反題美：實現(xiàn)數(shù)學實驗教學的思維目標

按照康德的美的一般思考觀點[6]，實踐理性按照自身的要求而對現(xiàn)實世界施加影響，使經(jīng)驗世界最大限度合乎實踐理性的要求．在數(shù)學實驗美學范疇，反題美本身就是理性認知精神的本質(zhì)外化和對思維抽象的抽象，基于這一意義理解，反題美的基本任務就是將數(shù)學實驗過程中美的現(xiàn)象或美的規(guī)律，疊合成美的數(shù)學本質(zhì)，體現(xiàn)數(shù)學智慧．當然，數(shù)學本質(zhì)的揭示需要高階思維(如分析、綜合、評價等)的支配，需要數(shù)學思考的參與，方能在美的觀念作用下成就美的智慧的生長和思維目標的達成．《課標2011》在“數(shù)學思考”目標范疇提出數(shù)學理性層次目標是建立數(shù)感、符號意識和空間觀念，初步形成幾何直觀和運算能力，發(fā)展形象思維與抽象思維．這些帶有強烈素養(yǎng)成分的教學目標，使得數(shù)學實驗具有無限嚴肅的反題美，“形象思維”是美的初始狀態(tài)，“抽象思維”是美的一般觀念，為此才有“冰冷美麗”背后的“火熱思考”美的一般價值．

數(shù)學反題美給人的一般感受是具有“突發(fā)性”特征，一般來自潛心思考后的頓悟．在數(shù)學實驗美學心理范疇，人類的心緒在從感覺過渡到思維的過程中，需要經(jīng)歷一個中間的審美狀態(tài)，方能能動地思考．日常教學中的“親其師，信其道”以及“求知欲”“悱憤狀態(tài)”都是審美支配下的理性思維發(fā)生的一般條件．事實上，認識美本身就是一種能體現(xiàn)人的自由自覺的創(chuàng)造活動，而創(chuàng)造活動必須借助一定的理性思維成分才能實現(xiàn)．為此，在反題美的一般觀念下，數(shù)學實驗教學必須遵循三個基本原則，方能實現(xiàn)美的一般觀念下的思維目標，即數(shù)學抽象和數(shù)學運算分析．一是經(jīng)歷數(shù)學抽象，讓學生知其然，并知其所以然；二是實施問題“反應塊”影響，讓學生在“做”中思考，在思考中實踐理性層級上升；三是建立概念關系，讓學生在順應行為中提升抽象思維的內(nèi)在品質(zhì)，終于無意識思維的自覺選擇作用，體現(xiàn)“學會思考”創(chuàng)新意識美的一般作用．

數(shù)學實驗研究組研發(fā)了主題為“平面圖形的密鋪”這一數(shù)學實驗，其主要內(nèi)容是，用形狀相同或不同的多邊形進行拼接，彼此之間既無空隙、又不重疊地鋪成一片．這樣設計意在突出反題美“思維目標”的理性特征，落實“數(shù)學抽象”這一核心素養(yǎng)目標的培養(yǎng)功能．反題美思維目標線索：首先，是簡單密鋪．兩人一組，按要求進行平面圖形的密鋪，并將個性作品在組內(nèi)交流．要求學生：(1)用銳角三角形紙片進行平面圖形的密鋪；(2)用四邊形紙片進行平面圖形的密鋪．通過上述平面圖形的密鋪，你有什么發(fā)現(xiàn)？其次，是組合密鋪．在等邊三角形、正方形、正六邊形、正八邊形中任選兩種紙片若干張，進行平面圖形的密鋪，展示拼得的作品，與同學交流拼圖心得．最后，是創(chuàng)意繪本．讓學生分別選取大小相同、形狀一樣的各種紙片若干張，進行平面圖形的密鋪且說明合理鋪設的機理，并將作品進行展示與交流．

上述范例中，“簡單密鋪→組合密鋪→創(chuàng)意繪本”是反題美的執(zhí)行創(chuàng)造行為，有效地落實了“數(shù)學抽象”這一重要思維目標．在這里，應該說“思考—鋪設—思考”是問題反應塊傳遞思維力量的審美途徑，“展示—交流—說明”的過程是概念關系得以有序建立的過程，尤其是“二元一次方程整數(shù)解”(比如，用邊長一樣的正方形和正三角形進行密鋪，求需要不同地磚的塊數(shù)，可以用90x+60y=360的整數(shù)解表達)得以直觀顯化的過程，是數(shù)學抽象和數(shù)學運算目標得以同時實現(xiàn)的上位表現(xiàn)．可以說，這樣的數(shù)學教學過程就是反題美的情感升華的過程，體現(xiàn)了“學會思考”的審美力量．

3 合題美：實現(xiàn)數(shù)學實驗教學的方法目標

“天人合一”是東方哲學的悠然境界，是數(shù)學家追求“通體相關”數(shù)學合題美的情結(jié)．“合一”取哲學層面的“對立統(tǒng)一的‘統(tǒng)一’”意義，有“天地與我并生，萬物與我為一”的全息價值取向．在數(shù)學實驗范疇，合題美本身就是新生事物或新的數(shù)學方法體系得以產(chǎn)生的觀念性標志，是對正題美的操作范式的繼承與否定，又是對反題美的行為產(chǎn)生式的揚棄與升華，在重組、改造和組合美的一般思想方法結(jié)構(gòu)或擴充其內(nèi)涵的思想基礎上，形成能統(tǒng)一更多認識的、最完善的新的數(shù)學思想理論框架或更一般的概念常識，終于數(shù)學實驗教學論的更新、突破與超越(這里特指數(shù)學實驗教學價值取向的變化、數(shù)學實驗觀念的形成)，然后站在美的一般觀念上進行自然的、自由的、自覺的數(shù)學實驗教學及其本源性思考，即常態(tài)數(shù)學實驗教學法的定位．

當然，數(shù)學的美[7]表現(xiàn)在許多方面，但特別表現(xiàn)在數(shù)學的思想與精神上．研究者把這里的“思想”作為“數(shù)學思考”的替代概念，而把“精神”當做形而上的“方法目標”及其子概念數(shù)學推理．數(shù)學推理不止于一般的數(shù)學核心素養(yǎng)成分，更在于進行理性思考之后呈現(xiàn)的精神美．《課標2011》在“數(shù)學思考”目標范疇要求在參與觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐等數(shù)學活動中，發(fā)展合情推理和演繹推理能力，能清晰地表達自己的想法．在數(shù)學實驗合題美范疇，研究者認證合情推理是“本源美”，演繹推理是“流動美”，“源與流”的統(tǒng)一就是數(shù)學實驗美的一般范式．事實上，把析取的數(shù)學概念與認識常識組織起來，使其成為高度有序的合題系統(tǒng)，在思考中尋求概念與方法的一致性，最終形成不同類型不同層次的數(shù)學思想方法，就是合題美追求的終極方法目標．為此，在合題美視域下，數(shù)學實驗教學要做好三個方面的工作：一是問題的工具性思考；二是問題的概念性思考；三是問題的關系性思考．

數(shù)學實驗研究組設計了“展開與折疊”這一多元性實驗，突出了合題美的方法目標秩序特征，很好地落實了數(shù)學的“派生”(基本套路或道生無限、舉一反三等)功能．合題美的具體執(zhí)行流程：(給每組準備的工具箱里有圓柱、圓錐、正方體、剪刀)首先讓學生先猜測圓柱、圓錐的側(cè)面展開圖是怎樣的平面圖形，然后通過隨意剪圓柱、圓錐模型的側(cè)面，并說明側(cè)面展開圖與該幾何體有怎樣的關系．其次是讓學生任意剪正方體，并把不同的展開圖張貼在展板上，說說需要剪掉幾條棱？為什么？(正方體一共12條棱，在展開圖上，有5條棱還連著，12-5=7，所以剪了7條棱；數(shù)展開圖外圍棱的條數(shù)，一共14條棱，剪之前是兩兩相連，所以14÷2=7，剪了7條棱；通過剪的時候數(shù)剪的棱的條數(shù)得出是7條棱．)最后是讓學生任意畫出一個正方體的表面展開圖，然后讓同桌沿正方體合適的側(cè)棱動手剪出該平面圖形．

理性主義美學家笛卡爾從合題美的一般觀念出發(fā)，確證哪里有理性的使用，哪里有人，哪里才有高貴，哪里才有美．這里的“猜→剪→畫→剪”本身就是合題美釋放數(shù)學工具力量的一般表現(xiàn)，落實人因理性美的能力而高貴的方法意義，其中剪掉條數(shù)的研判過程是數(shù)學推理的基層形式，反映方法目標與數(shù)學思考內(nèi)在關系的一致性．而“層次性‘剪’”的行為可以看作是問題的工具性思考的實踐行為，“幾何體—平面展開圖—剪掉棱數(shù)”關系的探討過程是問題概念性思考的內(nèi)部表現(xiàn)形式，“任意畫—條件性剪”是問題關系性思考的一個典型操作范式，反映數(shù)學實驗理性自由美的高度統(tǒng)一性和合題美的方法目標屬性．

4 變題美：實現(xiàn)數(shù)學實驗教學的素養(yǎng)目標

變題美起于美的思想派生屬性，終于數(shù)學實驗的精神美、思想美和方法美的高度統(tǒng)一．數(shù)學美的思想屬性，追求常識是美；數(shù)學美的方法屬性，強調(diào)變量是美．這些各美其美的理念要求數(shù)學實驗教學從“有限的認知傾向”轉(zhuǎn)向“無限的審美傾向”．從心理認知角度看，數(shù)學實驗教學要實現(xiàn)情感、態(tài)度、素養(yǎng)等變題美的目標，就要加強學生對數(shù)學美的具身體驗和緩存感受，遵循變題美的心理感受規(guī)律(認識的變遷、素養(yǎng)的升華、價值觀的正向變化)．進而形成數(shù)學實驗是一種樸素美的觀念，實驗素養(yǎng)目標是美的一般觀念的內(nèi)化狀態(tài)．“做數(shù)學有趣”“數(shù)學實驗有意義”“實驗變量的思考是美的”，這些變題美的自由認識，反映了數(shù)學實驗教學美的微言大義，絕不是一個“玩”字能涵蓋的，而是思想方法美的集大成行為．

如果說，數(shù)學思考是變題美的初始狀態(tài)，那么，思維方式的轉(zhuǎn)化就是變題美的遷移狀態(tài)，應用數(shù)學觀念則是數(shù)學美能力系統(tǒng)得以形成的標志(注：初中段應用數(shù)學觀主要傳遞數(shù)據(jù)分析觀念的信息流)．《課標2011》在“數(shù)學思考”目標范疇要求體會統(tǒng)計方法的意義，發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念，感受隨機現(xiàn)象．這里的數(shù)據(jù)分析觀念是學科教育的頂層屬性目標，是數(shù)學素養(yǎng)教育的終極追求，也就是學即為用的目標追求，反映數(shù)學課程教育的基本走向——給學生留下“可帶走”的東西．在某種意義上說，處理和使用數(shù)據(jù)的能力，決定著人們“變換角度”看問題這一變題審美的函數(shù)水平，尤其在大數(shù)據(jù)說話、做事、證實時代，形成數(shù)據(jù)分析的一般觀念標志著美的一般觀念的產(chǎn)生式形成．這種“使用主義”審美傾向與“應用意識-創(chuàng)新意識”核心素養(yǎng)的內(nèi)部規(guī)定呈顯著正相關．正是基于這一意義，數(shù)學實驗在變題美的視域下，必須遵循三個審美原則．一是先行組織材料無限貼近學生的審美心理秩序；二是問題監(jiān)控塊帶有可變式的層次屬性，讓不同人都有審美沖動的認知契機；三是數(shù)學思考發(fā)生在知識理解、知識遷移和知識創(chuàng)新三級水平，實現(xiàn)人人獲得良好“使-用”數(shù)學教育的高階目標．

實驗研究組開發(fā)了帶有強烈素養(yǎng)目標指向的“估測”實驗，目的就是在變題美的支配下，發(fā)展數(shù)據(jù)處理和使用能力，實現(xiàn)數(shù)學實驗層級素養(yǎng)的變遷功能．具體執(zhí)行秩序簡概如下：首先是讓學生估測身高．估計自己班級數(shù)學老師的身高，并將全班同學的估計值繪制成統(tǒng)計表，分別計算出估計值的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)．再測出數(shù)學老師的實際身高，與你自己的估計值相比較，發(fā)現(xiàn)了什么？其次是讓學生估測體重．以小組為單位，目測每位同學的體型，分為偏胖型、標準型、偏瘦型三類．測量計算：分別測量并記錄小組內(nèi)每位同學的身高(m)、體重(kg)，并分別計算體重與身高平方的比值，填入表格(表略)，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)對不同體型學生的體重與身高平方的比值作出估計(可以用比值的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)作出估計；也可以用每一類型學生“體重的和÷身高平方和”作出估計)，你有何發(fā)現(xiàn)？與同伴交流并實測驗證．最后是讓學生編制“類同”的實驗，并進行數(shù)據(jù)收集、處理和使用活動，交流這一審美活動感受．

數(shù)學實驗要求一體性，審美傾向要求多樣性．時代的人即主客體的復合體的人，則始終表現(xiàn)出變換的多樣性．在數(shù)學實驗變題美范疇，變題美是變換的集合名詞，涵蓋變式、變量以及變異等可再生意義，是數(shù)學實驗的最高境界．數(shù)學實驗的間接目的是“內(nèi)化于心，外化于行”；直接目的就是培養(yǎng)人的審美能力，落實創(chuàng)新教育時代主題的責任目標．就實驗審美傾向論來說，估測本身就是一種變題美的思維現(xiàn)象，突出數(shù)據(jù)分析觀念的使用意義，是一種很好的引發(fā)多樣審美的心理組織材料，突出數(shù)學實驗的“初心”．“估測身高—估測體型—編制變題”是監(jiān)控反應塊釋放力量的就緒狀態(tài)，實現(xiàn)了素養(yǎng)層級的微觀美的一般目標；“處理數(shù)據(jù)—使用數(shù)據(jù)—證實數(shù)據(jù)”是數(shù)學思考的集中反映，投射了數(shù)學實驗審美理想的期待狀態(tài)，為實驗添加了社會屬性，在一定層面實現(xiàn)了“立德樹人”的審美教育目標．

數(shù)學實驗美的一般觀念，起于微觀思考目標狀態(tài)，終于宏觀審美位格素養(yǎng)．通過數(shù)學實驗，讓正題審美獲得感性內(nèi)容，使人的秉性轉(zhuǎn)化為反題的現(xiàn)實力；同時，讓合題感性內(nèi)容獲得理性審美支持力，進而使得千變?nèi)f化的現(xiàn)象顯示出高度的一體性，即變題美的無限傾向力，終于數(shù)學實驗美的一般心理特征產(chǎn)生式形成．