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    格拉頓-吉尼斯的HPM思想*

    2022-12-04 20:34:23徐伯華
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年7期
    關(guān)鍵詞:吉尼斯格拉數(shù)學(xué)史

    徐伯華

    (南通大學(xué)教育科學(xué)學(xué)院 226019)

    朱鳳琴

    (南京信息工程大學(xué)無錫學(xué)院數(shù)理學(xué)院 214105)

    艾弗·格拉頓-吉尼斯(Ivor Grattan-Guinness,1941—2014),英國米德爾塞克斯(Middlesex)大學(xué)數(shù)學(xué)史教授,一生致力于數(shù)學(xué)和數(shù)理邏輯的歷史研究,2009年因“終身學(xué)術(shù)成就和貢獻(xiàn)”與R.C.Gupta分享國際數(shù)學(xué)史學(xué)會凱尼斯·梅獎.在四十多年的職業(yè)生涯中,格拉頓-吉尼斯一直重視數(shù)學(xué)史的教育價值,不斷思考數(shù)學(xué)史服務(wù)數(shù)學(xué)教育的問題,形成了獨特的HPM思想.有評論說:他的思想隨著時間的推移而逐漸成熟、逐漸拓展,雖具有一般主題上的統(tǒng)一性,但并不是鐵板一塊[1],主要是理論性的、指導(dǎo)性的[2].由于格拉頓-吉尼斯是一位專業(yè)的數(shù)學(xué)史家,并不專門研究HPM,有關(guān)HPM的論述散見于他的論文、評論、報告中,國內(nèi)還沒有系統(tǒng)的研究.本文運用文獻(xiàn)研究法,以他的四篇文獻(xiàn)[3-6]為主要研究對象,結(jié)合其他文獻(xiàn)和評論,從思想基礎(chǔ)、數(shù)學(xué)史的地位、解讀數(shù)學(xué)史的方式、融入數(shù)學(xué)史的方法四個方面整理、概括他的HPM思想,希望給我國HPM

    [2] 徐超.拋物線概念教學(xué):重構(gòu)數(shù)學(xué)史[J].教育研究與評論(中學(xué)教育教學(xué)),2015(8):26-31.

    [3] 張佳麗.HPM視角下高中圓錐曲線的教學(xué)研究[D].南昌:江西師范大學(xué),2018.

    [4] 陸琳琰.拋物線的發(fā)生教學(xué)研究[D].上海:華東師范大學(xué),2013.

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    [6] Salmon G.A treatise on conic sections[M].Dublin:Hodges & Smith,1850:120-124.

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    [9] Roberts M M,Colpitts J T.Analytic geometry[M].New York:John Wiley & Sons,1918:110-119.

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    [11] Loomis E.Elements of analytical geometry and the differential and integral calculus[M].New York:Harper & Brothers,1851:44-53.

    [12] Phillips H B.Analytic geometry[M].New York:John Wiley & Sons,1915:74-77.

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    [15] Reynolds J B,Weida F.Analytic geometry and the elements of calculus[M].New York:Prentice-Hall,1930:153-159.

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    [17] Loomis E.The elements of analytic geometry[M].New York:Harper & Brothers,1872:84-102.

    [18] Smith P F,Gale A S.The elements of analytic geometry[M].Boston:Ginn & Company,1904:173-178.

    [19] Hamilton H P.The principles of analytical geometry[M].Cambridge:J.Deighton & Sons,1826:142-143.

    [20] Robinson H N.Conic sections and analytical geometry[M].New York:Ivison,Blakeman & Company,1860:50.

    的理論和實踐帶來啟發(fā)和幫助.

    1 思想基礎(chǔ):數(shù)學(xué)知識并非憑空產(chǎn)生

    格拉頓-吉尼斯之所以從事數(shù)學(xué)史研究,緣自他對數(shù)學(xué)教育的不滿.早在20世紀(jì)60年代,他就感到數(shù)學(xué)教學(xué)多是按照整理好了的、嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論進(jìn)行的,很少討論問題的核心動機(jī),甚至不討論相關(guān)的歷史發(fā)展與人的作用.四十多年后,他仍然說:“我的研究動機(jī)完全來自于對數(shù)學(xué)教育的消極反應(yīng)……展現(xiàn)在我面前的是一系列令人贊嘆的數(shù)學(xué)理論,但是為什么首先要研究這些理論?為什么教授方式差強(qiáng)人意?它們從哪里來的?沒有人能在某個周四的下午坐下來,像教給我們的那樣發(fā)明群論.”[7]

    這種不滿促使他思考數(shù)學(xué)的來源,思考數(shù)學(xué)史對數(shù)學(xué)教育的價值.他意識到,這些問題本身不是數(shù)學(xué)問題,而是數(shù)學(xué)哲學(xué)問題.于是,他向大名鼎鼎的波普爾(Karl Popper)求教,選修了碩士課程,攻讀了博士學(xué)位,分別于1969年、1978年獲得倫敦大學(xué)數(shù)學(xué)史哲學(xué)博士學(xué)位和科學(xué)史與科學(xué)哲學(xué)理學(xué)博士學(xué)位,從此走上數(shù)學(xué)史與邏輯史的研究道路.波普爾的科學(xué)觀對格拉頓-吉尼斯影響很大,在梅獎發(fā)言中他還特別提到了以下幾點:生命是一個問題解決的過程;科學(xué)總是處于猜想、驗證、理論化的過程中;知識的生長比知識本身更重要;知識的基礎(chǔ)是挖掘出來的,而不是建立其上的;認(rèn)識不僅包括知的根源,還包括不知的根源;未來是開放的,既是主觀的又是客觀的.[7]

    格拉頓-吉尼斯認(rèn)為,數(shù)學(xué)知識不是憑空產(chǎn)生的,一個知識生長出另一個知識,有復(fù)雜而深刻的路徑.對一個現(xiàn)代形式的數(shù)學(xué)知識,如果不了解它的發(fā)生動機(jī)、不了解它的發(fā)展過程,就不可能深刻地理解它.例如,作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的“集合”,看似簡單,但要很好地理解它,絕非易事.康托既不是唯一、也不是首先研究集合的數(shù)學(xué)家,他的研究起源于黎曼的三角幾何級數(shù).在考察非收斂的“點集”與特殊級數(shù)間的關(guān)系時,他得出了兩類非收斂點,由此定義了集合的類型,證明了連續(xù)統(tǒng)無限大于可數(shù)集,給出了超限算術(shù)的序數(shù)列,這是康托研究無限集的序、定義集合的勢的真正起點.為了把有限算術(shù)和超限算術(shù)建立在一般的集合概念上,康托提出了樸素的集合定義,從而擺脫了序,建立了基數(shù)算術(shù),并逐步使集合論成為測度論、分析學(xué)以及數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究的有力工具.現(xiàn)在的教材只呈現(xiàn)加工好的、簡化的集合理論,雖然讓人容易接受,卻不能讓人領(lǐng)悟到它的優(yōu)越性.

    同樣地,對一個現(xiàn)代形式的數(shù)學(xué)知識,如果沒有相應(yīng)的方法論支持,我們也不可能深刻地理解它.例如,很多人認(rèn)為數(shù)學(xué)知識總是正確的,數(shù)學(xué)有可靠的基礎(chǔ),人們信任數(shù)學(xué),就像信任歐幾里得幾何一樣,這被稱為歐幾里得主義.隨著現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展,數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)不在于定義是不是正確,而在于基本要素的一般性和簡單性,數(shù)學(xué)重視的不再是不變的事實,而是不變的結(jié)構(gòu),人們對數(shù)學(xué)的可靠性、嚴(yán)謹(jǐn)性的認(rèn)識發(fā)生了改變,這被稱為新歐幾里得主義.歐幾里得主義、新歐幾里得主義都不是數(shù)學(xué)知識本身,而是數(shù)學(xué)的方法論.方法論在數(shù)學(xué)體系中很重要,它決定著我們?nèi)绾卫斫鈹?shù)學(xué).例如,可誤主義主張數(shù)學(xué)知識是在嘗試中被接受的,其標(biāo)準(zhǔn)是能否成功地解決問題,除非一個技術(shù)性知識需要一個基礎(chǔ),否則就不存在基礎(chǔ)知識.在這種觀念下,數(shù)學(xué)知識就沿著技術(shù)和基礎(chǔ)兩個方向生長起來,表現(xiàn)出不同的層次和深度.要想很好地理解一個數(shù)學(xué)知識,就要熟悉它的基礎(chǔ)性知識、技術(shù)性知識、方法論知識、認(rèn)識論知識,這絕不是知識本身所顯現(xiàn)的那么簡單.

    生長的觀點、歷史的觀點能讓我們看到數(shù)學(xué)知識的豐富性,從而更加深刻、更加準(zhǔn)確地理解它.如果刻意簡化數(shù)學(xué),不僅會使知識膚淺化,還會讓人難以理解,給人留下一個壞印象:數(shù)學(xué)就是用不平常的方式觀察平常的事情.格拉頓-吉尼斯喜歡用“演進(jìn)”(Convolution)解釋數(shù)學(xué)的發(fā)展,而不是“革命”(Revolution).他認(rèn)為,數(shù)學(xué)的發(fā)展從沒有完全顛覆前期的成果,演進(jìn)包括創(chuàng)新和替代,是一個認(rèn)可、接受、拒絕、修正的動態(tài)過程,當(dāng)談到某個數(shù)學(xué)知識時,就不僅包含這個知識本身,還涉及與之相關(guān)的其他知識.例如:

    (1)定義包含更多知識

    數(shù)學(xué)定義并不是簡單的命名方式,它所使用的判斷和概念,要么是不明確的,要么是有定義的,要想很好地理解它,就要弄清楚這些判斷和概念,以及凸顯這些判斷和概念之所以重要的那些語句.一些原創(chuàng)的定義為定理提供了證明,或者是公理的一種形式,其確切的意義只有通過重新解釋定理或公理才能獲得.

    (2)數(shù)學(xué)理論有多個層次

    對一般的數(shù)學(xué)知識來說,理性主義、經(jīng)驗主義是認(rèn)識論知識,實證主義、可誤主義是方法論知識.通常情況下,一般的數(shù)學(xué)知識包含于認(rèn)識論知識之中,認(rèn)識論知識又包含于方法論知識之中.?dāng)?shù)學(xué)理論就是由一般的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)的認(rèn)識論知識、數(shù)學(xué)的方法論知識構(gòu)成的多層次的復(fù)雜體系.

    (3)數(shù)學(xué)有三種表述

    一是認(rèn)識論表述,是由基本原理演繹出的形式系統(tǒng),典型的是公理化系統(tǒng).二是歷史的表述,通過描述不同階段的發(fā)展進(jìn)程,如創(chuàng)造的發(fā)現(xiàn)過程、學(xué)術(shù)的影響過程等,歷史地反映數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)理論.三是啟發(fā)式表述,即從熟悉的情境中激發(fā)動機(jī),獲取實例,然后經(jīng)過猜想、驗證等一系列活動,最終在啟發(fā)和思考中生成理論.認(rèn)識論表述往往基于最新的觀點去解釋、梳理已有的知識.歷史的表述則相反,往往挖掘更深的基礎(chǔ)和背景,解釋知識的由來.而啟發(fā)式表述介于兩者之間,既有認(rèn)識論成分也有歷史成分,在生成理論的同時,也帶來更多的啟發(fā)和思考.

    2 數(shù)學(xué)史的地位:數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的積極角色

    數(shù)學(xué)知識不是憑空產(chǎn)生的,數(shù)學(xué)史在背后支撐著學(xué)生的學(xué)習(xí)和理解.你可以不關(guān)心數(shù)學(xué)史,不喜歡數(shù)學(xué)史,但不可能不受數(shù)學(xué)史的影響.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,數(shù)學(xué)史是一個積極角色.與其討論是否用數(shù)學(xué)史,還不如討論如何自覺地運用數(shù)學(xué)史.?dāng)?shù)學(xué)史的積極角色具體表現(xiàn)為:

    (1)模仿的對象

    從某種意義上說,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)研究的模仿.學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識的早期發(fā)展,模仿數(shù)學(xué)的研究過程,不僅能獲得知識,還能獲得學(xué)習(xí)的途徑和方法.模仿的對象有很多,如目標(biāo)選擇的背景、思路發(fā)現(xiàn)的途徑,甚至曾經(jīng)發(fā)生過的各種錯誤和策略.當(dāng)然,模仿應(yīng)該是啟發(fā)式模仿,不能只是認(rèn)識論模仿,因為認(rèn)識論模仿更多地關(guān)心數(shù)學(xué)的結(jié)果,其價值是有限的.

    (2)體驗的素材

    數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要獲得知識,但更重要的是經(jīng)歷、體驗一些創(chuàng)造性活動.如果學(xué)生面對數(shù)學(xué)史上的一個獨創(chuàng)性問題,從不熟悉的情景開始,重構(gòu)發(fā)明創(chuàng)造的過程,感受觀念的萌生、發(fā)展和衰落,就會切實體會到數(shù)學(xué)的精神、思想和方法,看到數(shù)學(xué)活動中的“人”的真實世界.借鑒數(shù)學(xué)史,給學(xué)生一個真實的問題,雖然有可能增加學(xué)生的困難,但對學(xué)生的學(xué)習(xí)和發(fā)展是有深遠(yuǎn)意義的.

    (3)研究的內(nèi)容

    數(shù)學(xué)大家對數(shù)學(xué)史往往情有獨鐘,他們認(rèn)為如果一個觀點很重要,那么其歷史也就很重要,與之相關(guān)的因素就要仔細(xì)考察,然后才可能推進(jìn)它.?dāng)?shù)學(xué)大家喜歡數(shù)學(xué)史不是被動的,他們知道要想做好數(shù)學(xué),只能從歷史中學(xué)習(xí),沒有別的辦法.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,數(shù)學(xué)史不是可有可無的陳詞濫調(diào),它應(yīng)該成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)在成分,通過研究前人的成就,了解更多的知識,激發(fā)創(chuàng)造的靈感,逐漸作出自己的貢獻(xiàn).

    (4)學(xué)科理解的途徑

    形式化的數(shù)學(xué)有解無問、有答無疑,看不到“人”;編年體的數(shù)學(xué)能指出數(shù)學(xué)家的成就和局限,但常常以此評價后人;而實證主義能說明一個概念為什么重要,但彰顯的是后來的觀點,缺乏靈活性和廣泛性.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,上述方式都是需要的,把它們合在一起,才能體現(xiàn)出“人”的活動和價值.實際上,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容不是那么重要,與之相聯(lián)系的方法論更有價值.方法論可以解決不同的問題,越是自覺地使用它,越會得到更好的發(fā)展.?dāng)?shù)學(xué)史既包含數(shù)學(xué)的知識,又包含數(shù)學(xué)的方法論,既有科學(xué)性,又有人文性,對學(xué)生理解數(shù)學(xué)學(xué)科、感受數(shù)學(xué)文化、提高數(shù)學(xué)素養(yǎng),都是至關(guān)重要的.

    (5)啟發(fā)動機(jī)的資源庫

    在知識和理解之間,數(shù)學(xué)史傾向于理解,通過提供動機(jī)、檢驗知識背后的發(fā)展和相互關(guān)系,幫助學(xué)生樹立問題意識、調(diào)動研究興趣、提高認(rèn)識水平.成功的數(shù)學(xué)教育離不開深刻的、深入的思考動機(jī),數(shù)學(xué)史上的問題、背景、應(yīng)用、影響、不同層次的嚴(yán)謹(jǐn)、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的互動,都是啟發(fā)動機(jī)的資源.甚至曾經(jīng)發(fā)生的各種錯誤也是很好的動機(jī)資源.要知道,數(shù)學(xué)本來就是人類的一項活動,致力于解決有趣的問題,犯錯在所難免,數(shù)學(xué)大家的一個錯誤往往比普通人做出的一百個無懈可擊的小定理,更具有影響力和啟發(fā)性.

    3 解讀數(shù)學(xué)史的方式:歷史與遺產(chǎn)

    對同一個數(shù)學(xué)史料,不同的人可能有不同的解讀.例如,同樣是讀《原本》,史學(xué)家會發(fā)現(xiàn),歐幾里得處理的對象是線而不是長度,是平面區(qū)域而不是面積,而數(shù)學(xué)家則會融入方程的思想,從中讀出幾何代數(shù)來.格拉頓-吉尼斯認(rèn)為,圖形的解讀和方程的解讀都是合理的,沒有對錯之分,但卻彼此不同,前者稱為歷史的解讀方式,后者稱為遺產(chǎn)的解讀方式.

    一般地,如果兩個數(shù)學(xué)對象A,B有聯(lián)系,并且A的出現(xiàn)早于B,就稱A是B的歷史;反之,稱A是B的遺產(chǎn).例如,方程對于歐幾里得來說是遺產(chǎn),對于笛卡爾來說是歷史.

    歷史的解讀方式,關(guān)注數(shù)學(xué)對象在特定時期的發(fā)展,包括它的前史、提出、早期形態(tài)、年表、內(nèi)外影響與應(yīng)用等,主要通過對過去的描述和解釋來回答這樣的問題:過去發(fā)生了什么?過去沒發(fā)生什么?為什么會發(fā)生?為什么沒有發(fā)生?數(shù)學(xué)史家常用歷史的解讀方式,希望在更廣泛的意義上尋找數(shù)學(xué)活動的動機(jī)、根源、成果.

    遺產(chǎn)的解讀方式,關(guān)注數(shù)學(xué)對象對后期或者現(xiàn)在的影響,主要回答的問題是:我們是怎樣來到這里的?給出的答案往往像一條康莊大道,似乎后期的成果早就蘊藏在前期的形態(tài)和觀念之中了.實際上,這是對史料注入后期觀念的結(jié)果.?dāng)?shù)學(xué)家常用遺產(chǎn)的解讀方式,希望從過去的數(shù)學(xué)中獲得現(xiàn)在需要的思想靈感.

    通常情況下,一個數(shù)學(xué)對象既有自己的歷史,也有自己的遺產(chǎn).?dāng)?shù)學(xué)教育在歷史資源和遺產(chǎn)資源的選擇上,應(yīng)該選擇最能發(fā)揮教育效益的資源,而不是偏執(zhí)一端.例如,在代數(shù)教學(xué)中,《原本》中的幾何代數(shù)最能發(fā)揮效益,那就用它的遺產(chǎn)資源,或者說遺產(chǎn)地應(yīng)用它;在幾何教學(xué)中,線和面的幾何最能發(fā)揮效益,那就用它的歷史資源,或者說歷史地應(yīng)用它;而比例理論,既有助于幾何教學(xué),也有助于算術(shù)教學(xué),那就根據(jù)教學(xué)的需要,既可以歷史地應(yīng)用它,也可以遺產(chǎn)地應(yīng)用它.

    格拉頓-吉尼斯對兩種解讀方式作了細(xì)致的區(qū)分.表1列出其中的一部分,這部分區(qū)分對教師解讀具體的數(shù)學(xué)史料和資源選擇可能有直接的幫助.

    表1 歷史方式與遺產(chǎn)方式的區(qū)別

    4 融入數(shù)學(xué)史的方法:“歷史-諷刺”教學(xué)法

    格拉頓-吉尼斯認(rèn)同歷史發(fā)生原理,他說“教育模仿歷史”,這樣的例子比比皆是.例如零、分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)、未知數(shù)、常數(shù)、變量、方程、函數(shù)、極限、向量空間、線性代數(shù)、算術(shù)運算、超限算術(shù)等等.甚至對數(shù)學(xué)符號,也不能只講授普遍使用的那一個,不同的符號有不同的歷史,所有的符號都應(yīng)該適當(dāng)關(guān)注.

    歷史的或者發(fā)生學(xué)的方法,不僅能幫助學(xué)生深入地理解數(shù)學(xué)的動機(jī)、問題、概念及其聯(lián)系,還能幫助教師清楚地表達(dá)、應(yīng)對學(xué)生學(xué)習(xí)的困難,設(shè)計合理的教學(xué)活動.為了更好地發(fā)揮數(shù)學(xué)史的教學(xué)效益,格拉頓-吉尼斯提出以下教學(xué)策略:

    (1)精選數(shù)學(xué)問題,圍繞問題展開教學(xué)

    問題的歷史不一定顯性呈現(xiàn),但必須有足夠的思考寬度,能廣泛聯(lián)系有關(guān)學(xué)科,讓學(xué)生體會到問題的重要性.

    (2)解釋問題及其解答的重要階段

    說明每個階段的發(fā)展貢獻(xiàn)和外部因素,如果有可能,還可以指出該問題發(fā)展到現(xiàn)在的路徑,或者指出現(xiàn)在還沒有解決的有關(guān)問題.

    (3)讓學(xué)生在改造的歷史情境中做出一些新結(jié)論

    教學(xué)不必模仿繁瑣的歷史細(xì)節(jié),可以給學(xué)生提供一定的知識基礎(chǔ)或方法基礎(chǔ),讓學(xué)生自己 尋找更多的細(xì)節(jié)和興趣,或者從歷史發(fā)展的某個中間環(huán)節(jié)開始,讓學(xué)生自己探索解題的途徑和目標(biāo).

    (4)適當(dāng)點撥方法論

    通過方法論的提示和說明,讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)創(chuàng)造的不確定性、知識生長的雙向性、數(shù)學(xué)理論的層次性,感悟數(shù)學(xué)的精神、思想和方法,體驗“人”的活動和價值.

    “歷史-諷刺”法(history-satire),是格拉頓-吉尼斯根據(jù)自己的教學(xué)經(jīng)驗提出的一種獨特的數(shù)學(xué)史融入教學(xué)的方法.在這里,“歷史”指的是數(shù)學(xué)史資源,包括歷史資源和遺產(chǎn)資源;“諷刺”指的是借助數(shù)學(xué)史資源激發(fā)學(xué)生的動機(jī)和思考,突出數(shù)學(xué)的意義,增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解.

    該方法包括兩個基本步驟:一是把歷史文獻(xiàn)翻譯成當(dāng)前的等價形式,便于學(xué)生理解原文、把握數(shù)學(xué)內(nèi)容;二是把當(dāng)前的教學(xué)內(nèi)容嵌入到歷史情境中,讓學(xué)生在重構(gòu)的歷史情境中開展數(shù)學(xué)活動、實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo).可以看出,該方法有明顯的遺產(chǎn)傾向,第二步不可能完全符合歷史的情景和進(jìn)程,也不可能把當(dāng)前教學(xué)的知識完全嵌入到歷史情境中去,這是“歷史-諷刺”法的特殊之處.

    案例柯西閉線積分定理的教學(xué).

    柯西閉線積分定理:具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的單值可微函數(shù)在閉線C上的積分為0.很多學(xué)生對這個定理感覺奇怪,教材上利用柯西-黎曼方程和格林公式給出的快速證明更讓學(xué)生一頭霧水.

    融入數(shù)學(xué)史的教學(xué)思路:實函數(shù)的積分定義早已講過,學(xué)生比較熟悉.本定理的教學(xué)引入上述中間版本,能使學(xué)生在實分析的基礎(chǔ)上更容易地理解該定理,這是一次“歷史-諷刺”;而從中間版本到最后版本,能使學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上超越幾何方式,更深刻地感受到分析的本質(zhì),這又是一次“歷史-諷刺”.在兩次諷刺中,教師還可以放大某些歷史要素的意義,以便增強(qiáng)諷刺的效果.例如,把“幾何的角色”作為一個問題提出來,讓學(xué)生討論,可以使學(xué)生更好地體會圖形在分析中的地位和作用;把“柯西是否假設(shè)了f的導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的”作為一個問題提出來,讓學(xué)生思考,可以使學(xué)生更好地辨析殘數(shù)定理的柯西版本與后來版本的不同.

    “歷史-諷刺”法的優(yōu)點很突出,能夠廣泛地關(guān)注數(shù)學(xué)知識的歷史資源和遺產(chǎn)資源,特別有益于當(dāng)前教學(xué)的歷史要素,既讓歷史服務(wù)于教學(xué),又不讓教學(xué)止步于歷史、局限于歷史.但是,缺點也很明顯,一是諷刺的作用指向數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng),對基礎(chǔ)概念的學(xué)習(xí)或者低年級的學(xué)習(xí)似乎不太合適;二是遺產(chǎn)的傾向容易導(dǎo)致歷史失真,甚至歷史曲解,讓學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)尤其對數(shù)學(xué)研究產(chǎn)生偏見,從而不利于學(xué)生的長遠(yuǎn)發(fā)展.不過,這些缺點并非沒法克服,只要教師善加應(yīng)用,還是能很好地發(fā)揮數(shù)學(xué)史的積極作用的.

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