泊松亮斑演示實(shí)驗(yàn)的數(shù)值研究

張 鑫

(天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué) 理學(xué)院,天津 300222)

泊松亮斑是由于衍射而產(chǎn)生的光學(xué)現(xiàn)象:當(dāng)平行光垂直照射小圓屏?xí)r,接收光屏的中心會(huì)出現(xiàn)一個(gè)小的亮斑。這種與常識(shí)相悖的現(xiàn)象由泊松于1818年根據(jù)菲涅耳子波相干疊加原理推導(dǎo)得出。泊松原本借此反駁光的波動(dòng)說(shuō),但隨后菲涅耳從實(shí)驗(yàn)上證實(shí)了這一亮斑的存在,使之反而成了光具有波動(dòng)性的明證[1]。這一戲劇性的發(fā)現(xiàn),以及違背“常理”的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象,使泊松亮斑在“大學(xué)物理”課程的“波動(dòng)光學(xué)”章節(jié)中,經(jīng)常被用來(lái)說(shuō)明光的衍射。將它作為典型的演示實(shí)驗(yàn)在課堂中展現(xiàn),可使學(xué)生對(duì)光的波動(dòng)性有直觀的認(rèn)識(shí),提高課堂的積極性和參與度,在激發(fā)學(xué)生興趣的同時(shí),也培養(yǎng)了學(xué)生對(duì)科學(xué)真理的探索精神。已有文獻(xiàn)報(bào)道典型波動(dòng)光學(xué)實(shí)驗(yàn)的數(shù)值模擬[2-4],以及泊松亮斑演示教具的制作[5-8]。文獻(xiàn)[8]用激光結(jié)合透鏡擴(kuò)束照射不透光圓屏,在屏幕上獲得泊松亮斑。文獻(xiàn)[4]利用數(shù)值模擬,從半導(dǎo)體微納加工的角度系統(tǒng)討論了圓屏尺寸和距離對(duì)衍射圖樣的影響,圓屏尺寸在微米量級(jí),入射光波長(zhǎng)主要討論了紫外波段。為了更好的課堂演示效果,有必要討論肉眼可見(jiàn)大小的光屏和可見(jiàn)光波段的圓屏衍射。

對(duì)圓屏的衍射圖樣進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算,并分析了實(shí)驗(yàn)各參數(shù)對(duì)泊松亮斑的影響,包括入射光波長(zhǎng)、圓屏尺寸、圓屏與接收屏間距,以及圓屏邊緣的光滑程度對(duì)衍射圖樣的影響。這些理論計(jì)算結(jié)果可以為后續(xù)制作泊松亮斑演示實(shí)驗(yàn)裝置提供理論指導(dǎo)。

1 衍射積分公式及數(shù)值結(jié)果

圓屏衍射裝置如圖1所示。衍射屏上任一點(diǎn)Q在接收屏上的正投影記作Q′,z為衍射屏與接收屏間距離。

圖1 圓屏衍射示意圖

根據(jù)菲涅耳-基爾霍夫衍射積分公式,極坐標(biāo)下接收屏任一點(diǎn)P′處的光場(chǎng)分布為[9]

(1)

其中,λ為入射光波長(zhǎng);k=2π/λ,E(ρ,φ)為入射光在衍射屏處的光場(chǎng)分布;r為衍射屏上源點(diǎn)Q與接收屏處觀察點(diǎn)P′之間的距離,θ為衍射屏源點(diǎn)Q處的法線(xiàn)與r之間的夾角。(1)式中cosθ和r可在直角三角形QQ′P′中求得,其中的直角邊Q′P′可在三角形O′Q′P′中利用余弦定理得出。本文采用垂直入射的單色平面波,即E(r,j)=1,計(jì)算出的圓屏衍射圖樣如圖2所示。

接收屏半徑7.5 mm,λ=632 nm,R=2.5 mm,z=2 m

其中,入射光波長(zhǎng)為λ=632 nm;圓屏半徑為R=2.5 mm;接收屏距離圓屏z=2 m。由衍射圖樣可以看出,在圓屏的正后方即接收屏的中心位置,出現(xiàn)一個(gè)小亮斑,即泊松亮斑,這是衍射屏處光場(chǎng)各子波發(fā)出的球面波相干疊加的結(jié)果。在圓屏陰影邊緣周?chē)植贾涟迪嚅g的圓環(huán)狀衍射條紋。圖中黃色區(qū)域顯示背底光強(qiáng)為1,這是由于入射光設(shè)置為理想的無(wú)限大平面波(振幅為1),沒(méi)有被圓屏遮擋的部分直接照到了接收屏。

影響泊松亮斑演示效果的有亮斑的強(qiáng)度、亮斑的大小以及亮斑與周?chē)幱皡^(qū)的對(duì)比度,我們分別用參數(shù)I0、D、V來(lái)衡量。其中,I0是用入射光歸一化的中心點(diǎn)光強(qiáng);D是亮斑直徑,即亮斑兩側(cè)光強(qiáng)極小點(diǎn)的間距;V是亮斑對(duì)比度,定義如下:

(2)

其中,I0是中心點(diǎn)光強(qiáng);Im是泊松亮斑周?chē)幱皡^(qū)的光強(qiáng)最小值。這三個(gè)參數(shù)(I0,D,V)均可通過(guò)圓屏衍射圖樣的光強(qiáng)分布求出。例如,在圖2所示的參數(shù)下,I0=1,D=0.5 mm,V=1。

2 各參數(shù)對(duì)泊松亮斑的影響

2.1 入射光波長(zhǎng)

圖3為可見(jiàn)光范圍內(nèi),入射光波長(zhǎng)分別為450 nm、532 nm和632 nm(可分別用氬離子激光器、半導(dǎo)體激光器和氦氖激光器實(shí)現(xiàn))的圓屏衍射圖,圓屏半徑均為2.5 mm,圓屏與接收屏距離均為2 m。由圖可知,這三個(gè)波長(zhǎng)的衍射圖樣區(qū)別不大。定量來(lái)看,它們的中心點(diǎn)光強(qiáng)I0均為1,對(duì)比度V也均為1。紅光波長(zhǎng)更長(zhǎng),衍射效應(yīng)更明顯,光斑直徑D略大于綠光和藍(lán)光(紅光D≈0.5 mm,綠光D≈0.4 mm,藍(lán)光D≈0.35 mm)。設(shè)計(jì)演示實(shí)驗(yàn)時(shí),在上述參數(shù)下,可根據(jù)已有的實(shí)驗(yàn)條件任取一種激光器。

接收屏半徑7.5 mm,R=2.5 mm,z=2 m

2.2 圓屏半徑

改變圓屏的尺寸,得到衍射圖樣,如圖4所示。圖中固定入射光波長(zhǎng)為632 nm,接收屏距圓屏2 m,分別計(jì)算了圓屏半徑依次為0.5 mm,1.5 mm,2.5 mm,3.5 mm,4.5 mm,5 mm的衍射圖樣。顯然,圓屏尺寸越大,陰影區(qū)域越大,而不論圓屏尺寸如何變化,接收屏中央均出現(xiàn)亮斑。與圓孔衍射不同,圓屏衍射圖樣的中心點(diǎn)并不會(huì)出現(xiàn)亮暗交替的變化。根據(jù)半波帶理論,圓屏衍射中央亮斑的合成振幅可用式(3)表示[9]:

(3)

其中,k是圓屏對(duì)接收屏中心遮擋住的半波帶個(gè)數(shù);ak+1是第k+1個(gè)半波帶在中心點(diǎn)產(chǎn)生的振幅。k值可以用式(4)計(jì)算[10]:

(4)

其中,R為圓屏半徑;λ是入射光波長(zhǎng);z是圓屏與接收屏間距。理論上,圓屏尺寸越大,k越大,ak會(huì)隨傾斜因子的增大緩慢減小,中央亮斑的強(qiáng)度會(huì)有所下降。在圖4的參數(shù)下(z=2 m,λ=632 nm,R=0.5 mm～5 mm),根據(jù)公式(4)估算出圓屏遮擋住的半波帶個(gè)數(shù)為0.2～20個(gè)。而ak只和傾斜因子有關(guān)[9],a1與a21的差別很小,可以忽略,因此圖4所示中心點(diǎn)的光強(qiáng)值在不同圓屏半徑下始終為1。經(jīng)估算,當(dāng)k達(dá)到z/λ的量級(jí)(約106)時(shí),ak+1與a1的差別才不可忽略,中心點(diǎn)光強(qiáng)I0開(kāi)始變?nèi)酢６糜诓此闪涟哐菔镜膱A屏半徑R通常為mm量級(jí),對(duì)于理想圓屏,在此范圍內(nèi)改變R不會(huì)影響泊松亮斑的強(qiáng)度。

接收屏半徑7.5 mm,λ=632 nm,z=2 m

圖4顯示,隨著圓屏半徑的增大,亮斑的直徑D減小。這一變化關(guān)系可作如下定性解釋:圓屏邊緣兩點(diǎn)到光斑邊緣的光程差從幾何關(guān)系出發(fā)可用2Rsinθp估算,其中θp是光斑對(duì)圓屏中心所張半角,可用D/2z估算,因光斑邊緣為光強(qiáng)極小值,此光程差還可用D/2估算,可得光斑直徑的估算式為

(5)

可知,光斑直徑D隨R的增大而減小,隨波長(zhǎng)的增大而增大,后者已在2.1節(jié)得到了驗(yàn)證。需要注意的是,此式僅可定性分析光斑直徑D隨各參數(shù)的變化關(guān)系及量級(jí),無(wú)法定量確定光斑大小。

雖然圖4(a)的光斑直徑最大,但周?chē)鈴?qiáng)較強(qiáng),即對(duì)比度較低,不能達(dá)到很好的演示效果。為此,圖5計(jì)算了泊松亮斑的對(duì)比度V隨圓屏半徑R的變化曲線(xiàn)。

R/mm

由圖5可知,隨著圓屏半徑R的減小,衍射效應(yīng)更明顯,屏邊緣的衍射場(chǎng)疊加到陰影區(qū)導(dǎo)致對(duì)比度V下降。當(dāng)z=2m,圓屏半徑R<1 mm時(shí)(即k<0.8)對(duì)比度V開(kāi)始急劇下降,至R=0.5 mm時(shí)已降至V=0.5以下(此時(shí)k=0.2)實(shí)際上,當(dāng)泊松亮斑的尺寸達(dá)到圓屏的幾何尺寸,圓屏后方將沒(méi)有明顯的暗區(qū),即對(duì)比度較小。由(5)式,當(dāng)D與2R相比擬時(shí),k～0.25。因此,要產(chǎn)生對(duì)比度好的泊松亮斑需要k不能顯著地小于1。當(dāng)波長(zhǎng)λ取500 nm,距離z取2 m,由(4)式可得圓屏半徑R須大于1 mm才能觀察到明顯的泊松亮斑。

2.3 圓屏與接收屏間距

考慮演示實(shí)驗(yàn)通常在教室進(jìn)行,我們將接收屏依次放置在距離圓屏0.5 m,2 m和5 m的位置,并固定參數(shù):入射光波長(zhǎng) λ =632 nm,圓屏半徑R=0.5 mm,計(jì)算衍射圖樣,見(jiàn)圖6。

接收屏半徑7.5 mm,λ=632 nm,R=0.5 mm

可見(jiàn),當(dāng)圓屏與接收屏間距增大時(shí),中心點(diǎn)光強(qiáng)I0不變,而光斑直徑D增大。利用公式(4)可計(jì)算在圖6參數(shù)下,各圓屏都沒(méi)有完全遮擋住第一個(gè)半波帶((a)k=0.8,(b)k=0.2,(c)k=0.08),因此I0均為1。而由公式(5)可知光斑直徑隨圓屏與接收屏間距z的增大而增大。當(dāng)間距z=0.5 m時(shí),光斑直徑D=0.5 mm,此時(shí)仍可觀察到亮斑。

另一方面,隨著z的增大,對(duì)比度V卻在下降。圖7計(jì)算了泊松亮斑的對(duì)比度V隨z的變化曲線(xiàn)。

z/m入射光波長(zhǎng)λ=632 nm,圓屏半徑R=0.5 mm

由圖7可知,當(dāng)圓屏半徑R=0.5 mm,z值接近2 m時(shí),對(duì)比度V已降至0.5,對(duì)應(yīng)圖6(b)的衍射圖樣。根據(jù)2.2節(jié)的討論,此時(shí)k=0.2,圓屏與亮斑的尺寸可比擬,衍射圖樣已不利于演示。

2.4 粗糙度

考慮到實(shí)際的圓屏并不是嚴(yán)格的光滑圓屏,在屏邊緣處會(huì)存在一定的粗糙度。本文在圓函數(shù)基礎(chǔ)上疊加正弦函數(shù)模擬粗糙的圓屏,可得圓屏半徑R為

R=R0+r0sin(nφ) ,

(6)

其中,R0為光滑圓屏的半徑;φ為衍射屏上邊緣一點(diǎn)P′的極角;r0定義成粗糙度振幅;n定義成粗糙度頻率。改變粗糙度的振幅r0和頻率n,計(jì)算接收屏中心點(diǎn)處的光強(qiáng),結(jié)果如圖8(a)、(b)所示,

由圖可知,粗糙度的頻率對(duì)中心點(diǎn)處光強(qiáng)沒(méi)有影響,而增大粗糙度的振幅會(huì)使泊松斑的強(qiáng)度減弱。固定粗糙度頻率n=20,改變粗糙度振幅r0,當(dāng)r0=0.07R0時(shí),泊松亮斑強(qiáng)度降為光滑圓屏的0.5倍以下。振幅r0在不同取值下的衍射圖樣見(jiàn)圖8(c)～(e)。當(dāng)振幅r0<0.07R0時(shí),衍射圖樣仍可見(jiàn)明顯的泊松亮斑,見(jiàn)圖8(c);r0>0.07R0時(shí),I0降到0.5以下,泊松亮斑不易觀察,見(jiàn)圖8(e)。

r0/R0(a) n=20

n(b) r0=0.1R0

接收屏半徑2 mm,λ=632 nm,R0=1 mm,z=0.6 m

圖8的結(jié)果也可利用半波帶法定性解釋。起伏的邊緣將衍射屏分成兩部分:完全遮擋區(qū)域(圓屏部分),部分遮擋區(qū)域(圓屏粗糙邊緣部分)。其中部分遮擋區(qū)域構(gòu)成內(nèi)外徑分別為R0-r0和R0+r0的圓環(huán),此圓環(huán)覆蓋的半波帶個(gè)數(shù)k'由公式(4)計(jì)算得出:

(7)

其中,k為半徑為R0的光滑圓屏覆蓋的半波帶個(gè)數(shù)。根據(jù)圖8(e)的參數(shù),當(dāng)振幅r0=0.1R0,R0=1 mm,z=0.6 m時(shí),k′≈1,即部分遮擋區(qū)域覆蓋了第一個(gè)露出的半波帶。將正弦波簡(jiǎn)化成方波,則此半波帶振幅減半,相應(yīng)的矢量疊加圖如圖9所示。

圖9 邊緣半波帶被方波遮擋的矢量疊加圖

由于ak+1減半,導(dǎo)致合振幅由ak+1/2變?yōu)?,對(duì)于正弦波情況較復(fù)雜,合振幅不會(huì)降為0,但變化趨勢(shì)相同,即粗糙度振幅的增大會(huì)導(dǎo)致亮斑光強(qiáng)I0減弱,見(jiàn)圖8(a)。而粗糙度頻率n的變化不會(huì)影響這種振幅減半的效果,因此I0不隨n改變,見(jiàn)圖8(b)。

通過(guò)對(duì)比圖8(c)～(e),可知粗糙度振幅對(duì)亮斑的直徑影響不大,且陰影區(qū)光強(qiáng)極小值均達(dá)到了0,V的計(jì)算值始終為1。所以,當(dāng)圓屏邊緣疊加粗糙起伏時(shí),制約泊松亮斑觀察效果的主導(dǎo)因素是中心點(diǎn)光強(qiáng)I0。設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)時(shí),應(yīng)注意控制圓屏邊緣的粗糙度振幅r0,即要求粗糙區(qū)域不要超過(guò)一個(gè)半波帶,根據(jù)公式(7),可用r0/R0<1/(4k)估算?？梢?jiàn),k越小,對(duì)圓屏光滑程度的要求就越低,當(dāng)k<0.25時(shí),圓屏邊緣的起伏不會(huì)對(duì)亮斑光強(qiáng)造成影響(但此時(shí)對(duì)比度會(huì)變?nèi)?見(jiàn)2.2節(jié))。對(duì)于粗糙的圓屏,要看到泊松亮斑需對(duì)k,從而對(duì)R0提出要求。例如,當(dāng)r0=0.01R0,λ=500 nm,z=2 m時(shí),要求R0<5 mm才能觀察到明顯的泊松亮斑。

3 結(jié) 論

對(duì)圓屏衍射圖樣進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算,并分析了光源波長(zhǎng)λ、圓屏半徑R、圓屏和接收屏間距z以及圓屏粗糙度對(duì)泊松亮斑的影響。計(jì)算結(jié)果顯示,圓屏對(duì)接受屏中心遮蔽的半波帶數(shù)k是影響泊松亮斑的重要參數(shù),k遠(yuǎn)小于1時(shí),亮斑的對(duì)比度過(guò)低,不利于觀察;k過(guò)大時(shí)(>106),亮斑的光強(qiáng)變?nèi)?不利于觀察;k適中時(shí),亮斑的光強(qiáng)(用入射光歸一化)和對(duì)比度都接近1,亮斑大小可粗略用(5)式即R/(2k)估計(jì)其量級(jí)。過(guò)于粗糙的圓屏也不宜于泊松亮斑的實(shí)驗(yàn),當(dāng)屏的邊緣起伏超過(guò)一個(gè)半波帶,即r0/R0>1/(4k)時(shí),不利于觀察泊松亮斑。因此,在k值適中,保證I0=1,V=1的前提下,k越小,亮斑直徑越大,對(duì)圓屏邊緣光滑程度的要求越低,越有利于演示。