從“中西互證”到“破陳發(fā)新”
——晚清數(shù)學(xué)家對不可公度量的認(rèn)識(shí)

曹婧博 潘 鉞

(中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)科技史與科技考古系,合肥 230026)

1 闡理幽元:不可公度量概念背后的哲學(xué)思辨

明萬歷三十五年(1607)由利瑪竇(1552—1610)、徐光啟(1562—1633)合譯的《幾何原本》第五卷界說三的注釋已經(jīng)提到了“不可公度量”概念:

其小合線,為無兩度之線,如直角方形之兩邊與其對角線為小合,即分至萬分以及無數(shù),終無小線可以盡分、能度兩率者是也。此論詳見十卷末題。([1],頁232)

“小合線”即《歐幾里得原本》第十卷所涉“不可公度量”之一種,“無兩度”即“不可公度”最早的漢語表述。

清咸豐八年(1858),在藏書家韓應(yīng)陛(1800—1860)的幫助下,漢譯《幾何原本》后九卷首次出版,“不可公度量”概念正式進(jìn)入中國學(xué)者的視野。

《幾何原本》第十卷核心內(nèi)容承接其第五卷比例論,同時(shí)為之后立體幾何計(jì)算奠定基礎(chǔ)。全卷內(nèi)容約占整部《幾何原本》的四分之一,要點(diǎn)是“不可公度量”與“無比例線”的理論體系與計(jì)算運(yùn)用?！坝械取迸c“無等”、“有比例”與“無比例”,是《幾何原本》第十卷最重要的概念。

此套概念體系是理解古希臘數(shù)學(xué)的難點(diǎn)?！稁缀卧尽窛h譯者李善蘭曾論及第十卷內(nèi)容之艱深:“第十卷闡理幽元,非深思力索不能驟解,西士通之者亦鮮?！?[1],頁148)文藝復(fù)興時(shí)期,歐洲學(xué)者翻譯《歐幾里得原本》時(shí)繼承希臘人對“數(shù)”(αριθμó?)的定義,認(rèn)為“數(shù)”的本原是“單元”(unit),“量”的本原是“點(diǎn)”(point)([2],頁228)。當(dāng)時(shí)大部分學(xué)者認(rèn)為“數(shù)”與“連續(xù)量”(continuous magnitudes)——即算術(shù)與幾何截然不同。“數(shù)”僅代表整數(shù),分?jǐn)?shù)是整數(shù)的比,負(fù)數(shù)和無理數(shù)在西方古典數(shù)系中被懸置[3]。直到16世紀(jì)末荷蘭數(shù)學(xué)家斯蒂文(Simon Stevin,1548—1620)在印度-阿拉伯?dāng)?shù)碼基礎(chǔ)上創(chuàng)制了十進(jìn)制小數(shù),才明確地將“不可公度”概念由“量”推及“數(shù)”[4]。

在中算傳統(tǒng)中,以劉徽為代表的開方思想兼有直觀性與實(shí)用性,以具體問題的解決為核心,以道家的無限思想為基礎(chǔ)[5]。因此晚清中算家能天然接受“不可公度量”所蘊(yùn)含的“無限”,敏銳地捕捉到它與劉徽“以面命之”相似的思想痕跡。然而,因?yàn)椴涣私狻安豢晒攘俊迸c古希臘幾何學(xué)的關(guān)系,他們忽略了“不可公度量”體系在古希臘邏輯學(xué)語境下并非針對任何具體問題,而是試圖構(gòu)建具有一般性的數(shù)學(xué)概念。

2 探索與嘗試:顧觀光對“不可公度量”的特例性解釋

“不可公度量”概念的傳入屬于一次全新的術(shù)語譯介。在中國古代傳統(tǒng)算學(xué)中,對于正方形對角線或圓內(nèi)接多邊形邊長的求解,使用的是以開方術(shù)求近似值的方法,“量”之間的公度問題和“數(shù)”的狀態(tài)不屬于中國古代算學(xué)的討論范圍[6]。李善蘭在翻譯《幾何原本》后即轉(zhuǎn)向素?cái)?shù)研究,于同治十一年(1872)發(fā)表《考數(shù)根法》,是晚清數(shù)學(xué)研究最為重要的成果之一[7];華蘅芳(1833—1902)《開方別術(shù)》也在同年刊刻。顧觀光(1799—1862)《〈幾何原本〉六和六較線解》(簡稱“《六和六較線解》”,圖1)作于咸豐八年,是中國學(xué)者對《幾何原本》第十卷最早的解讀。

圖1 顧觀光《〈幾何原本〉六和六較線解》

全文共一千四百余字,通過“以例題解定義”的方式解釋了《幾何原本》第十卷中“六和六較線”的含義?！傲土^線”即6種“和線”與6種“較線”。漢譯《幾何原本》第十卷第三十七命題前,題有“論六和線”;第七十四命題前,題有“論六較線”;第一百十六題有“從中線起依法遞推,得無數(shù)無比例線,各與前六和六較線皆不同類”([1],頁358、383、413)?！丁磶缀卧尽盗土^線解》之題即從此而來。

顧觀光治西學(xué)有自己的一套學(xué)術(shù)主張,他從中國古代算學(xué)和經(jīng)學(xué)兩大傳統(tǒng)出發(fā),力主“中西之法可互相證,而不可互相廢”[8],《六和六較線解》是其學(xué)術(shù)主張的實(shí)踐?！读土^線解》利用構(gòu)造數(shù)值關(guān)系來闡釋《幾何原本》第十卷各種無比例線的定義。類似方法多見于顧觀光研究西方數(shù)學(xué)的論文,如《用理分中末線求圓周法》以“設(shè)圓徑二千萬求圓周”等算題來解釋《幾何原本》中的“理分中末線”概念[9]。

以中國古代算學(xué)解讀《幾何原本》的傳統(tǒng)起于明末清初。梅文鼎(1633—1721)《幾何通解》曾“以勾股解《幾何原本》之根”,從《幾何原本》第二、三、四、六等卷中選出15個(gè)命題,以“勾股術(shù)”會(huì)通?！稁缀瓮ń狻烽_篇即言“《幾何》不言勾股,然其理并勾股也”[10]。類似地,顧觀光曾引用中國古代算經(jīng)二十余部撰寫了《九數(shù)存古》,該書“專輯古法故以九數(shù)為綱”,其第九卷專論“勾股”,涉及“勾實(shí)之矩”“股實(shí)之矩”“折矩以為勾股”等核心算法[11]。

顧觀光解讀《幾何原本》第十卷,遵循上述傳統(tǒng),強(qiáng)調(diào)《幾何原本》與《九章算術(shù)》的互通之處,如“僅正方有等”的有比例線即是《九章算術(shù)》開方術(shù)中的“以面命之”;又如知有比例線而解無比例線的過程,可以用《九章算術(shù)》中“勾實(shí)之矩”“股實(shí)之矩”等勾股形面積推演來解釋[12]。

茲以《六和六較線解》例題一(圖2—圖7)“有比例線八”與“第一組合名線”的關(guān)系為例,將顧觀光的闡釋方法以圖解和現(xiàn)代數(shù)學(xué)符號的形式說明:

圖2 《六和六較線解》例題一第一步圖解

圖3 《六和六較線解》例題一第二步圖解

圖4 《六和六較線解》例題一第三步圖解

圖5 《六和六較線解》例題一第四步圖解

圖6 《六和六較線解》例題一第五步、第六步圖解

圖7 《六和六較線解》例題一第七步圖解

大分四,正方十六;小分三四六四奇,正方十二;[12]

兩正方較積四,其邊二與大分有等。半小分一七三二奇,正方三。[12]

大分上作少一正方之矩形,與半小分正方等,長三闊一。[12]

大小兩分相并得七四六四奇為第一合名線(第二、第三線同)。相減余五三五奇為第一斷線。(第二、第三線同)。設(shè)有比例線八與大分有等。[12]

以乘矩形之長得廿四,其邊四八九八奇,以乘矩形之闊得八,其邊二八二八奇。兩線相并得七七二六奇為合名線,自之得五九七一奇,即第一合名線乘比例線之矩形。兩數(shù)相減得二〇七奇為斷線,自之得四二八五奇,即第一斷線乘比例線之矩形。[12]

如此便復(fù)原了顧觀光《六和六較線解》例題一所設(shè)數(shù)值的數(shù)形關(guān)系。

表1 《六和六較線解》例題一所設(shè)數(shù)值圖表

表2 《〈幾何原本〉六和六較線解》中所有“合名線”數(shù)值

《六和六較線解》以上述“例題一”開篇,以具體數(shù)值關(guān)系解釋“合名線”與“斷線”的含義,未曾引述《幾何原本》第十卷定義。因此,顧觀光乃以具體數(shù)值來解釋《幾何原本》第十卷各種無比例線的含義。

然而,結(jié)合《歐幾里得原本》關(guān)于13種無比例線的定義和命題,可知顧觀光所列舉的數(shù)值只是幾組符合定義的特例,顯然不足以完整地體現(xiàn)“和線”與“較線”之間復(fù)雜的一般性代數(shù)關(guān)系。從此論之,則顧觀光的嘗試雖不至于失敗,但至少還很不充分。

3 由“數(shù)”及“量”:黃慶澄對“不可公度量”的進(jìn)一步理解

1866年,《幾何原本》十五卷本在金陵書局出版,為晚清學(xué)術(shù)界增添了新的研究材料。同時(shí),在“師夷長技以制夷”的思想指導(dǎo)下,晚清政府開始推動(dòng)新式學(xué)堂的建設(shè),中國數(shù)學(xué)教育開始近代化進(jìn)程。自1862年京師同文館設(shè)立起,幾何學(xué)、代數(shù)學(xué)、微積分、三角學(xué)等數(shù)學(xué)知識(shí)與傳統(tǒng)中國算學(xué)一起進(jìn)入教育體系中[13]?！稁缀卧尽返任鲗W(xué)著作中的數(shù)學(xué)知識(shí)是西方數(shù)學(xué)的主要教學(xué)內(nèi)容。為了普及《幾何原本》,大量的數(shù)學(xué)研究者及教育工作者開始編寫面向?qū)W生的改編本,并在此基礎(chǔ)上發(fā)展出了多種形式的的新式教材,中國《幾何原本》研究進(jìn)入了新階段。其中,黃慶澄(1863—1904)《〈幾何〉第十卷釋義》(表3,以下簡稱“《釋義》”)對《幾何原本》第十卷做出了新的詮釋。

表3 黃慶澄《釋義》結(jié)構(gòu)

黃慶澄,浙江溫州平陽人,1889年在上海梅溪書院擔(dān)任教習(xí),1893年曾前往日本游學(xué)兩月([14],頁4)。1897年7月黃慶澄在溫州創(chuàng)辦《算學(xué)報(bào)》,是國內(nèi)第一份數(shù)學(xué)專業(yè)的報(bào)刊[15]。從第2期起,《算學(xué)報(bào)》刊行工作轉(zhuǎn)至上海新馬路梅福里(今新閘路黃河路以東)的上海算學(xué)報(bào)館,黃慶澄此后撰寫的研究專著都在上海算學(xué)報(bào)館刊刻出版([16],頁3)。黃慶澄對中國古算與西方數(shù)學(xué)都有研究,勵(lì)志創(chuàng)辦報(bào)刊“專擇近日算學(xué)中最重要者……以辟黃人之智慧” ([16],頁3—4)?！端銓W(xué)報(bào)》在當(dāng)時(shí)江浙滬地區(qū)流傳較廣,甚至遠(yuǎn)播日本。其中黃慶澄的家鄉(xiāng)溫州地區(qū)受益尤多([14],頁21)。

1898年4至5月,黃慶澄在《算學(xué)報(bào)》第11至12期刊文討論《幾何原本》第十卷“不可公度量”問題,圖文結(jié)合,以圖解題([16],頁4)。該文后經(jīng)整理成為《釋義》,同年在上海算學(xué)報(bào)館刊刻出版。

《釋義》兩卷,共12部分,含93款命題,末尾附《顧氏觀光六和六較解》,系黃慶澄對節(jié)選自顧觀光《六和六較線解》的內(nèi)容所作的圖解和注釋。黃慶澄如是敘述添加該附錄的緣由:

原書有說無圖,學(xué)者尚艱于索解,茲特逐一補(bǔ)之。末由無比例線推到圓面球面,以本書尚未及此,故節(jié)去。[17]

與顧觀光《六和六較線解》相比,黃慶澄《釋義》有三點(diǎn)不同之處。

首先,黃慶澄認(rèn)識(shí)到《幾何原本》數(shù)論部分對理解“不可公度量”的重要作用。英國數(shù)學(xué)家亨利·比林斯利(Henry Billingsley,1532—1606)曾在他翻譯的《歐幾里得原本》中論述《原本》結(jié)構(gòu)的整體性,指出“數(shù)”與“量”是數(shù)學(xué)大廈的基石,若要理解“不可公度量”和立體形的比例關(guān)系,則首先需要理解“數(shù)”([2],頁183)。黃慶澄對《釋義》內(nèi)容的編排,表明他也已經(jīng)對此要旨有所認(rèn)識(shí),反映出他對《幾何原本》結(jié)構(gòu)體系的理解較顧觀光更為深刻。

《釋義》第一部分“釋無等線”通過引用《幾何原本》第七卷對“數(shù)”和“無等數(shù)”(素?cái)?shù))的定義,從“數(shù)”的根本性質(zhì)及“無等數(shù)”和“有等數(shù)”的區(qū)別來聯(lián)系“無等幾何”[18]。這種通過“數(shù)”的性質(zhì)來認(rèn)識(shí)和解釋“量”的做法正是16世紀(jì)歐洲學(xué)者所采用的。黃慶澄還展示了他對《幾何原本》整體意義的把握:

一章至本章以整數(shù)與零數(shù)明無比例之由來,自下章至末章兼以零數(shù)與零數(shù)明無比例之究竟,此本書之大旨也。[18]

其次,《釋義》每一款命題都配有圖解(圖8),其附錄也為顧觀光《六和六較線解》增加了圖解,并且已開始使用現(xiàn)代代數(shù)學(xué)符號。

圖8 《釋義》圖解和代數(shù)學(xué)符號

但《釋義》闡釋“不可公度量”時(shí)仍然承襲顧觀光《六和六較線解》列舉特例數(shù)值的方式。黃慶澄非常重視顧觀光的工作,他認(rèn)為顧觀光的闡釋方法是可取的,唯一不足是沒有附圖。

第三,《釋義》對《幾何原本》第十卷命題做了歸納性改編。黃慶澄將第十卷的主要命題劃分為10個(gè)部分,將原來的117個(gè)命題濃縮成93款命題,并在各命題后補(bǔ)充了評論和注釋。例如,《釋義·釋六和線》第十款命題涵蓋了《幾何原本》第十卷中部界說一到六所涉及的六類合名線,并強(qiáng)調(diào)研讀時(shí)需結(jié)合第十卷中部命題四十九到五十四和顧觀光《六和六較線解》:

十款(《十中》界說一至六):置有比例線及合名線,而合名線二分上正方之較積方邊與大分長短有等,則其線有三類;若合名線二分上正方之較積方邊與大分長短無等,則其線亦有三類。說曰:此須細(xì)觀《十中》四十九至五十四原論及后顧氏說。[17]

黃慶澄的歸納與概括使文本更為簡潔,總體而言更適合初學(xué)者閱讀。但文本的復(fù)雜性是《幾何原本》無法剝離的特點(diǎn)之一,歸納與縮編的同時(shí)也意味著有誤讀的風(fēng)險(xiǎn)。對比《幾何原本》第十卷中部界說原文,可知6類合名線的區(qū)分并非僅僅依據(jù)合名線二分上正方較積方邊與大分長短有等與否,還要結(jié)合大分、小分與所置比例線長短是否有等的條件加以判斷。黃慶澄的改編和歸納顯然過于簡略,導(dǎo)致《釋義》對合名線分類的解釋不夠充分。

4 以代數(shù)明幾何:吳在淵對“無比例線”的一般性解釋

與顧觀光和黃慶澄相比,生于19世紀(jì)末的吳在淵(1884—1935)(1)吳在淵(名起潛,字在淵,中年以字行),江蘇常州陽湖人,清末民國時(shí)期著名數(shù)學(xué)教育家。1911年夏,任職于京師清華學(xué)堂的吳在淵與同事胡敦復(fù)(1886—1978)、平海瀾(1885—1960)等成立立達(dá)學(xué)社;不久,武昌起義爆發(fā),立達(dá)學(xué)社社員相繼南下,聚于上海。1912年3月,立達(dá)學(xué)社在上海創(chuàng)辦大同學(xué)院(1922年改稱“大同大學(xué)”)。吳在淵作為該校創(chuàng)辦者之一,在校任教24年直至去世,生前編寫數(shù)學(xué)研究著作及教材20余種,參與數(shù)學(xué)名詞術(shù)語的審定及中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的制訂,是中國近代數(shù)學(xué)教育的奠基人之一。接觸到了更多從西方傳入的現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識(shí)。1903年前后,19歲的吳在淵師從周道章(字彣甫、文甫,生卒年不詳),自修日文并研讀日文原版數(shù)學(xué)書籍[19]。周道章曾在江南制造局翻譯館擔(dān)任?？?傅蘭雅(John Fryer,1839—1928)、華蘅芳翻譯的美國代數(shù)學(xué)書籍《算式解法》即由周道章校算,于1899年刊行[20]。

當(dāng)時(shí)正值清政府頒布《欽定學(xué)堂章程》及《奏定學(xué)堂章程》、廢除科舉制度、推行近代教育體制之際,中國學(xué)界掀起了編譯西方近代教科書的熱潮[21]。吳在淵也跟隨周道章投身編譯數(shù)學(xué)教科書,尤其是代數(shù)學(xué)教科書。1906年周道章編譯的《學(xué)校用新代數(shù)學(xué)》[22]發(fā)行。同年,吳在淵與周道章共同校閱了顧澄(1883—?)編譯的《普通教育代數(shù)教科書》,該書內(nèi)容與體例主要取法日本數(shù)學(xué)家高木貞治(1875—1960)編著的教科書,并吸收英國數(shù)學(xué)家托德亨特(Issac Todhunter,1820—1884)和查爾斯·史密斯(Charles Smith,1844—1916)的成果[23]。

自1904年至1911年,在中國出版發(fā)行的代數(shù)學(xué)教科書共計(jì)33種[24],它們是根據(jù)西方近代教學(xué)材料編譯而成,采用橫向文字排版,以拉丁字母和代數(shù)符號表示代數(shù)式,配以習(xí)題,確立了中國現(xiàn)代代數(shù)學(xué)教科書的規(guī)范。這些教科書吸收西方近代數(shù)學(xué)家研究無理數(shù)的成果,不需再像《幾何原本》那樣借助古典的“不可公度量”來闡釋“不可公度”概念。例如周道章編譯《學(xué)校用新代數(shù)學(xué)》對“無理數(shù)”的定義:

不能得完精密之根名曰“不盡根”(原文腳注:Surd)或“無理之?dāng)?shù)”(原文腳注:Irrational number)。([22],頁4)

該定義一方面與《九章算術(shù)》“開之不盡者為不可開,當(dāng)以面命之”相合,另一方面也明確地從代數(shù)學(xué)視角將其定義為“無理數(shù)”。從數(shù)學(xué)思想的角度,本定義是推進(jìn)無理數(shù)研究的有效嘗試。但從不盡根理解無理數(shù)與現(xiàn)代數(shù)學(xué)仍有差距,如超越數(shù)π等無理數(shù)便無法從不盡根的角度加以理解。另外亦表明此時(shí)期對“不可公度”的研究尚未超出歐幾里得的范疇,即仍以闡釋“不可公度量”為主。

正在此時(shí),1906年吳在淵撰寫了《無比例線新解》。由于具有更多現(xiàn)代數(shù)學(xué)理念,吳在淵觀點(diǎn)鮮明地指出舊學(xué)與新學(xué)之不同:

顧學(xué)者囿于舊學(xué)久矣,不有以破除而擴(kuò)清之,或且以膠執(zhí)固蔽而新學(xué)莫由入。是雖微渺,尚非勦襲饾饤者,以破陳說而發(fā)新機(jī),亦未必?zé)o小補(bǔ)也。([25],頁1)

吳在淵認(rèn)為無比例線問題涉及的“不可公度”概念是完全的新學(xué),是傳統(tǒng)算學(xué)體系無法涵蓋的范疇,解釋《幾何原本》第十卷“不可公度量”必須“破陳發(fā)新”,不能再抱有以舊學(xué)證新學(xué)的幻想。該思想迥然有別于顧觀光“中西之法可互相證”的學(xué)術(shù)主張。

另外,掌握現(xiàn)代代數(shù)學(xué)理論的吳在淵還認(rèn)識(shí)到,《幾何原本》“不可公度量”概念局限于“幾何量”,未能從代數(shù)學(xué)視角闡釋無理數(shù)。于是吳在淵指出其編寫《無比例線新解》的意義乃“補(bǔ)《幾何原本》之不足”,又將《無比例線新解》的方法論總結(jié)為“用代數(shù)以明幾何”:

本書補(bǔ)《幾何原本》之不足,故用代數(shù)以明幾何。本書中凡說理處,因用式顯明,用說糾葛,故略去圖解,專用代數(shù)式。凡遇作法題,則兼用代數(shù)、幾何,以求完備。凡遇《幾何原本》中所未備之法,均一一補(bǔ)入……于本書后附總雜問,以匯通代數(shù)、幾何應(yīng)用。無比例線,全書中最為緊要……([25],頁1)

《無比例線新解》卷首《揭論》展現(xiàn)出吳在淵對《幾何原本》第十卷13種無比例線代數(shù)意義的深刻認(rèn)識(shí):

吳在淵還指出《幾何原本》漢譯者李善蘭在理解無比例線時(shí)的局限:

昔李壬叔論此線曰:“幾何也,烏可以代數(shù)通之?”斯蓋遇其識(shí)力所難明,故至固于名而失其實(shí)。學(xué)者不可因此而自畫進(jìn)境也。([25],頁 1)

在此理論背景下,吳在淵對《幾何原本》“不可公度量”的認(rèn)識(shí)自然能較顧觀光、黃慶澄等人更為深刻。茲以《無比例線新解》第一合名線命題(卷中問題十三,圖9)為例:

圖9 《無比例線新解》卷中問題十三圖示

與顧觀光《六和六較線解》、黃慶澄《〈幾何〉第十卷釋義》以特例數(shù)值解釋無比例線相比,《無比例線新解》的代數(shù)學(xué)詮釋更不失一般性。在以代數(shù)學(xué)闡釋完“無比例線”意義之后,吳在淵還補(bǔ)充了“以數(shù)明之”部分,則說明他也沒有完全拋棄顧觀光、黃慶澄的特例詮釋方法。

撰寫《無比例線新解》時(shí),吳在淵初入教壇,正在參與編寫數(shù)學(xué)教科書。《無比例線新解》針對各類無比例線設(shè)置了若干例題,幫助讀者理解無比例線的代數(shù)意義,使該書具有更明顯的教學(xué)價(jià)值[26]。這也有別于顧觀光和黃慶澄的工作。

5 結(jié)語:知識(shí)傳播路徑的曲折和迂回

晚清三代學(xué)者顧觀光、黃慶澄和吳在淵對《幾何原本》第十卷“不可公度量”的探究和解釋呈現(xiàn)出明顯的遞進(jìn)性,其原因在于三人知識(shí)結(jié)構(gòu)、學(xué)術(shù)淵源的不同,反映出時(shí)代背景的不斷變遷。

顧觀光活躍于19世紀(jì)中葉,正值第二次“西學(xué)東漸”早期,是晚清最早接觸西方學(xué)術(shù)的學(xué)者之一。顧觀光所掌握的知識(shí)結(jié)構(gòu)及其所接受的學(xué)術(shù)訓(xùn)練仍屬于中國傳統(tǒng)范式,面對西方科學(xué)知識(shí),他主張“中西之法可互相證”[8]。《〈幾何原本〉六和六較線解》是顧觀光學(xué)術(shù)主張的實(shí)踐工作,體現(xiàn)了他研究西方數(shù)學(xué)時(shí)遵循的兩項(xiàng)傳統(tǒng):一方面是中國古代算學(xué)以帶有具體數(shù)值的算題來解釋算理的詮釋傳統(tǒng);另一方面是明末清初以來用中算解讀西方數(shù)學(xué)的研究傳統(tǒng)。雖然《六和六較線解》把握住了13種無比例線段之間對應(yīng)的數(shù)值關(guān)系,但在兩項(xiàng)傳統(tǒng)的局限下,顧觀光只能通過舉出某些特例來說明各類無比例線的含義,也未能認(rèn)識(shí)到它們與《幾何原本》中其他內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系。

黃慶澄活躍于19世紀(jì)末期,此時(shí)第二次“西學(xué)東漸”的影響正在擴(kuò)大,洋務(wù)運(yùn)動(dòng)促進(jìn)本土新式學(xué)堂的興起,中國學(xué)生前往歐美、日本留學(xué)也漸成風(fēng)潮。黃慶澄比顧觀光具有更明顯的新式教育和西方學(xué)術(shù)背景,對于《幾何原本》的理解也更為深刻。《〈幾何〉第十卷釋義》從《幾何原本》第七卷的定義出發(fā)來解釋第十卷“不可公度量”,表現(xiàn)出黃慶澄對《幾何原本》整體結(jié)構(gòu)有著更為深刻的認(rèn)識(shí)?！夺屃x》對現(xiàn)代代數(shù)學(xué)符號的采用也反映出黃慶澄的教育背景已和傳統(tǒng)文人學(xué)者大為不同。但《〈幾何〉第十卷釋義》仍然繼續(xù)遵循顧觀光的特例數(shù)值闡釋,未能揭示其一般的代數(shù)學(xué)意義。

吳在淵活躍于20世紀(jì)初期,此時(shí)中國歷經(jīng)甲午戰(zhàn)敗、維新變法失敗以及八國聯(lián)軍侵華,社會(huì)各界興辦現(xiàn)代學(xué)堂、引進(jìn)現(xiàn)代學(xué)術(shù)、培養(yǎng)現(xiàn)代人才的熱情空前高漲。吳在淵的老師周道章曾跟隨晚清科學(xué)翻譯名家華蘅芳參與翻譯西方數(shù)學(xué)書籍,具有深厚的新學(xué)素養(yǎng)。吳在淵也由此接觸并掌握現(xiàn)代數(shù)學(xué)理念,從而清醒地看到舊學(xué)與新學(xué)之間的巨大鴻溝,主張“破陳說而發(fā)新機(jī)”([25],頁1)。編譯西方近代教科書之余,吳在淵重新審視了數(shù)十年前被翻譯為漢語的《幾何原本》,以代數(shù)學(xué)視角明銳地捕捉到《幾何原本》第十卷“不可公度量”概念的不足之處,并通過現(xiàn)代代數(shù)學(xué)重新闡釋了無比例線的數(shù)學(xué)意義。

從《六和六較線解》《〈幾何〉第十卷釋義》到《無比例線新解》,歷經(jīng)半個(gè)世紀(jì),該過程的歷史背景正是伴隨著西方列強(qiáng)霸占海上絲綢之路向中國侵略掠奪而展開的第二次“西學(xué)東漸”。

由英國傳教士偉烈亞力和中國數(shù)學(xué)家李善蘭共同完成的漢譯《幾何原本》后九卷是第二次“西學(xué)東漸”早期最重要的成果之一,它使中國人時(shí)隔250年之后終于能完整地通覽這部在哲學(xué)、數(shù)學(xué)和科學(xué)領(lǐng)域影響西方兩千余年的重要經(jīng)典。但當(dāng)時(shí)的中國學(xué)者初次遇見“不可公度量”這樣蘊(yùn)含深?yuàn)W哲學(xué)思想的西方概念,缺少能夠真正認(rèn)識(shí)它的理論儲(chǔ)備。隨著第二次“西學(xué)東漸”不斷深入,西方近現(xiàn)代學(xué)術(shù)思想成果越來越多地為中國學(xué)者了解并接受,才使他們一步步加深對“不可公度量”以及《幾何原本》本身的認(rèn)識(shí)程度。從無比例線、無等線到不盡根,展示了晚清數(shù)學(xué)家對“不可公度量”的遞進(jìn)認(rèn)識(shí),雖然與現(xiàn)代數(shù)學(xué)的“無理”含義還有所差距,但也逐漸靠近著現(xiàn)代數(shù)學(xué)的研究方式。

值得注意的是,在第二次“西學(xué)東漸”后期,西學(xué)的傳入不再如早期那樣單純地來自地理意義上的西方。在理解《幾何原本》第十卷“不可公度量”方面做出推進(jìn)工作的黃慶澄和吳在淵,他們的西學(xué)背景都留有日本新式教育的深刻影響。

19世紀(jì)70年代以后,隨著日本明治維新運(yùn)動(dòng)興起,日本學(xué)術(shù)界不斷引入西方近代科學(xué)知識(shí),為日本向近代國家轉(zhuǎn)型奠定了思想與理論基礎(chǔ)。幕府末期至明治初期,漢譯西方數(shù)學(xué)書籍曾是日本接觸西方數(shù)學(xué)的主要途徑,偉烈亞力、李善蘭翻譯的《代微積拾級》和傅蘭雅、華蘅芳翻譯的《代數(shù)術(shù)》都在日本產(chǎn)生了廣泛影響,西學(xué)從中國東漸至日本([28],頁48—99)。1877年,具有近代西方學(xué)會(huì)特色的東京數(shù)學(xué)會(huì)社成立后,日本出現(xiàn)了更多直接編譯自西方的數(shù)學(xué)教科書,甚至反過來向中國傳播([28],頁206—210)。

20世紀(jì)最初十年出版發(fā)行于中國的代數(shù)學(xué)教科書有相當(dāng)一部分編譯自當(dāng)時(shí)的日本教科書,或者二次編譯自日本教育者編譯的西方教科書;其中不少教科書的印刷工作也在日本完成。如商務(wù)印書館編譯所的《中學(xué)代數(shù)學(xué)教科書》(1906)列出的引用書目全部都是日本教育者編著或編譯的教科書[29]。又如周道章編譯的《學(xué)校用新代數(shù)學(xué)》(1906)、顧澄編譯自日本高木貞治的《普通教育代數(shù)教科書》(1906)、陳榥編譯自英國查爾斯·史密斯的《初等代數(shù)學(xué)(第五版)》(1908)[30]等教科書都是在日本完成印刷后刊行于中國。在此階段,日本在學(xué)習(xí)吸收西學(xué)方面反超中國,西學(xué)反而從東方的日本又西漸于中國,揭示了知識(shí)遷移過程的復(fù)雜性以及知識(shí)傳播路徑的曲折和迂回。