波利亞解題模型在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的運用分析

馮 潔

(江蘇省常州市龍城高級中學(xué),江蘇 常州 213000)

波利亞解題模型源于波利亞《怎樣解題:數(shù)學(xué)思維的新方法》.在該書中,波利亞緊緊圍繞“解決數(shù)學(xué)問題”這一中心任務(wù),提出了“波利亞解題模型”,倡導(dǎo)學(xué)生在解題時,應(yīng)遵循“理清題意——制定計劃——執(zhí)行計劃——檢驗與回顧”四個流程開展.其中,“理清題意”即為理解題目意思、明確題目已知條件、所求問題等,這是學(xué)生高效解題的關(guān)鍵;“制定計劃”是聯(lián)系題目已知條件、所求問題,運用所學(xué)的知識進(jìn)行思考,尋找解題思路;“執(zhí)行計劃”則是依據(jù)上一個階段中制定的解題思路,利用所學(xué)的知識、方法進(jìn)行推理、運算,最終得出正確的結(jié)論;“檢驗與回顧”則是對整個解題過程進(jìn)行回顧、反思、總結(jié),在檢驗解題正確與否的基礎(chǔ)上,進(jìn)行知識積累,并為學(xué)生后續(xù)的解題奠定基礎(chǔ)[1].鑒于波利亞思想的內(nèi)涵,將其應(yīng)用到高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,已經(jīng)成為一線教師研究的重點.

1 高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)狀況

1.1 解題教學(xué)驅(qū)動性不足,學(xué)生學(xué)習(xí)積極性較低

新課標(biāo)執(zhí)行前期,高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)大多仍以講解式教學(xué)和練習(xí)式教學(xué)為主.講解式教學(xué)由教師主導(dǎo),注重對問題進(jìn)行剖析和講解,學(xué)生處于被動學(xué)習(xí)狀態(tài);練習(xí)式教學(xué)則以學(xué)生為主體,對學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力和獨立思考能力要求較高.因此,教師教學(xué)設(shè)計不夠全面,教學(xué)模式趣味性較低,導(dǎo)致解題教學(xué)驅(qū)動性不足,學(xué)生學(xué)習(xí)缺乏主動性等現(xiàn)象在講解式教學(xué)和練習(xí)式教學(xué)中都有體現(xiàn).在講解式教學(xué)中的體現(xiàn)為學(xué)生注意力不集中,打瞌睡、走神等現(xiàn)象頻發(fā);在練習(xí)式教學(xué)中的體現(xiàn)為學(xué)生解題效率較低、正確度較低.例如,教師在講解“橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”相關(guān)的知識點時,會在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行等式的化簡后推導(dǎo)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,但因為學(xué)生對于等式的化簡存在困難,而課堂時間有限,造成學(xué)生缺少練習(xí)時間,教師也需要進(jìn)行后續(xù)的講解.這造成“一步慢,步步慢”的情況,學(xué)生也無法跟上教師后續(xù)的講解進(jìn)度,學(xué)習(xí)自信心也會受到打擊.

1.2 解題教學(xué)創(chuàng)新性不足,難以培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)

新課程標(biāo)準(zhǔn)指出,高中數(shù)學(xué)教學(xué)需要在傳授知識的基礎(chǔ)上培養(yǎng)學(xué)生的運用能力、創(chuàng)新精神、核心素養(yǎng)等綜合能力.數(shù)學(xué)習(xí)題每年都會迎來一定的創(chuàng)新,雖然考查的內(nèi)容大體相同,但解題思路會發(fā)生一定的改變.前期高中數(shù)學(xué)教師因為沒有針對性地培養(yǎng)學(xué)生的解題能力和核心素養(yǎng),導(dǎo)致學(xué)生掌握了某一個問題的解題方法,并未掌握這一類題型的解題方法.例如,教師在講解“已知函數(shù)f(x)=ln(x+x2+1),若實數(shù)a,b滿足f(a)+f(b-1)=0,則a+b=?”這一問題的核心在于觀察f(x)在定義域內(nèi)是增函數(shù)還是減函數(shù).教師在講解時也會按部就班地完成講解,但在實際過程中缺乏引導(dǎo)學(xué)生深度思考的過程,導(dǎo)致學(xué)生只能將解題方法運用到這一個題目上,無法觸類旁通.

1.3 忽視回顧與反思環(huán)節(jié),解題教學(xué)有效性不足

回顧反思作為解題教學(xué)的收尾階段,其具有幫助學(xué)生查漏補缺、增強學(xué)生記憶力、提升學(xué)生解題思維的重要作用.但在當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,仍有部分教師忽視回顧反思教學(xué)開展,導(dǎo)致解題教學(xué)有效性不足.以“立體幾何初步”這一章節(jié)知識點為例,教師在講解完成之后會為學(xué)生布置相關(guān)的復(fù)習(xí)任務(wù),如進(jìn)行習(xí)題訓(xùn)練等.因為教師并未了解學(xué)生的實際學(xué)情,其很難針對性地布置復(fù)習(xí)任務(wù),因此大部分教師會選擇“題海戰(zhàn)術(shù)”,試圖通過量變來引起質(zhì)變.并且,學(xué)生在完成復(fù)習(xí)任務(wù)之后教師的評價也極其簡單,大都只有幾個“對鉤”或者一個“閱”字,復(fù)習(xí)任務(wù)的有效性難以充分體現(xiàn),學(xué)生也無法根據(jù)教師的評價確定自身的問題.久而久之,學(xué)生的復(fù)習(xí)積極性會不斷降低,學(xué)習(xí)壓力也會因為題海戰(zhàn)術(shù)不斷增加.

2 波利亞解題模型在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的實踐應(yīng)用

為對波利亞解題模版在解題中的應(yīng)用展開深入研究,筆者結(jié)合以下兩道題目進(jìn)行了詳細(xì)的探究:

例1 已知正項等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=2,2S2=a2+a3求:

(1)等比數(shù)列{an}的通項公式?

基于波利亞解題模型,在解答這一問題時,可從以下四個方面進(jìn)行:

第一,理清題意.引導(dǎo)學(xué)生自己讀題、審題,理解題目的含義,明確題目中的已知條件、未知內(nèi)容、所求目標(biāo)等.在本題中學(xué)生經(jīng)過審題,理清了題目中已知條件、所求目標(biāo).其中,已知條件:數(shù)列{an}的首項、第二項和第三項的和、{an}是正項等比數(shù)列;所求目標(biāo):數(shù)列{an}、{bn}的通項公式,以及{bn}的前n項和?

第二,制定計劃.本階段是形成解題思路的核心,主要是聚焦所求的問題,圍繞已知量和未知量之間的關(guān)系進(jìn)行探究,并在此基礎(chǔ)上形成解題思路.在本題目中,先將題目中已知條件和所求問題聯(lián)系起來,并由“等比數(shù)列的通項公式、數(shù)列{bn}的前n項和”展開聯(lián)想.在此基礎(chǔ)上通過討論、分析,逐漸形成本題目的解題思路:針對(1)來說,需要借助等比數(shù)列的性質(zhì),前n項和求和公式,將{an}的首項和公比q求出來;針對(2)來說,則需要借助數(shù)列{an}的通項公式,將{bn}的通項公式求出來.接著再利用錯位相減的方法,將{bn}前n項和求出來.

第三,執(zhí)行計劃.主要是按照上述設(shè)計的解題思路進(jìn)行解答.在本題目中根據(jù)上述分析所形成的解題思路,按照如下步驟執(zhí)行解題:

(1)設(shè)數(shù)列{an}公比為q(q>0),

因為2S2=a2+a3,所以2(a1+a2)=a1q+a2q,q=2

所以an=2·2n-1=2n

由①-②得出:

第四,檢驗與回顧.這一環(huán)節(jié)主要是解題完成之后對其進(jìn)行檢驗,看其是否正確.同時,在這一階段中,還應(yīng)及時進(jìn)行反思和積累,為學(xué)生后續(xù)解題奠定基礎(chǔ).在本題目解答完畢后,就先引導(dǎo)學(xué)生開展檢驗,之后圍繞整個解題過程進(jìn)行反思和總結(jié).對此,有的學(xué)生表示本題目中主要圍繞等比數(shù)列的性質(zhì)、通項公式、錯位相減法進(jìn)行了考查;還有的學(xué)生在總結(jié)中提出了解答第一問數(shù)列{an}的首項和公比q是關(guān)鍵;也有的學(xué)生在總結(jié)中提出了本題的難點在于第二問,關(guān)鍵是運算[2].如此,學(xué)生通過反思與總結(jié),不僅掌握了這一類型數(shù)學(xué)解題的解答技巧,也學(xué)會了知識的遷移和應(yīng)用,真正提升了學(xué)生的舉一反三能力.

3 高中數(shù)學(xué)波利亞解題教學(xué)啟示

波利亞模型是一種重要的、系統(tǒng)化的解題方式,將其應(yīng)用到數(shù)學(xué)解題中,可促使學(xué)生在“理清題意——制定計劃——執(zhí)行計劃——檢驗與回顧”的引導(dǎo)下,深入挖掘題目中已知條件和所求問題,并引導(dǎo)學(xué)生運用所學(xué)的知識尋求已知條件和未知條件的內(nèi)在聯(lián)系,最終將陌生的數(shù)學(xué)題目轉(zhuǎn)化成為學(xué)生所熟悉的數(shù)學(xué)解題類型,以便于學(xué)生形成明確、清晰的解題思路.鑒于波利亞模型在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用價值,高中數(shù)學(xué)教師還應(yīng)靈活開展課堂教學(xué),引導(dǎo)學(xué)生在日常學(xué)習(xí)中逐漸掌握這一解題技巧和能力.

首先,引導(dǎo)學(xué)生靈活應(yīng)用波利亞“怎樣解題”表.波利亞模型為學(xué)生提供了一個常規(guī)的解題思路,無論是簡單的數(shù)學(xué)題目,還是復(fù)雜的數(shù)學(xué)題目,都可以按照這一思路展開.因此,為了引導(dǎo)學(xué)生真正掌握這一解題技巧,就應(yīng)結(jié)合具體的題目,引領(lǐng)學(xué)生分析題目、確定目標(biāo)、研究解題思路、解題實踐等.如此,經(jīng)過一段時間的訓(xùn)練之后,學(xué)生就會逐漸形成波利亞解題思維.

其次,深層次挖掘波利亞解題思想觀,培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).根據(jù)波利亞解題的具體流程和內(nèi)涵,對學(xué)生的審題能力、基礎(chǔ)知識體系、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)運算等都提出了更高的要求.鑒于此,高中數(shù)學(xué)教師在日常教學(xué)中,還應(yīng)立足于波利亞解題的思想觀,聚焦學(xué)生的核心素養(yǎng)設(shè)計課堂教學(xué)方案,全面加強學(xué)生基礎(chǔ)知識、數(shù)學(xué)審題能力、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、常見數(shù)學(xué)思想教學(xué),借助針對性的訓(xùn)練提升學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng).

最后,重視檢驗與總結(jié).波利亞解題模型中的四個步驟組成了一個系統(tǒng)化的解題體系.在實際應(yīng)用中,部分教師常常忽視回顧和檢驗.鑒于此,在日常解題教學(xué)時,應(yīng)給予足夠的重視,引導(dǎo)學(xué)生完成解題之后及時進(jìn)行反思,使學(xué)生在反思、總結(jié)中,領(lǐng)悟數(shù)學(xué)解題中蘊含的數(shù)學(xué)思想,內(nèi)化數(shù)學(xué)知識,并提升自身的數(shù)學(xué)解題能力[3].

綜上所述,波利亞模型作為一種有效的解題工具,將其應(yīng)用到數(shù)學(xué)解題中,不僅提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)解題效率,也幫助學(xué)生逐漸形成了良好的解題習(xí)慣,真正提升了高中生的數(shù)學(xué)解題能力.鑒于此,高中數(shù)學(xué)教師在日常解題教學(xué)中,應(yīng)基于針對性的練習(xí)題目,對波利亞解題模型進(jìn)行細(xì)化,使學(xué)生在針對性的訓(xùn)練中,逐漸掌握這一解題技巧.