挖掘“隱圓”巧解向量最值問題

陳存勤

(江蘇省啟東中學(xué),江蘇 啟東 226200)

高考試題或者模擬試題中,經(jīng)常出現(xiàn)考查向量最值的問題,這類題目難度較大,常常找不到解題的切入點(diǎn),或者運(yùn)算量過大.那么,如何解決這一類問題呢?這類試題往往隱藏著圓的背景,如果我們能夠通過分析已知條件,或者將其進(jìn)行轉(zhuǎn)化,把題目中隱藏的圓揭示出來,然后,在此基礎(chǔ)上,利用圓中的特殊線或者特殊位置,就可以幫助我們解決這類試題[1].

1 建立坐標(biāo)系找出“隱圓”

圖1 A的軌跡為圓

例2已知平面向量a,b,c滿足a⊥b,且|a|=|b|=2,|c-a-b|=1,則|c-a|+2|c-b|的最小值為( ).

圖2 動(dòng)點(diǎn)C在圓上

由|c-a-b|=1得(x-2)2+(y-2)2=1,

又∠CDE=∠ADC,

∴△ECD∽△CDA,

在對(duì)工程項(xiàng)目進(jìn)行測(cè)量的過程中，需要對(duì)測(cè)量設(shè)備進(jìn)行前期檢查，確保測(cè)量全過程的穩(wěn)定。因此，建議采取以下幾方面的措施進(jìn)行控制：(1)精準(zhǔn)求解測(cè)量的轉(zhuǎn)換參數(shù)，配備高等級(jí)的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換控制點(diǎn)，保障各控制點(diǎn)均勻分布，爭(zhēng)取測(cè)區(qū)全覆蓋；(2)采用先進(jìn)的GPS 信號(hào)接收器，如雙星或三星GPS接收器，縮短測(cè)量時(shí)間，提高定位精度，加快測(cè)量進(jìn)度；(3)增加測(cè)量區(qū)域控制點(diǎn)的設(shè)置，保證轉(zhuǎn)換控制點(diǎn)覆蓋整個(gè)測(cè)區(qū)，使測(cè)量結(jié)果更具客觀性和準(zhǔn)確性，保障測(cè)量數(shù)據(jù)的真實(shí)性和可信性；(4)必要時(shí)增加測(cè)量次數(shù)，多次測(cè)量可有效消除系統(tǒng)性測(cè)量誤差，進(jìn)行提高測(cè)量精度，提升測(cè)量數(shù)據(jù)可靠性。

點(diǎn)評(píng)建立坐標(biāo)系后,發(fā)現(xiàn)點(diǎn)C的軌跡方程是圓,利用三角形的相似及兩點(diǎn)之間直線段最短,即可獲解.

2 根據(jù)向量模長(zhǎng)找出“隱圓”

例3(2016年陜西省數(shù)學(xué)競(jìng)賽)已知a,b,c是同一平面內(nèi)的三個(gè)單位向量,且a⊥b,則(c-a)·(c-b)的最大值是( ).

圖3 單位圓

例4已知平面向量a,b,c滿足|a-b|=4,(a-c)·(b-c)=-3,則c·(a+b)的最小值為( ).

圖4 C的軌跡為圓

3 根據(jù)幾何特征找出“隱圓”

圖5 以AD為直徑的圓

解析由b2-4e·b+3=0得b2-4e·b+3e2=0?(b-e)·(b-3e)=0即(b-e)⊥(b-3e).由此可找出“隱圓”,如圖6所示.

圖6 B的軌跡為圓

點(diǎn)評(píng)本題關(guān)鍵是根據(jù)e是單位向量,把b2-4e·b+3=0得轉(zhuǎn)化為b2-4e·b+3e2=0,從而得到(b-e)⊥(b-3e),即可找出“隱圓”.

圖7 C軌跡為圓

點(diǎn)評(píng)根據(jù)|a|=2,把c2-2a·c+3=0轉(zhuǎn)為為c2-2a·c+a2=1,即(c-a)2=1,|c-a|=1,故點(diǎn)C位于以A為圓心,半徑為1的圓上,從而找出“隱圓”.

解決這類向量最值問題的策略就是利用坐標(biāo)法或者幾何法得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程(即圓),再根據(jù)圓的幾何性質(zhì)求出向量數(shù)量積的最值.