深刻理解定義 巧妙應(yīng)對(duì)拋物線問題

劉力芳

(尋甸縣第二中學(xué),云南 昆明 655214)

解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一個(gè)永恒的話題,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開解題.定義通常是人們對(duì)某一對(duì)象的本質(zhì)屬性的刻畫,它是人們對(duì)一個(gè)事物進(jìn)行判斷和推理的基礎(chǔ).數(shù)學(xué)中的定理、性質(zhì)、公式和法則都是在定義和公理的基礎(chǔ)上推演出來的.每一個(gè)知識(shí)領(lǐng)域的學(xué)習(xí),一般都會(huì)從其基本概念入手,之后才逐步層層展開.概念學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要內(nèi)容,只有正確理解、深刻領(lǐng)悟,才能掌握數(shù)學(xué)的本質(zhì).因此,概念教學(xué)是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能教學(xué)的核心.要弄明白一個(gè)概念的本質(zhì)、內(nèi)涵以及外延,少不了對(duì)概念的應(yīng)用,在應(yīng)用中學(xué)習(xí),在應(yīng)用中加深理解.

1 利用拋物線定義求軌跡方程

例1求與圓C:(x+2)2+y2=1外切,且與直線x=1相切的動(dòng)圓圓心M的軌跡方程.

解析設(shè)動(dòng)圓半徑為r,由動(dòng)圓M與圓C外切知,|MC|=r+1,由動(dòng)圓M與直線x=1相切知, 點(diǎn)M到直線x=1的距離為r, 把直線x=1向右平移1個(gè)單位,得到直線x=2.

從而點(diǎn)M到直線x=2的距離為r+1.

所以動(dòng)圓圓心M到點(diǎn)C(-2,0)的距離與到直線x=2的距離相等.

根據(jù)拋物線的定義知,動(dòng)圓圓心M的軌跡是拋物線,其中焦點(diǎn)為(-2,0),準(zhǔn)線方程為直線x=2,焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是4,因而p=4.

所以動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為y2=-8x.

點(diǎn)評(píng)本題考查了圓與圓相切、直線與圓相切的位置關(guān)系,以及拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程.由拋物線的定義知,“動(dòng)圓圓心M的軌跡是以(-2,0)為焦點(diǎn),以直線x=2為準(zhǔn)線的拋物線”是解題的關(guān)鍵.本題當(dāng)然可以將點(diǎn)M滿足的條件用坐標(biāo)表示出來,化簡,求得動(dòng)圓圓心M的軌跡方程,但計(jì)算量相對(duì)大了一些.

A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.以上都不對(duì)

即動(dòng)點(diǎn)M(x,y)到直線3x+4y-12=0的距離等于它到原點(diǎn)(0,0)的距離,由拋物線定義可知:動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以原點(diǎn)(0,0)為焦點(diǎn),以直線3x+4y-12=0為準(zhǔn)線的拋物線.故選C.

2 利用拋物線的定義實(shí)現(xiàn)距離的相互轉(zhuǎn)化

各種標(biāo)準(zhǔn)方程下拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離見表1所示:

表1 標(biāo)準(zhǔn)方程下拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離

表示拋物線上一點(diǎn)P(x,y)到準(zhǔn)線的距離,只需要點(diǎn)P的橫坐標(biāo)(拋物線的開口向左或右時(shí))或縱坐標(biāo)(拋物線的開口向上或下時(shí)),若要表示拋物線上一點(diǎn)P(x,y)到焦點(diǎn)的距離,根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都需要,從計(jì)算的角度看,前者更為簡便.因此解題時(shí),通常根據(jù)題意,利用定義將拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離與到焦點(diǎn)的距離進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化,從而簡化計(jì)算.

例3拋物線x2=4y上一點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4,則點(diǎn)A到拋物線的焦點(diǎn)的距離為( ).

A.2 B.3 C.4 D.5

分析若直接求解,由點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4,可求得點(diǎn)A的橫坐標(biāo),再求得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo),最后用兩點(diǎn)間的距離公式求解.思路非常清晰,也很自然,但需要一定的計(jì)算量.若利用定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化,則大大簡化了計(jì)算.

解析拋物線x2=4y的準(zhǔn)線方程為y=-1,由定義知,點(diǎn)A到拋物線的焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)A到準(zhǔn)線y=-1的距離.故點(diǎn)A到拋物線的焦點(diǎn)的距離為4+1=5.

整理,得a2+10a+9=0,

解得a=-1或a=-9.

當(dāng)a=-1時(shí),F(-1,0),p=2,y2=-4x.

當(dāng)a=-9時(shí),F(-9,0),p=18,y2=-36x.

所以,所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=-4x.

例5 斜率為1的直線l經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn),且與拋物線交于A,B兩點(diǎn),求線段AB的長.

分析拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F(1,0),直線l經(jīng)過點(diǎn)F(1,0),且斜率為1,故方程為y=x-1.求線段AB的長,一個(gè)極其自然的思路就是:由直線與拋物線聯(lián)立方程組,求得A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo),再由兩點(diǎn)間距離公式求得線段AB的長.為了體現(xiàn)并強(qiáng)調(diào)二次曲線與直線綜合問題的求解通法,可以對(duì)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)采用“設(shè)而不求”,利用根與系數(shù)的關(guān)系(見解法1).如果利用定義,注意到直線l經(jīng)過焦點(diǎn)F,故|AF|等于點(diǎn)A到準(zhǔn)線x=-1的距離,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則|AF|=x1+1,同理,|BF|=x2+1,所以,|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=x1+x2+2(見解法2).

解法2 因直線l經(jīng)過焦點(diǎn)F,所以|AF|等于點(diǎn)A到準(zhǔn)線x=-1的距離,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則|AF|=x1+1,同理,|BF|=x2+1,所以,|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=x1+x2+2=8.

例6 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,傾斜角為α的直線m過點(diǎn)F(1,0),直線m與拋物線C:y2=4x交于A,B兩點(diǎn),拋物線C的準(zhǔn)線為直線l.

(1)證明:以AB為直徑的圓與直線l相切;

(2)若線段AB的中垂線n交x軸于點(diǎn)E,證明:|EF|sin2a為定值,并求出此定值.

證明注意到點(diǎn)F(1,0)恰好是拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn).

(1)如圖1,設(shè)AB的中點(diǎn)為M,過點(diǎn)A,B,M作直線l的垂線,垂足分別為點(diǎn)A1,B1,M1,由定義得

|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|.

則|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|.

圖1 例6解析圖

所以以AB為直徑的圓與直線l相切.

(2)如圖2, 因?yàn)閨FA|=|AA1|=|AH|+|HA1|=|FA|cosa+2,

圖2 例6解析圖

所以|EF|sin2α=2.

結(jié)論1以拋物線焦點(diǎn)弦為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切.

3 求與拋物線有關(guān)的最值

例7 設(shè)P是拋物線y2=4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),F是拋物線的焦點(diǎn),

(1)求點(diǎn)P到點(diǎn)A(-1,1)的距離與點(diǎn)P到直線x=-1的距離之和的最小值;

(2)若B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值.

分析兩個(gè)問題分別涉及了拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離和到焦點(diǎn)的距離,由此可結(jié)合拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化,再用相關(guān)平面知識(shí)予以解決.

解析由已知,拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F(1,0),準(zhǔn)線為直線x=-1.

圖3 例7解析圖(a) 圖4 例7解析圖(b)

(2)如圖4,BM垂直于準(zhǔn)線,交準(zhǔn)線于點(diǎn)M,交拋物線于點(diǎn)P,|PB|+|PF|=|PB|+|PM|,其最小值等于|BM|=4.

由余弦定理,得|AB|2=a2+b2-2abcos120°=a2+b2+ab=(a+b)2-ab.

說明在拋物線中求最值,通常的解法是結(jié)合圖形特征,利用拋物線的定義,將拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離與到焦點(diǎn)的距離相互轉(zhuǎn)化,從而構(gòu)造出“兩點(diǎn)之間線段最短”.

深刻理解定義,在解題中靈活運(yùn)用,巧妙轉(zhuǎn)化,這不僅可以優(yōu)化解題過程,反過來也能加深學(xué)生對(duì)知識(shí)本身的認(rèn)識(shí)和掌握.教師在平時(shí)的教學(xué)中,應(yīng)該以學(xué)生為中心,引導(dǎo)學(xué)生反復(fù)應(yīng)用,組織強(qiáng)化訓(xùn)練,讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)定義在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性,從而形成良好的、科學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法,進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和提升學(xué)生的核心素養(yǎng)[1].