構(gòu)造常數(shù)列解決數(shù)列中累乘法求通項(xiàng)問(wèn)題

劉琳琳

(山東省泰安市寧陽(yáng)縣第一中學(xué),山東 泰安 271400)

2022年高考全國(guó)Ⅰ卷對(duì)數(shù)列的考查再次打破了2021年高考的考查模式,回歸到獨(dú)立單一遞推關(guān)系式,采用了分式型遞推關(guān)系式,這類(lèi)試題在求數(shù)列通項(xiàng)公式時(shí)反復(fù)練過(guò),應(yīng)該是熟題,但考前模擬訓(xùn)練相對(duì)較少,所以有部分學(xué)生感到不適.

(1)求{an}的通項(xiàng)公式;

本題的主要問(wèn)題集中在求解數(shù)列通項(xiàng)公式上,第(2)問(wèn)只是一個(gè)裂項(xiàng)相消求和問(wèn)題,比較簡(jiǎn)單,所以我們主要研究第(1)問(wèn).

1 試題求解

解法1(基于項(xiàng)的累乘法)因?yàn)閍1=1,

整理,得(n-1)an=(n+1)an-1.

兩邊同除以n,得

點(diǎn)評(píng)解法1是我們平時(shí)求數(shù)列通項(xiàng)常用的累乘法,根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式,目前絕大多數(shù)的教學(xué)輔導(dǎo)用書(shū)上所介紹的方法都是累加法、累乘法、待定系數(shù)法等．

解法2是通過(guò)構(gòu)造常數(shù)列把一個(gè)變化的數(shù)列轉(zhuǎn)化為常數(shù)求解,這樣往往減少很大的計(jì)算量,也不必再對(duì)a1=1進(jìn)行檢驗(yàn),達(dá)到四兩撥千斤的效果．

定義已知數(shù)列{an},若an+1=an,則稱(chēng)數(shù)列{an}為常數(shù)數(shù)列.

若數(shù)列{an}是常數(shù)數(shù)列,則an=a1,所以求常數(shù)數(shù)列的通項(xiàng)公式只要求出首項(xiàng)a1即可．

2 類(lèi)題研究

類(lèi)型1An+B,A(n+k)+B是相鄰兩項(xiàng),即k=1.

所以(n+1)an+1=nan.

因此{(lán)nan}是常數(shù)列,所以nan=1×a1=2 .

例2 已知數(shù)列{an}中,a1=1,(2n+1)an+1=(2n-1)an,求{an}的通項(xiàng)公式.

解析由(2n+1)an+1=(2n-1)an,得{(2n-1)an}是常數(shù)列.

所以(2n-1)an=a1=1.

方法小結(jié)關(guān)注遞推關(guān)系式中的項(xiàng),把關(guān)于n的兩個(gè)式子與項(xiàng)對(duì)應(yīng)起來(lái),構(gòu)建項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的乘積或者商的結(jié)構(gòu)形式,形成常數(shù)列,直接可以寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式[1].

類(lèi)型2An+B,A(n+k)+B中的項(xiàng)數(shù)k間隔一位.

(2n+1)an=(2n-3)an-1(n≥2).

兩邊同時(shí)乘以2n-1,得

(2n-1)(2n+1)an=(2n-1)(2n-3)an-1(n≥2).

故{(2n-1)(2n+1)an}是常數(shù)列.

故(2n-1)(2n+1)an=1×3a1=1.

兩邊同時(shí)除以2n-1,得

可得an=(2n-1)(2n+1)=4n2-1．

方法小結(jié)變形遞推關(guān)系式,兩邊同乘或同除以某個(gè)項(xiàng)數(shù),直接構(gòu)造常數(shù)列,從而求出{an}的通項(xiàng)公式,這樣操作往往比累乘法更簡(jiǎn)單,僅僅需要關(guān)注遞推關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)．

以上兩種情形都是以構(gòu)建常數(shù)列為基準(zhǔn),相對(duì)于累乘法還是要簡(jiǎn)單些,至于項(xiàng)數(shù)相隔再多的遞推關(guān)系,一般不會(huì)出現(xiàn),也就沒(méi)有研究的必要了.

解法1(累乘法)當(dāng)n≥2時(shí),2(n-1)an-nan-1=0,則2(n-1)an=nan-1.

n=1也滿(mǎn)足上式,

解法2(構(gòu)造等比數(shù)列)由2(n-1)an-nan-1=0(n≥2),得2(n-1)an=nan-1(n≥2).

把以上n-1個(gè)式子相乘,得

兩邊同乘以n+1,得

例7在數(shù)列{an}中,a1=2,(n2+1)an+1=2(n2-2n+2)an,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

解法1(累乘法)依題意,a1=2,(n2+1)an+1=2(n2-2n+2)an.

即(n2+1)an+1=2[(n-1)2+1]an,

當(dāng)n=1時(shí)也滿(mǎn)足上式,

解法2(構(gòu)造等比數(shù)列)由(n2+1)an+1=2(n2-2n+2)an,

配方得(n2+1)an+1=2[(n-1)2+1]an.

所以{[(n-1)2+1]an}是等比數(shù)列,首項(xiàng)為2,公比q=2,得

[(n-1)2+1]an=2n.

3 其它形式累乘法

例8在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=2nan,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

解法2(構(gòu)造常數(shù)列 )因?yàn)閍n+1=2nan,