一道求雙變量最小值問題的多視角探究

李春林

(甘肅省天水市第九中學(xué),甘肅 天水 741020)

在雙變量或多變量約束條件下,求代數(shù)式的最值問題是近幾年高考、強基計劃、高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽等考試中常見的一類題目.此類問題往往情境新穎,雙變量關(guān)系呈現(xiàn)多樣化特點.破解此類題的關(guān)鍵是結(jié)合雙變量代數(shù)式的基本特征,合理恒等變形,巧妙運算轉(zhuǎn)化,通過從不等式、函數(shù)、方程、三角函數(shù)、平面向量、導(dǎo)數(shù)等視角入手,進行分析探究[1].

1 試題呈現(xiàn)

2 多視角探究

視角1 先數(shù)式代換,再利用基本不等式

點評利用逆向思維進行數(shù)式代換,從形式上將問題轉(zhuǎn)化為能利用基本不等式的結(jié)構(gòu),從而將問題解決.“1”的逆代換是解題的關(guān)鍵一環(huán).

視角2將分式條件適當變形化為整式,再利用基本不等式

所以xy-3x-2y=0(x>2,y>3).

所以xy-3x-2y+6=6.

即(x-2)·(y-3)=6.

點評分式化整式后,巧妙構(gòu)造乘積為定值,結(jié)合基本不等式,問題得解.

點評將式中的y用x表示,從而將該問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題.利用對勾函數(shù)的性質(zhì),即得結(jié)果.當然也可以用導(dǎo)數(shù)或基本不等式求得最小值[2].

視角4利用柯西不等式

點評將代數(shù)式適當變換,即可構(gòu)造出適合柯西不等式的條件,從而迅速得解.

視角5引入?yún)?shù)t,令t=x+y,代入已知中得關(guān)于x的一元二次方程.由于該方程的兩實根都大于2,故由一元二次方程實根分布得解.

①

因為該方程的實根都大于2,

所以令f(x)=x2+(1-t)x+2t,則有

點評引入?yún)?shù)t,“二元”化“一元”,將問題轉(zhuǎn)化為含t的一元二次方程的實根分布問題得以解決[3].

視角6利用三角函數(shù)代換求值.

視角7根據(jù)平面向量的性質(zhì):a=(x1,y1),b=(x2,y2),a·b≤|a|·|b|,當且僅當x1=λx2,y1=λy2(λ>0)時,等號成立.

因為a·b≤|a|·|b|,

點評巧妙構(gòu)造向量a,b,由a·b≤|a|·|b|,迅速得解.恰當構(gòu)造平面向量a,b是解題的關(guān)鍵.

視角8利用函數(shù)的圖象,數(shù)形結(jié)合求解.

圖1 解法8示意圖

點評探究代數(shù)問題的圖形背景,利用其幾何圖形的性質(zhì),以形助數(shù),數(shù)形結(jié)合,從而獲得直觀、簡潔的解法.

3 解后反思

雙變量最值問題是近幾年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中出現(xiàn)頻率較高的一類題目,難度較大.而且此類試題在持續(xù)地變化與創(chuàng)新中,難度有增大的趨勢,針對本題筆者從不等式、函數(shù)、方程、三角函數(shù)、平面向量、導(dǎo)數(shù)等視角入手,進行分析探究.從上述解法中可以看到,求解特定代數(shù)關(guān)系背景下的雙變量最值問題,必須結(jié)合雙變量代數(shù)式的基本特征,認真分析,細心觀察,善于聯(lián)想,多角度思考,合理整合,巧妙應(yīng)用,準確推理運算.探索解題途徑時,需舉一反三,靈活變通,將數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)思維有機融合,有效應(yīng)用于解題.在解題的過程中,要不斷總結(jié)解題的規(guī)律,剖析解法的本質(zhì),引導(dǎo)一題多解走向深入,從而形成良好的數(shù)學(xué)解題品質(zhì),提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).